本章小結
小結1 本章概述
本章的主要內容是反比例函數的概念和圖象，確定反比例函數的解析式.通過本章的學習掌握相關的知識，同時養(yǎng)成數形結合的思考形式和思考方法，代數式、方程、函數、圖形、直角坐標系結合起來進行思考，互相解釋、互相補充，對于整個中學數學的學習，愈往后，愈顯出其重要性，通過本章的學習，要為數形結合能力打下良好的基礎.培養(yǎng)學生的應用意識．
小結2 本章學習重難點
【本章重點】本章的重點是反比例函數的概念、圖象和性質，圖象是直觀地描述和研究函數的重要工具.教材中給出了大量的具體的反比例函數的例子，用以加深學生對所學知識的理解和融會貫通.
【本章難點】本章的難點是對反比例函數及其圖象和性質的理解和掌握，教學時在這方面要投入更多的精力．
知識網絡結構圖
專題及應用
專題1 反比例函數的概念
【專題解讀】函數 (k≠0)叫做反比例函數，也可以寫成xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）,它的自變量的取值范圍是x≠0的所有實數，因為反比例函數 (k≠0)只有一個常數k，所以求反比例函數表達式也就是求k，要注意兩點：（1）(k≠0)；若 寫成y=kx-1是，x的指數是-1.
例1 判斷下列各式是否表示y是x的反比例函數，若是，指出比例系數k的值；若不是，指出是什么函數.
（1） （2）
（3） （4）
（5）
分析 判斷y是否是x的反比例函數，關鍵是根據的比例函數的定義，觀察兩個變量x，y之間能否寫成 （k為常數，k≠0）的形式.
解：（1） 是反比例函數，k=-8.
（2） 可寫成 是反比例函數，
（3） 不是反比例函數，是一次函數.
（4） 不是反比例函數，是正比例函數.
（5） 可寫成 是反比例函數
例2 根據題意列出函數關系式，并判斷是什么函數.
（1）面積為常數m的長方形的長y與寬x之間的關系；
（2）一本500頁的書，每天看15頁，x天后尚未看完的頁數y與天數x之間的關系.
解：（1） （m是常數，x＞0）,是反比例函數.
（2）y=500-15x，是一次函數.
【解題策略】 解答此題首先要熟練掌握一次函數與反比例函數的定義.
專題2 反比例函數圖象的位置與系數的關系
【專題解讀】 反比例函數 的圖象是由兩個分支組成的雙曲線，圖象的位置與比例系數k的關系有如下兩種情況：
（1） 雙曲線的兩個分支在第一、三象限 在第一象限內，y隨x的增大而減小.
（2） 雙曲線的兩個分支在第二、四象限 在第一象限內，y隨x的增大而增大.
例3 函數 與 在同一坐標系中的圖象可能是（如圖17-36所示）
分析 分兩種情況來考慮a的正負情況：
①當a＞0時，函數 的圖象在第一、二、四象限，函數 的圖象在第二、四象限，因此A項正確.
②當a＜0時，函數 的圖象在第一、三、四象限，函數 的圖象在第一、三象限，四個選項中沒有適合的.
答案：A
【解題策略】 解答本題也可以從選項出發(fā)來考慮a的情況.例如A項，由函數 的可判斷a＞0，由函數 的圖象可判斷a＞0，由此可判斷A項正確,再例如B項，由函數 的增減性質可判斷-a＜0，即a＞0，但由函數的圖象與y軸的交點位置可判斷a＜0，與前面得到的a＞0相矛盾，故B不正確，類似地，也可判斷C，D兩個選項不正確.
專題3 反反函數的圖象
【專題解讀】 如圖17-37所示，若點A（x，y）為反比例函數 圖象上的任意一點，過A作AB⊥x軸于B，作AC⊥y軸于C，則S△AOB=S△AOC= S矩形ABOC= .
例4 如圖17-38所示，點P是x軸正半軸上的一個動點，過P作x軸的垂線交雙曲線 于點Q，連續(xù)OQ，當點P沿x軸正方向運動時，Rt△QOP的面積 （ ）
A．逐漸增大 B．逐漸減小
C．保持不變 D．無法確定
分析 過Q作QA⊥y軸，交y軸于點A，則S△OPQ= S矩形AOPQ= 所以S△OPQ是一個定值，即保持不變.
答案：C
【解題策略】 掌握比例系數k的幾何意義，即k= S矩形AOPQ=2 S△OPQ是這類問題的解題關鍵.
例5 如圖17-39所示，在反比例函數 的圖象上有點 ，它們的橫坐標依次為1，2，3，4，分別過些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為 ，則 .
分析 由題意及圖象可知，三個長方形的長都為1，設
代入 可求得
答案：
專題4 反比例函數與一次函數的綜合應用
【專題解讀】 主要考查反比例函數與一次函數的概念、圖象、性質，以及用待定系烽法求出函數解析式，已知函數圖象確定比例系數或變化范圍等知識.
例6 已知反比例函數 和一次函數 的圖象的一個交點坐標是（-3，4），且一次函數的圖象與x軸的交點到原點的距離為5，分別確定反比例函數和一次函數的表達式.
分析 因為點（-3，4）是反比例函數 和一次函數 的圖象的一個交點，所以把（-3，4）代入 中即可求出反比例函數的表達式.欲求一次函數 的表達式，有兩個待定未知數m，n，書籍一個瞇（-3，4），只需再求一個一次函數圖象上的點即可.由2由一次函數圖象與x軸的交點到的點的距離是5，則這個交點坐標為（-5，0）或（5，0）分類討論即可求得一次函數的解析式.
解：因為函數 的圖象經過點（-3，4），
所以 所以k=-12.
所以反比例函數的表達式是
由題意可知，一次函數 的圖象與x軸的交點坐標為（5，0）或（-5，0），則分兩種尾部討論：
當直線 經過點（-3，4）和（5，0）時，
有 解得
所以
當直線 經過點（-3，4）和（-5，0）時，
有 解得
所以
所以所求反比例函數的表達式為 一次函數的表達式為 或
例7 已知反比例函數 的圖象經過點A（-2，3）.
（1）求這個反比例函數的表達式；
（2）經過點A的正比例函數 的圖象與反比例函數 的圖象還有其他交點嗎？若有，求出交點坐標；若沒有，說明理由.
分析 （1）利用點A（-2，3）求出反比例函數的表達式.（2）利用點A（-2，3）求出正比例函數的表達式，由兩個函數關系式組成方程組，即可求出兩圖象的交點坐標，從而得到兩個函數圖象的另一個交點坐標.
解：（1）因為點A（-2，3）在反比例函數 上.
所以 所以k=-6,
所以反比例函數的表達式為
（2）有，理由如下：
因為正比例函數 的圖象經過點A（-2，3），
所以 ，所以
所以正比例函數的表達式為
則 解得 或
所以正比例函數 的圖象與反比例函數 的圖象的另一個交點坐標為（2，-3）.
例8 已知一次函數 的圖象與反比例函數 的圖象相交于A，B兩點，點A的橫坐標是3，點B的縱坐標是-3.
（1）求一次函數的表達式；
（2）當一次函數值小于0時，求x的取值范圍.
分析 （1）首先由A，B兩點在反比例函數圖象上可求出A，B兩點坐標，再用待定系數法求出k，b，進而得到一次函數的解析式.（2）令 的值y＜0，求出x的取值范圍.
解：因為A，B兩點為兩函數圖象的交點，
所以點A，B在反比例函數 的圖象上.
當x=3時， 當y=-3時， 所以x=-2.
所以A（3，2），B（-2，-3）.
把A（3，2），B（-2，-3）代入 中，
得 解得
所以一次函數的表達式是y=x-1.
（2）令y＜0得x=1＜0，所以x＜1.
所以當函數值小于0時，x的取值范圍是x＜1.
專題5 反比例函數的實際應用
例9由物理學知識知道，在力F（N）的作用下，物在力F的方向發(fā)生位移s（m），力F所做的功W（J）滿足 當W為定值時，F與s之間的函數圖象如圖17-42所示.
（1）力F所做的功是多少？
（2）試確定F與s之間的函數表達式；
（3）當F= 4 N時，s是多少？
解：（1）因為
把（2，7.5）代入得W=7.2×5=15（J）.
（2）
（3）當F= 4 N時， m.
【解題策略】 利用函數圖象研究數量之間的關系是數形結合思想的具體運用的一種，在解決有關函數問題時起著重要的作用.
2011中考真題精選
一、選擇題
1. 如果反比例函數 （k是常數，k≠0）的圖象經過點（-1，2），那么這個函數的解析式是 y=- ．
考點：待定系數法求反比例函數解析式．
專題：待定系數法．
分析：根據圖象過（-1，2）可知，此點滿足關系式，能使關系時左右兩邊相等．
解答：解：把（-1，2）代入反比例函數關系式得：k=-2，
∴y=- ，
故答案為：y=- ，
點評：此題主要考查了用待定系數法求反比例函數的解析式，是中學階段的重點．
2. （2011江蘇揚州，6，3分）某反比例函數的圖象經過點（-1,6），則下列各點中，此函數圖象也經過的點是（ ）
A. （-3,2） B. （3,2） C.（2，3） D.（6,1）
考點：反比例函數圖象上點的坐標特征。
專題：函數思想。
分析：只需把所給點的橫縱坐標相乘，結果是（?1）×6=?6的，就在此函數圖象上．
解答：解：∵所有在反比例函數上的點的橫縱坐標的積應等于比例系數，
∴此函數的比例系數是：（?1）×6=?6，∴下列四個選擇的橫縱坐標的積是?6的，就是符合題意的選項； A、（?3）×2=6，故本選項正確； B、3×2=6，故本選項錯誤； C、2×3=6，故本選項錯誤； D、6×1=6，故本選項錯誤；
故選A．
點評：本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數上的點的橫縱坐標的積應等于比例系數．
3. （2011重慶江津區(qū)，6，4分）已知如圖，A是反比例函數 的圖象上的一點，AB?x軸于點B，且△ABC的面積是3，則k的值是（ �。�
A、3B、?3 C、6D、?6
考點：反比例函數系數k的幾何意義。
分析：過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S＝ k．
解答：解：根據題意可知：S△AOB＝ k＝3，
又反比例函數的圖象位于第一象限，k＞0，
則k＝6．
故選C．
點評：本題主要考查了反比例函數 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得三角形面積為 k，是經�？疾榈囊粋�知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．
4. （2010?吉林）反比例函數 的圖象如圖所示，則k的值可能是（ ）
A、?1B、
C、1D、2
考點：反比例函數的圖象。
分析：根據函數所在象限和反比例函數上的點的橫縱坐標的積小于1判斷．
解答：解：∵反比例函數在第一象限，
∴k＞0，
∵當圖象上的點的橫坐標為1時，縱坐標小于1，
∴k＜1，
故選B．
點評：用到的知識點為：反比例函數圖象在第一象限，比例系數大于0；比例系數等于在它上面的點的橫縱坐標的積．
5. （2011遼寧阜新,6,3分）反比例函數 與 在第一象限的圖象如圖所示，作一條平行于x軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點，連接OA、OB，則△AOB的面積為（ �。�
A. B.2 C.3D.1
考點：反比例函數系數k的幾何意義。
專題：探究型。
分析：分別過A、B作x軸的垂線，垂足分別為D、E，過B作BC⊥y軸，點C為垂足，再根據反比例函數系數k的幾何意義分別求出四邊形OEAC、△AOE、△BOC的面積，進而可得出結論．
解答：解：分別過A、B作x軸的垂線，垂足分別為D、E，過B作BC⊥y軸，點C為垂足，
∵由反比例函數系數k的幾何意義可知，S四邊形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC= ，
∴S△AOB=S四邊形OEAC?S△AOE?S△BOC=6?3? = ．
故選A．
點評：本題考查的是反比例函數系數k的幾何意義，即在反比例函數y= 圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值k；在反比例函數的圖象上任意一點象坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是 ，且保持不變．
6 （2011福建省漳州市，9,3分）如圖，P（x，y）是反比例函數y= 的圖象在第一象限分支上的一個動點，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，隨著自變量x的增大，矩形OAPB的面積（ ）
A、不變B、增大
C、減小D、無法確定
考點：反比例函數系數k的幾何意義。
專題：計算題。
分析：因為過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S= k，所以隨著x的逐漸增大，矩形OAPB的面積將不變．
解答：解：依題意有矩形OAPB的面積=2× k=3，所以隨著x的逐漸增大，矩形OAPB的面積將不變．
故選A．
點評：本題主要考查了反比例函數 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為k，是經�？疾榈囊粋�知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即S= k．
7.（2011?玉林，11，3分）如圖，是反比例函數y= 和y= （k1＜k2）在第一象限的圖象，直線AB∥x軸，并分別交兩條曲線于A、B兩點，若S△AOB=2，則k2?k1的值是（ ）
A、1B、2 C、4D、8
考點：反比例函數系數k的幾何意義；反比例函數圖象上點的坐標特征；三角形的面積。
專題：計算題。
分析：設A（a，b），B（c，d），代入雙曲線得到K1=ab，K2=cd，根據三角形的面積公式求出cd?ab=4，即可得出答案．
解答：解：設A（a，b），B（c，d），
代入得：K1=ab，K2=cd，
∵S△AOB=2，
∴ cd? ab=2，
∴cd?ab=4，
∴K2?K1=4，
故選C．
點評：本題主要考查對反比例函數系數的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能求出cd?ab=4是解此題的關鍵．
8. （2011?銅仁地區(qū)8,3分）反比例函數y= （k＜0）的大致圖象是（ �。�
A、 B、 C、 D、
考點：反比例函數的圖象。
專題：圖表型。
分析：根據反比例函數圖象的特點與系數的關系解答即可．
解答：解：當k＜0時，反比例函數y= 的圖象在二、四象限．
故選B．
點評：本題主要考查了反比例函數的圖象性質，關鍵是由k的取值確定函數所在的象限．
9. （2011廣西防城港 11，3分）如圖，是反比例函數y＝ 和y＝ （k1＜k2）在第一象限的圖象，直線AB∥x軸，并分別交兩條曲線于A、B兩點，若S△AOB＝2，則k2－k1的值是（ �。�
A．1B．2 C．4 D．8
考點：反比例函數系數k的幾何意義；反比例函數圖象上點的坐標特征；三角形的面積
專題：反比例函數
分析：設A（a，b），B（c，d），代入雙曲線得到k1＝ab，k2＝cd，根據三角形的面積公式求出cd－ab＝4，即可得出答案，也就是 cd－ ab＝2，從而k2－k1＝4，故選C．
解答：C
點評：本題主要考查對反比例函數系數的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能求出cd－ab＝4是解此題的關鍵．
二、填空題
1.（2011?湖南張家界，13，3）如圖，點P是反比例函數 圖象上的一點，則矩形PEOF的面積是 ．
考點：反比例函數系數k的幾何意義。
專題：計算題。
分析：因為過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個定值，即S=k，再根據反比例函數的圖象所在的象限確定k的值
解答：解：∵點P是反比例函數 圖象上的一點，
∴S=k=6．
故答案為：6．
點評：本題主要考查了反比例函數 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為k，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．
2.已知反比例函數 y= 的圖象經過點（3，-4），則這個函數的解析式為
y=- ．
考點：待定系數法求反比例函數解析式．
分析：根據待定系數法，把點（3，-4）代入y= 中，即可得到k的值，也就得到了答案．
解答：解：∵圖象經過點（3，-4），
∴k=xy=3×（-4）=-12，
∴這個函數的解析式為：y=- ．
故答案為：y=- ．
點評：此題主要考查了用待定系數法求反比例函數的解析式，是中學階段的重點，此題比較簡單，1. （2011云南保山，14，3分）如圖，已知OA=6，∠AOB=30°，則經過點A的反比例函數的解析式為（ ）
A． B． C． D．
分析：首先根據直角三角形的性質求出AC=3，再根據勾股定理求出OC的長，從而得到A點坐標，再利用待定系數法求出反比例函數解析式．
解答：解：∵∠AOB=30°，
∴ ，
∵OA=6，
∴AC=3，
在Rt△ACO中，
OC2=AO2?AC2，
∴ ，
∴A點坐標是： ，
設反比例函數解析式為 ，
∵反比例函數的圖象經過點A，
∴ ，
∴反比例函數解析式為 ．
故選B．
點評：此題主要考查了直角三角形的性質，勾股定理，以及待定系數法求反比例函數解析式，做題的關鍵是根據勾股定理求出A點的坐標．
一、選擇題
1. （2011江蘇淮安，8，3分）如圖，反比例函數 的圖象經過點A(-1,-2).則當x＞1時，函數值y的取值范圍是（ ）
A.y＞1 B.0＜y＜1 C. y＞2 D.0＜ y＜2
考點：反比例函數的圖象；反比例函數圖象上點的坐標特征。
專題：數形結合。
分析：先根據反比例函數的圖象過點A（?1，?2），利用數形結合求出x＜?1時y的取值范圍，再由反比例函數的圖象關于原點對稱的特點即可求出答案．
解答：解：∵反比例函數的圖象過點A（?1，?2），
∴由函數圖象可知，x＜?1時，?2＜y＜0，
∴當x＞1時，0＜y＜2．
故選D．
點評：本題考查的是反比例函數的性質及其圖象，能利用數形結合求出x＜?1時y的取值范圍是解答此題的關鍵．
2. （2011江蘇連云港，4，3分）關于反比例函數 的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．必經過點（1，1）B．兩個分支分布在第二、四象限
C．兩個分支關于x軸成軸對稱D．兩個分支關于原點成中心對稱
考點：反比例函數的性質；軸對稱圖形；中心對稱圖形。
專題：推理填空題。
分析：把（1，1）代入得到左邊≠右邊；k=4＞0，圖象在第一、三象限；根據軸對稱的定義沿X軸對折不重合；根據中心對稱的定義得到兩曲線關于原點對稱；根據以上結論判斷即可．
解答：解：A、把（1，1）代入得：左邊≠右邊，故本選項錯誤；B、k=4＞0，圖象在第一、三象限，故本選項錯誤； C、沿X軸對折不重合，故本選項錯誤； D、兩曲線關于原點對稱，故本選項正確；
故選D．
點評：本題主要考查對反比例函數的性質，軸對稱圖形，中心對稱圖形等知識點的理解和掌握，能根據反比例函數的性質進行判斷是解此題的關鍵．
3. （2011鹽城，6，3分）對于反比例函數y= ，下列說法正確的是（ �。�
A.圖象經過點（1，?1） B.圖象位于第二、四象限
C.圖象是中心對稱圖形 D.當x＜0時，y隨x的增大而增大
考點：反比例函數的性質.
專題：探究型.
分析：根據反比例函數的性質對四個選項進行逐一分析即可．
解答：解：A、∵1×（?1）=?1≠1，∴點（1，?1）不在反比例函數y= 的圖象上，故本選項錯誤；B、∵k=1＞0，∴反比例函數y= 的圖象在一、三象限，故本選項錯誤；C、∵函數y= 是反比例函數，∴此函數的圖象是中心對稱圖形，故本選項正確；D、∵k=1＞0，∴此函數在每一象限內y隨x的增大而減小，故本選項錯誤．故選C．
點評：本題考查的是反比例函數的性質，熟知反比例函數的性質是解答此題的關鍵，即反比例函數的性質：
（1）反比例函數y= （k≠0）的圖象是雙曲線；
（2）當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減�。�
（3）當k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大．
4. （2011新疆建設兵團，7，5分）如圖，l1是反比例函數y＝kx在第一象限內的圖象，且經過點A（1，2）．l1關于x軸對稱的圖象為l2，那么l2的函數表達式為（ �。�
A、y＝2x（x＜0）B、y＝2x（x＞0） C、y＝?2x（x＜0）D、y＝?2x（x＞0）
考點：反比例函數的性質．
分析：因為l1關于x軸對稱的圖象為l2，因此可知道A關于x軸的對稱點A′在l2的函數圖象上，從而可求出解析式．
解答：解：A（1，2）關于x軸的對稱點為（1，?2）．
所以l2的解析式為：y＝?2x，
因為l1是反比例函數y＝kx在第一象限內的圖象，
所以x＞0．
故選D．
點評：本題考查反比例函數的性質，知道一點可以確定函數式，因此根據對稱找到反比例函數上的點，從而求出解．
5.（2011湖北咸寧，5，3分）直角三角形兩直角邊的長分別為x，y，它的面積為3，則y與x之間的函數關系用圖象表示大致是（ ）
A、 B、 C、 D、
考點：反比例函數的應用；反比例函數的圖象。
專題：圖表型。
分析：根據題意有：xy=3；故y與x之間的函數圖象為反比例函數，且根據x y實際意義x、y應大于0，其圖象在第一象限；故可判斷答案為C．
解答：解：∵ xy=3，
∴y= （x＞0，y＞0）．
故選C．
點評：本題考查了反比例函數的應用，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用實際意義確定其所在的象限．
6. （2010?吉林）反比例函數 的圖象如圖所示，則k的值可能是（ �。�
A、?1B、
C、1D、2
考點：反比例函數的圖象。
分析：根據函數所在象限和反比例函數上的點的橫縱坐標的積小于1判斷．
解答：解：∵反比例函數在第一象限，
∴k＞0，
∵當圖象上的點的橫坐標為1時，縱坐標小于1，
∴k＜1，
故選B．
點評：用到的知識點為：反比例函數圖象在第一象限，比例系數大于0；比例系數等于在它上面的點的橫縱坐標的積．
7. （2011江蘇淮安，8，3分）如圖，反比例函數 的圖象經過點A(-1,-2).則當x＞1時，函數值y的取值范圍是（ ）
A.y＞1 B.0＜y＜1 C. y＞2 D.0＜ y＜2
考點：反比例函數的圖象；反比例函數圖象上點的坐標特征。
專題：數形結合。
分析：先根據反比例函數的圖象過點A（?1，?2），利用數形結合求出x＜?1時y的取值范圍，再由反比例函數的圖象關于原點對稱的特點即可求出答案．
解答：解：∵反比例函數的圖象過點A（?1，?2），
∴由函數圖象可知，x＜?1時，?2＜y＜0，
∴當x＞1時，0＜y＜2．
故選D．
點評：本題考查的是反比例函數的性質及其圖象，能利用數形結合求出x＜?1時y的取值范圍是解答此題的關鍵．
8.（2011年山東省威海市，5，3分）下列各點中，在函數 圖象上的是（ �。�
A、（?2，?4） B、（2，3） C、（?6，1） D、（? ，3）
考點：反比例函數圖象上點的坐標特征．
專題：計算題．
分析：根據函數 ，得到?6=xy，只要把點的坐標代入上式成立即可．
解答：解：∵函數 ，
∴?6=xy，
只要把點的坐標代入上式成立即可，
把答案A、B、D的坐標代入都不成立，只有C成立．
故選C．
點評：本題主要考查對反比例函數圖象上點的坐標特征的理解和掌握，能根據反比例函數圖象上點的坐標特征進行判斷是解此題的關鍵．
9. （2011?南充，7，3分，）小明乘車從南充到成都，行車的平均速度v（km/h）和行車時間t（h）之間的函數圖象是（ �。�
A、 B、
C、 D、
考點：反比例函數的應用；反比例函數的圖象。
專題：數形結合。
分析：根據時間t、速度v和路程s之間的關系，在路程不變的條件下，得v= ，則v是t的反比例函數，且t＞0．
解答：解：∵v= （t＞0），
∴v是t的反比例函數，
故選B．
點評：本題是一道反比例函數的實際應用題，注：在路程不變的條件下，v是t的反比例函數．
10.（2011遼寧沈陽，4，3）下列各點中，在反比例函數 圖象上的是（ ）
A、（－1，8）B、（－2，4） C、（1，7）D、（2，4）
考點：反比例函數圖象上點的坐標特征。
專題：計算題。
分析：由于反比例函數y＝ 中，k＝xy，即將各選項橫、縱坐標分別相乘，其積為8者即為正確答案．
解答：解：A、∵－1×8＝－8≠8，∴該點不在函數圖象上，故本選項錯誤；
B、∵－2×4＝－8≠8，∴該點不在函數圖象上，故本選項錯誤；
C、∵1×7＝7≠8，∴該點不在函數圖象上，故本選項錯誤；
D、2×4＝8，∴該點在函數圖象上，故本選項正確．
故選D．
點評：此題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，將橫、縱坐標分別相乘其積為k者，即為反比例函數圖象上的點．
11.（2011遼寧本溪，7，3分）反比例函數 的圖象如圖所示，若點A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是這個函數圖象上的三點，且x1＞x2＞0＞x3，則y1、y2、y3的大小關系（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
考點：反比例函數圖象上點的坐標特征
專題：計算題
分析：由反比例函數圖象可知，當x＜0或x＞0時，y隨x的增大而增大，由此進行判斷．
解答 解：由反比例函數的增減性可知，當x＞0時，y隨x的增大而增大，
∴當x1＞x2＞0時，則0＞y1＞y2，
又C（x3，y3）在第二象限，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3，故選B．
點評：本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特點．關鍵是根據反比例函數的增減性解題．
4.（2011遼寧沈陽，4，3分）一元二次方程 的根（ ）
A．（?1，8）B．（?2，4）
C．（1，7）D．（2，4）
考點：反比例函數圖象上點的坐標特征。
專題：計算題。
分析：由于反比例函數 中，k=xy，即將各選項橫、縱坐標分別相乘，其積為8者即為正確答案．
解答：解：A、∵?1×8=?8≠8，∴該點不在函數圖象上，故本選項錯誤；
B、∵?2×4=?8≠8，∴該點不在函數圖象上，故本選項錯誤；
C、∵1×7=7≠8，∴該點不在函數圖象上，故本選項錯誤；
D、2×4=8，∴該點在函數圖象上，故本選項正確．
故選D．
點評：此題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，將橫、縱坐標分別相乘其積為k者，即為反比例函數圖象上的點．
12. （2011福建福州，4，4分）如圖是我們學過的反比例函數圖象，它的函數解析式可能是（ ）
A．y=x2 B． C． D．
考點：反比例函數的圖象；正比例函數的圖象；二次函數的圖象．
分析：根據圖象知是雙曲線，知是反比例函數，根據在一三象限，知k＞0，即可選出答案．
解答：解：根據圖象可知：函數是反比例函數，且k＞0，答案B的k=4＞0，符合條件，故選B．
點評：本題主要考查對反比例函數的圖象，二次函數的圖象，正比例函數的圖象等知識點的理解和掌握，能熟練地掌握反比例的函數的圖象是解此題的關鍵．
13. （2011福建省三明市，8,4分）下列4個點，不在反比例函數y=? 圖象上的是（ �。�
A、（2，?3）B、（?3，2）
C、（3，?2）D、（3，2）
考點：反比例函數圖象上點的坐標特征。
分析：根據y=? 得k=xy=?6，所以只要點的橫坐標與縱坐標的積等于?6，就在函數圖象上．
解答：解：原式可化為：xy=?6，
A、2×（?3）=?6，符合條件；
B、（?3）×2=?6，符合條件；
C、3×（?2）=?6，符合條件；
D、3×2=6，不符合條件．
故選D．
點評：本題主要考查反比例函數圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數上的點的橫縱坐標的積應等于比例系數．
14.（2011甘肅蘭州，2，4分）如圖，某反比例函數的圖象過點（－2，1），則此反比例函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
考點：待定系數法求反比例函數解析式．
分析：利用待定系數法，設 y= ，然后將點M（-2，1）代入求出待定系數即可．
解答：設反比例函數的解析式為 y= （k≠0），由圖象可知，函數經過點P（-2，1），得k=-2，∴反比例函數解析式為 ．故選B．
點評：本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式：圖象上的點滿足解析式，滿足解析式的點在函數圖象上．利用待定系數法是求解析式時常用的方法．
一、選擇題
1. （2011?泰州，5，3分）某公司新建一個容積V（m3）一定的長方體污水處理池，池的底面積S（m2）與其深度h（m）之間的函數關系式為 ，這個函數的圖象大致是（ �。�
A、 B、.
C、. D、.
考點：反比例函數的應用；反比例函數的圖象。
專題：幾何圖形問題；數形結合。
分析：先根據長方體的體積公式列出解析式，再根據反比例函數的性質解答．注意深度h（m）的取值范圍．
解答：解：根據題意可知： ，
依據反比例函數的圖象和性質可知，圖象為反比例函數在第一象限內的部分．
故選C．
點評：主要考查了反比例函數的應用和反比例函數的圖象性質，要掌握它的性質才能靈活解題．反比例函數y= 的圖象是雙曲線，當k＞0時，它的兩個分支分別位于第一、三象限；
當k＜0時，它的兩個分支分別位于第二、四象限．
2. （2011湖北咸寧，5，3分）直角三角形兩直角邊的長分別為x，y，它的面積為3，則y與x之間的函數關系用圖象表示大致是（ ）
A、 B、 C、 D、
考點：反比例函數的應用；反比例函數的圖象。
專題：圖表型。
分析：根據題意有：xy=3；故y與x之間的函數圖象為反比例函數，且根據x y實際意義x、y應大于0，其圖象在第一象限；故可判斷答案為C．
解答：解：∵ xy=3，
∴y= （x＞0，y＞0）．
故選C．
點評：本題考查了反比例函數的應用，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用實際意義確定其所在的象限．
3. （2011黑龍江大慶，4，3分）若一個圓錐的側面積是10，則下列圖象中表示這個圓錐母線l與底面半徑r之間的函數關系的是（ �。�
A、 B、 C、 D、
考點：圓錐的計算；反比例函數的圖象；反比例函數的應用。
專題：應用題。
分析：圓錐的側面積=π×底面半徑×母線長，把相應數值代入即可求得圓錐母線長l與底面半徑r之間函數關系，看屬于哪類函數，找到相應的函數圖象即可．
解答：解：由圓錐側面積公式可得l= ，屬于反比例函數．
故選D．
點評：本題考查了圓錐的計算及反比例函數的應用的知識，解決本題的關鍵是利用圓錐的側面積公式得到圓錐母線長l與底面半徑r之間函數關系．
4. （2011?南充，7，3分，）小明乘車從南充到成都，行車的平均速度v（km/h）和行車時間t（h）之間的函數圖象是（ �。�
A、 B、
C、 D、
考點：反比例函數的應用；反比例函數的圖象。
專題：數形結合。
分析：根據時間t、速度v和路程s之間的關系，在路程不變的條件下，得v= ，則v是t的反比例函數，且t＞0．
解答：解：∵v= （t＞0），
∴v是t的反比例函數，
故選B．
點評：本題是一道反比例函數的實際應用題，注：在路程不變的條件下，v是t的反比例函數．
二、解答題
1. （2011?河池）如圖，李老師設計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在一個自制類似天平的儀器的左邊固定托盤A中放置一個重物，在右邊的活動托盤B（可左右移動）中放置一定質量的砝碼，使得儀器左右平衡，改變活動托盤B與點O的距離x（cm），觀察活動托盤B中砝碼的質量y（g）的變化情況．實驗數據記錄如下表：
（1）把上表中（x，y）的各組對應值作為點的坐標，在坐標系中描出相應的點，用平滑曲線連接這些點；
（2）觀察所畫的圖象，猜測y與x之間的函數關系，求出函數關系式并加以驗證；
（3）當砝碼的質量為24g時，活動托盤B與點O的距離是多少cm？
（4）當活動托盤B往左移動時，應往活動托盤B中添加還是減少砝碼？
考點：反比例函數的應用。
專題：跨學科。
分析：（1）根據各點在坐標系中分別描出即可得出平滑曲線；
（2）觀察可得：x，y的乘積為定值300，故y與x之間的函數關系為反比例函數，將數據代入用待定系數法可得反比例函數的的關系式；
（2）把y=24代入解析式求解，可得答案；
（4）利用函數增減性即可得出，隨著活動托盤B與O點的距離不斷減小，砝碼的示數應該不斷增大．
解答：解：（1）如圖所示：
（2）由圖象猜測y與x之間的函數關系為反比例函數，
∴設 （k≠0），
把x=10，y=30代入得：k=300，
∴ ，
將其余各點代入驗證均適合，
∴y與x的函數關系式為： ．
（3）把y=24代入 得：x=12.5，
∴當砝碼的質量為24g時，活動托盤B與點O的距離是12.5cm．
（4）根據反比例函數的增減性，即可得出，隨著活動托盤B與O點的距離不斷減小，砝碼的示數會不斷增大；
∴應添加砝碼．
點評：此題主要考查了反比例函數的應用，此題是跨學科的綜合性問題，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式．
2. （2011?郴州）用洗衣粉洗衣物時，漂洗的次數與衣物中洗衣粉的殘留量近似地滿足反比例函數關系．寄宿生小紅、小敏晚飯后用同一種洗衣粉各自洗一件同樣的衣服，漂洗時，小紅每次用一盆水（約10升），小敏每次用半盆水（約5升），如果她們都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小紅的衣服中殘留的洗衣粉還有1.5克，小敏的衣服中殘留的洗衣粉還有2克．
（1）請幫助小紅、小敏求出各自衣服中洗衣粉的殘留量y與漂洗次數x的函數關系式；
（2）當洗衣粉的殘留量降至0.5克時，便視為衣服漂洗干凈，從節(jié)約用水的角度來看，你認為誰的漂洗方法值得提倡，為什么？
考點：反比例函數的應用。
專題：應用題。
分析：（1）設小紅、小敏衣服中洗衣粉的殘留量與漂洗次數的函數關系式分別為：y1= ，y2= ，后根據題意代入求出k1和k2即可；
（2）當y=0.5時，求出此時小紅和小敏所用的水量，后進行比較即可．
解答：解：（1）設小紅、小敏衣服中洗衣粉的殘留量與漂洗次數的函數關系式分別為：y1= ，y2= ，
將 和 分別代入兩個關系式得：
1.5= ，2= ，解得：k1=1.5，k2=2．
∴小紅的函數關系式是=，小敏的函數關系式是．
（2）把y=0.5分別代入兩個函數得：
=0.5， =0.5，
解得：x1=3，x2=4，
10×3=30（升），5×4=20（升）．
答：小紅共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡．
點評：本題考查了反比例函數的實際應用，讀懂題意正確列出函數關系式是解題的關鍵．
綜合驗收評估測試題
(時間：120分鐘 滿分：120分)
一、選擇題
1．拖拉機開始工作時，油箱中有油40 L.如果每小時耗油5 L，那么工作時，油箱中余油量Q（L）與工作時間t（h）的函數關系圖象為（如圖17-43所示） （ ）
2．如圖17-44所示，在直解坐標系中一次函數y=6-x與反比例函數 的圖象相交于點A，B.設點A的坐標為（x1，y1），那么長為x1、寬為y1的矩形的面積和周長分別為 （ ）
A．4，12 B．8，12 C．4，6 D．8，6
3．函數 的圖象是（如圖17-45所示） （ ）
4．如圖17-46所示，某個反比例函數的圖象經過點P，它的函數表達式為 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．若矩形面積S為為定值，矩形的長為a，寬為b，則b關于a的函數關系圖象大致是（如圖17-47所示） （ ）
6．函數 (k≠0)的圖象如圖17-48所示，那么函數 的圖象大致是（如圖17-49所示） （ ）
7．反比例函數 的圖象如圖17-50所示，隨著x值的增大，y值 （ ）
A．增大
B．減小
C．不變
D．先減小后增大
8．如圖17-51所示，正比例函數y=x的圖象與反比例函數 的圖象相交于A，C兩，AB⊥x軸于B，CD⊥x軸于D，則四邊形ABCD的面積為 （ ）
A．1
B．
C．2
D．
9．反比例函數 的圖象位于 （ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
10．在反比例函數 的圖象上有兩點 且 ，則 的值為 （ ）
A．正數 B．負數 C．非正數 D．非負數
二、填空題
11．在平面直角坐標系中，已知點 在第二象限，且m為整數，則過點A的反比例函數的表達式為 .
12．若函數 的圖象經過點（-1，2），則k= .
13．若反比例函數 則m= .
14．反比例函數 圖象的兩支分別在第 象限.
15．若 是雙曲線 上的兩點，且 ，則y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
16．點A（2，1）在反比例函數 的圖象上，當1＜x＜4時，y的取值范圍是 .
17．若反比例函數 經過點（-1，2），則一次函數 的圖象一定不經過第 象限.
18．點P是反比例函數 上的一點，PD⊥x軸于點D，則△POD的面積為 .
19．函數 （k是常數且k≠0）的圖象經過點A（a，-a），那么k 0（填“＞”“＜”）.
20．反比例函數 （m為常數）的圖象如圖17-52所示，則m的取值范圍是 .
三、解答題
21．已知如圖17-53中的曲線是反比例函數 （m為常數）圖象的一支.
（1）這個反比例函數圖象的另一支在第幾象限？常數m的取值范圍是什么？
（2）若該函數的圖象與正比例函數y=2x的圖象在第一象限內的交點為A，過A點作x軸的垂線，垂足為B，當△OAB的面積為4時，求點A的坐標及反比例函數的解析式.
22．已知一次函數 的圖象與反比例函數 的圖象在第一象限內的交點為P（x0，3）.
（1）求x0的值；
（2）求一次函數及反比例函數的表達式.
23．反比例函數 的圖象經過點A（2，3）.
（1）求這個函數的表達式；
（2）試判斷點B（1，6）是否在這個反比例函數的圖象上，并說明理由.
24．已知關于x的一次函數 和反比例函數 的圖象都經過點（2，m）.
（1）求一次函數的解析式；
（2）求這兩個函數圖象的另一個交點坐標.
25．某氣球充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p（kPa）是氣體的體積V（m3）是反比例函數，其圖象如圖17-54所示.
（1）寫出這一函數的表達式；
（2）當氣體體積為1 m3時，氣壓是多少？
（3）當氣球內的氣壓大于140kPa時，氣球將爆炸，為安全起見，氣球的體積應大于多少？
26．如圖17-55所示，A，B兩點在函數 的圖象上.
（1）求m的值及直線AB的解析式；
（2）如果一個點的橫、縱坐標均為整數，那么我們稱這個點是格點，請直接寫出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的個數.
27．如圖17-56所示，正比例函數 的圖象與反比例函數 的圖象交于點A（3，2）.
（1）試確定上述正比例函數和反比例函數的表達式.
（2）根據圖象回答，在第一象限內，當x取何值時，反比例函數的值大于正比例函數的值？
（3）M（m,n）是反比例函數圖象上的一動點，其中 過點M作直線MB∥x軸，交y軸于點B；過點A作直線AC∥y軸，交x軸于點C，交直線MB于點D.當四邊形OADM的面積為6時，請判斷線段MB與DM的大小關系，并說明理由.
參考答案
1．C[提示：Q=40-5t,0≤t≤8.]
2．A[提示：聯立 和 求交點，得到A點坐標.]
3．D[提示： 圖象在第一、三象限.]
4．D[提示：圖象經過（-1，1），代入 中，得 ]
5．C[提示：當面積S為定值時，有 且有 ]
6．C[提示：由圖象知 所以一次函數的 ]
7．B
8．C[提示：由方程組 得 所以A（1，1），C（-1，-1）.因為AB⊥x軸，CD⊥x軸，AB=CD=1，所以AB CD.所以四邊形ABCD是平行四邊形，且B（1，0），D（-1，0）.所以S□ABCD=2?S△ABD= ?BD?AB=BD?AB=2×1=2.]
9．D[提示：由 可知k=-2，由反比例函數的性質可知，反比例函數圖象在第二、四象限.]
10．A[提示：欲判斷 的值的情況，只需判斷y1與y2的大小關即可.由 可知，這個反比例函數的圖象在第二、四象限，由反比例函數的圖象與性質可知，在反比例函數圖象的每一個分支上，y隨x的增大而增大，又因為 所以
均在第四象限分支上，所以 ，即 ]
11． [提示： 是整數，所以m=4，所以點A的坐標為（-1，1）.]
12．-2 13．-1 14．一、三 15．＜ 16． 17．四
18．1[提示：設P點坐標為 ，則有 S△POD= ]
19．＜
20． [提示：由反比例函數圖象可知 解得 ]
21．提示：雙曲線是成對出現的.k＞0時，在第一、三象限；k＜0時，在第二、四象限.解：（1）這個反比例函數圖象的另一支在第三象限.因為這個反比例函數的圖象分布在第一、三象限，所以 解得m＞5.（2）如圖17-57所示，由第一象限內的點A在正比例函數y=2x的圖象上，設點A的坐標為 ，則點B的坐標為 S△OAB=4， ? 解得 （負值舍去）.∴點A的坐標為（2，4）.又∵點A在反比例函數 的圖象上，∴ 即
22．解：（1）因為點 在一次函數 的圖象上，所以 即m=3-x0,① 又因為點 在反比例函數 的圖象上，所以 所以 ② 由①②可知 （2）由（1）得 所以一次函數的表達式為y=x+2,反比例函數的表達式為
23．解：（1）因為點A（2，3）在反比例函數 的圖象上，所以，所以k=6.所以反比例函數的表達式為 （2）點B（1，6）在這個反比例函數的圖象上，理由職下：當x=1時, 所以點B（1，6）在這個反比例函數的圖象上.
24．提示：（1）由待定系數法求一次函數y=kx+1的解析式，只需求出點（2，m）中的m，而點（2，m）在反比例函數 圖象上，代入即可求出m，進而求出一次函數的解析式.（2）由（1）和 組成方程組，求出兩個函數圖象的另一個交點坐標.解：（1）由題意可知 由②得m=3.把m=3代入①，得3=2k+1，所以k=1，所以一次函數的解析式為y=x+1.（2）由 解得 或 顯然，兩個函數圖象的另一個交點坐標是（-3，-2）.
25．解：（1）設 由圖象過A（0.8，120），得m=0.8×120=96，即 （2）當V=1時， （kPa）.（3）p≤140，由反比例函數關系式得140≥ ，即V≥ 所以，為安全起見，氣球的體積應大于 m3.
26．解：（1）由圖象可知，函數 的圖象經過點A（1，6），可得m=6.設直線AB的解析式為y=kx+b.∵A（1，6），B（6，1）兩點在函數y=kx+b的圖象上，∴ 解得 ∴直線AB的解析式為y=-x+7.（2）圖17-58中陰影部分（不包括邊界）所含格點的個數是3.當x=2時，y=-x+7=5， 又3＜4＜5，故（2，4）為陰影部分內的格點.同理可知（3，3），（4，2）也是陰影部分內的格點.故陰影部分（不包括邊界）所含格點有（2，4），（3，3），（4，2）三個.
27．解：（1）將A（3，2）分別代入 中，得 ∴反比例函數的表達式為 正比例函數的表達式為 （2）觀察圖象，得在第一象限內，0＜x＜3時，反比例函數的值大于正比例函數的值.（3）BM=DM.理由：∵S△OMB= ∴S矩形OBDC= S四邊形OADM + S△OMB + S△OAC=6+3+3=12，即OC?OB=12.∵OC=3，∴OB=4，即n=4，∴
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