2018-2019學年江蘇省蘇州八年級（下）期末數(shù)學模擬試卷
一、選擇題：（每題2分）
1．（2分）已知點M（?2，3）在雙曲線y= 上，則下列各點一定在該雙曲線上的是（ �。�
A．（3，?2） B．（?2，?3） C．（2，3） D．（3，2）
2．（2分）下列計算中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）如圖，菱形OABC的頂點C的坐標為（3，4）．頂點A在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為（ �。�
A．12 B．20 C．24 D．32
4．（2分）下列說法正確的是（ �。�
A．對應(yīng)邊都成比例的多邊形相似
B．對應(yīng)角都相等的多邊形相似
C．邊數(shù)相同的正多邊形相似
D．矩形都相似
5．（2分）有五張卡片（形狀、大小、質(zhì)地都相同），正面分別畫有下列圖形：①線段；②正三角形；③平行四邊形；④等腰梯形；⑤圓．將卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，正面圖形一定滿足既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2分）最簡二次根式 與 是同類二次根式，則a為（ �。�
A．a(chǎn)=6 B．a(chǎn)=2 C．a(chǎn)=3或a=2 D．a(chǎn)=1
7．（2分）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點E、O，連接CE，則CE的長為（ ）
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
8．（2分）已知y= + ?3，則xy=（ �。�
A．?15 B．?9 C．9 D．15
9．（2分）如圖，已知點A是一次函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限內(nèi)的交點，AB⊥x軸于點B，點C在x軸的負半軸上，且∠ACB=∠OAB，△OAB的面積為4，則點C的坐標為（ �。�
A．（?8，0） B．（?6，0） C．（? ，0） D．（? ，0）
10．（2分）如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④∠GAE=45°；⑤S△FGC=3.6．
則正確結(jié)論的個數(shù)有（ �。�
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）
11．（2分）一元二次方程x2?4x=0的解是 �。�
12．（2分）點（3，a）在反比例函數(shù)y= 圖象上，則a= �。�
13．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，若CD=2EF=4，BC=4 ，則∠C等于 �。�
14．（2分）已知關(guān)于x的方程 的解是正數(shù)，則m的取值范圍是 �。�
15．（2分）如圖，矩形ABCD的邊AB與y軸平行，頂點A的坐標為（1，2），點B與點D在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，則點C的坐標為 �。�
16．（2分）某花木場有一塊如等腰梯形ABCD的空地（如圖），各邊的中點分別是E、F、G、H，用籬笆圍成的四邊形EFGH場地的周長為40cm，則對角線AC= cm．
17．（2分）如圖，將一寬為1dm的矩形紙條沿BC折疊，若∠CAB=30°，則折疊后重疊部分的面積為 dm2．
18．（2分）如圖，正方形CDEF內(nèi)接于Rt△ABC，AE=1，BE=2，則正方形的面積是 �。�
三、簡答題（本大題共10小題，共64分，解答應(yīng)寫出必要的計算過程、推算步驟或文字說明）
19．（4分）計算：（? ）2+ ?2 ．
20．（8分）解方程：
（1）2x2?5x?3=0；
（2） + = ．
21．（5分）先化簡，再求值： ÷（a?1+ ），其中a是方程x2?x=6的根．
22．（6分）某學校開展課外體育活動，決定開設(shè)A：籃球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四種活動項目．為了解學生最喜歡哪一種活動項目（每人只選取一種）．隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪成如下統(tǒng)計圖，請你結(jié)合圖中信息解答下列問題．
（1）樣本中最喜歡A項目的人數(shù)所占的百分比為 ，其所在扇形統(tǒng)計圖中對應(yīng)的圓心角度數(shù)為 度．
（2）請把條形統(tǒng)計圖補充完整．
（3）若該校有學生1200人，請根據(jù)樣本估計全校最喜歡踢毽子的學生人數(shù)約是多少？
23．（6分）閱讀下面的材料，回答問題：
解方程x4?5x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：
設(shè)x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2?5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
當y=1時，x2=1，∴x=±1；
當y=4時，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四個根：x1=1，x2=?1，x3=2，x4=?2．
（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用 法達到 的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想．
（2）解方程（x2+x）2?4（x2+x）?12=0．
24．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y1=kx的圖象與反比例函數(shù)y2= 圖象交于A、B兩點．
（1）根據(jù)圖象，求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出kx＞ 的解集為 ��；
（3）若點P在y軸上，且滿足以點A、B、P為頂點的三角形是直角三角形，試直接寫出點P所有可能的坐標為 ．
25．（6分）如圖，在△ABC中，AB=12cm，BC=8cm，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥BC交AB于點E．（1）求證：BE=ED；
（2）求AE的長．
26．（7分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．
27．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，1）， OA=OC，∠OAC=90°，點D為x 軸上一動點，以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
（1）如圖 （1）當點D在線段OC上時（不與點O、C重合），則線段CF與OD之間的數(shù)量關(guān)系為 �。晃恢藐P(guān)系為 �。�
（2）如圖（2）當點D在線段OC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請舉一反例．
28．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=? 4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P從點O出發(fā)沿OA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AO返回；點Q從A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當點P、Q運動時，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB?BO?OP于點E．點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒（t＞0）．
（1）點Q的坐標是（ ， �。ㄓ煤瑃 的代數(shù)式表示）；
（2）當點E在BO上時，四邊形QBED能否為直角梯形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由；
（3）當t為何值時，直線DE經(jīng)過點O．
2018-2019學年江蘇省蘇州八年級（下）期末數(shù)學模擬試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（每題2分）
1． （2分）已知點M（?2，3）在雙曲線y= 上，則下列各點一定在該雙曲線上的是（ ）
A．（3，?2） B．（?2，?3） C．（2，3） D．（3，2）
【解答】解：∵M（?2，3）在雙曲線y= 上，
∴k=?2×3=?6，
A、3×（?2）=?6，故此點一定在該雙曲線上；
B、?2×（?3）=6≠?6，故此點一定不在該雙曲線上；
C、2×3=6≠?6，故此點一定不在該雙曲線上；
D、3×2=6≠?6，故此點一定不在該雙曲線上；
故選：A．
2．（2分）下列計算中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、二次根式的加法，實質(zhì)上是合并同類二次根式，不是同類二次根式，不能合并，故A錯誤；
B、二次根式相除，等于被開方數(shù)相除，故B正確；
C、根號外的也要相乘，等于9 ，故C錯誤；
D、根據(jù) =|a|，等于3，故D錯誤．
故選：B．
3．（2分）如圖，菱形OABC的頂點C的坐標為（3，4）．頂點A在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為（ ）
A．12 B．20 C．24 D．32
【解答】解：過C點作CD⊥x軸，垂足為D，
∵點C的坐標為（3，4），
∴OD=3，CD=4，
∴OC= = =5，
∴OC=BC=5，
∴點B坐標為（8，4），
∵反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象經(jīng)過頂點B，
∴k=32，
故選：D．
4．（2分）下列說法正確的是（ ）
A．對應(yīng)邊都成比例的多邊形相似
B．對應(yīng)角都相等的多邊形相似
C．邊數(shù)相同的正多邊形相似
D．矩形都相似
【解答】解：A、對應(yīng)邊都成比例的多邊形，屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤；
B、對應(yīng)角都相等的多邊形，屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤；
C、邊數(shù)相同的正多邊形，形狀相同，但大小不一定相同，故正確；
D、矩形屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤．
故選：C．
5．（2分）有五張卡片（形狀、大小、質(zhì)地都相同），正面分別畫有下列圖形：①線段；②正三角形；③平行四邊形；④等腰梯形；⑤圓．將卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，正面圖形一定滿足既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的概率是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：∵五張形狀、質(zhì)地、大小完全相同的卡片上，正面分別 畫有：①線段；②正三角形；③平行四邊形；④等腰梯形；⑤圓，卡片的正面圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的有：線段、圓，
∴從中任意抽取一張，那么抽出卡片的正面圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的概率是： ．
故選：B．
6．（2分）最簡二次根式 與 是同類二次根式，則a為（ �。�
A．a(chǎn)=6 B．a(chǎn)=2 C．a(chǎn)=3或a=2 D．a(chǎn)=1
【解答】解：由題意可得
a2+3=5a?3
解得a=2或a=3；
當a=3時， a2+3=5a?3=12，
不是最簡根式，因此a=3不合題意，舍去．
因此a=2．
故選：B．
7．（2分）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點E、O，連接CE，則CE的長為（ �。�
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
【解答】解：∵EO是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，
設(shè)CE=x，則ED=AD?AE=4?x，
在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，
即x2=22+（4?x）2，
解得x=2.5，
即CE的長為2.5．
故選：C．
8．（2分）已知y= + ?3，則xy=（ �。�
A．?15 B．?9 C．9 D．15
【解答】解：由題意得，x?5≥0且10?2x≥0，
解得x≥5且x≤5，
所以，x=5，
y=?3，
xy=5×（?3）=?15．
故選：A．
9．（2分）如圖，已知點A是一次函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限內(nèi)的交點，AB⊥x軸于點B，點C在x軸的負半軸上，且∠ACB=∠OAB，△OAB的面積為4，則點C的坐標為（ �。�
A．（?8，0） B．（?6，0） C．（? ，0） D．（? ，0）
【解答】解：∵A在直線y=2x上，
∴設(shè)AB=2x，OB=x，
∵△OAB的面積為4，
∴ •x•2x=4，
解得：x=2，
∴AB=4，OB=2，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=∠ABO=90°，
∵∠ACB=∠OAB，
∴△AOB∽△CAB，
∴ = ，
∴ = ，
∴OC=6，
即C的坐標是（?6，0），
故選：B．
10．（2分）如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④∠GAE=45°；⑤S△FGC=3.6．
則正確結(jié)論的個數(shù)有（ �。�
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=6，
∴AD=CD=BC=6，
∵CD=3DE，
∴CD=2，DE=4，
∵△ADE沿AE對折至△AFE，
∴AF=AD=6，ED=EF=2，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），所以①正確；
∴BG=FG，
設(shè)BG=x，則GF=x，CG=6?x，
在Rt△CGE中，GE=GF+EF=x+2，CE=4，CG=x，
∵CG2+CE2=GE2，
∴x2+42=（x+2）2，解得x=3，
∴BG=3，
∴CG=BC?BG=3，
∴BG=CG，所以②正確；
∵GF=CG=3，
∴∠GFC=∠GCF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠BGF=2∠GCF，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠BGA=∠FGA，
∴∠BGF=2∠BGA，
∴∠BGA=∠GCF，
∴AG∥CF，所以③正確；
∵△ADE沿A E對折至△AFE，
∴∠DAE=∠FAE，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠BAG =∠FAG，
∴∠EAF+∠GAF= （∠DAF+∠BAF）= ×90°=45°，
即∠GAE=45°，所以④正確；
作FH⊥GC于H，如圖，
∴FH∥EC，
∴△G FH∽△GEC，
∴ = ，即 = ，解得FH= ，
∴S△GCF= ×3× =3.6，所以⑤正確．
故選：D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）
11．（2分）一元二次方程x2?4x=0的解是 x1=0，x2=4�。�
【解答】解：由原方程，得
x（x?4）=0，
解得x1=0，x2=4．
故答案是：x1=0，x2=4．
12．（2分）點（3，a）在反比例函數(shù)y= 圖象上，則a= 2�。�
【解答】解：∵點（3，a）在反比例函數(shù)y= 圖象上，
∴a= =2．
故答案為：2．
13．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，若CD=2EF=4，BC=4 ，則∠C等于 45°�。�
【解答】解：連接BD，
∵E、F分別是AB、AD的中點，
∴BD=2EF，
∵CD=2EF=4，
∴DB=4，
∵42+42=（4 ）2，
∴∠CDB=90°，
∴∠C=45°．
14．（2分）已知關(guān)于x的方程 的解是正數(shù)，則m的取值范圍是 m＞?6且m≠?4�。�
【解答】解：解關(guān)于x的方程 得x=m+6，
∵x?2≠0，解得x≠2，
∵方程的解是正數(shù)，
∴m+6＞0且m+6≠2，
解這個不等式得m＞?6且m≠?4．
故答案為：m＞?6且m≠?4．
15．（2分）如圖，矩形ABCD的邊AB與y軸平行，頂點A的坐標為（1，2），點B與點D在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，則點C的坐標為�。�3，6）�。�
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，頂點A的坐標為（1，2），
∴設(shè)B、D兩點的坐標分別為（1，y）、（x，2），
∵點B與點D在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，
∴y=6，x=3，
∴點C的坐標為（3，6）．
故答案為：（3，6）．
16．（2分）某花木場有一塊如等腰梯形ABCD的空地（如圖），各邊的中點分別是E、F、G、H，用籬笆圍成的四邊形EFGH場地的周長為40cm，則對角線AC= 20 cm．
【解答】解：∵等腰梯形的對角線相等，EF、HG、GF、EF均為梯形的中位線，∴EF=HG=GF=EF= AC．
又∵EF+HG+GF+EF=40cm，即2AC=40cm，則AC=20cm．對角線AC=20cm．
故答案為：20．
17．（2分）如圖，將一寬為1dm的矩形紙條沿BC折疊，若∠CAB=30°，則折疊后重疊部分的面積為 1 dm2．
【解答】解：作CD⊥AB，
∵CG∥AB，
∴∠1=∠2，
根據(jù)翻折不變性，∠1=∠BCA，
故∠2=∠BCA．
∴AB=AC．
又∵∠CAB=30°，
∴在Rt△ADC中，AC=2CD=2dm，
∴AB=2dm，
S△ABC= AB×CD=1dm2．
故答案為：1．
18．（2分）如圖，正方形CDEF內(nèi)接于Rt△ABC，AE=1，BE=2，則正方形的面積是 �。�
【解答】解：∵根據(jù)題意，易得△ADE∽△EFB，
∴BE：AE=BF：DE=EF：AD=2：1，
∴2DE=BF，2AD=EF=DE，
由勾股定理得，DE2+AD2=AE2，
解得：DE=EF= ，
故正方形的面積是（ ）2= ，
故答案為： ．
三、簡答題（本大題共10小題，共64分，解答應(yīng)寫出必要的計算過程、推算步驟或文字說明）
19．（4分）計算：（? ）2+ ?2 ．
【解答】解：原式=3+4 ?3
=3+ ．
20．（8分）解方程：
（1）2x2?5x?3=0；
（2） + = ．
【解答】解：（1）由原方程，得
（x?3）（2x+1）=0，
解得 x1=3，x2=? ；
（2）去分母并整理，得
3（x?1）+（x+1）=6
解得 x=2．
經(jīng)檢驗，x=2是原方程的根．
所以原方程的解為x=2．
21．（5分）先化簡，再求值： ÷（a?1+ ），其中a是方程x2?x=6的根．
【解答】解：解方程x2?x=6得到：x1=3，x2=?2，
因為a是方程x2?x=6的根，
所以a=3或a=?2．
÷（a?1+ ），
= ÷ ，
= × ，
= ．
當a=3時，原式= = ．
當a=?2時，原式= =? ．
22．（6分）某學校開展課外體育活動，決定開設(shè)A：籃球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四種活動項目．為了解學生最喜歡哪一種活動項目（每人只選取一種）．隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪成如下統(tǒng)計圖，請你結(jié)合圖中信息解答下列問題．
（1）樣本中最喜歡A項目的人數(shù)所占的百分比為 40% ，其所在扇形統(tǒng)計圖中對應(yīng)的圓心角度數(shù)為 144 度．
（2）請把條形統(tǒng)計圖補充完整．
（3）若該校有學生1200人，請根據(jù)樣本估計全校最喜歡踢毽子的學生人數(shù)約是多少？
【解答】解：（1）本次抽查的學生人數(shù)是：15÷30%=50（人）；
喜歡A：籃球的人數(shù)是：50?15?5?10=20（人），
則最喜歡A項目的人數(shù)所占的百分比為 ×100%=40%，
在扇形統(tǒng)計圖中A項目對應(yīng)的圓心角度數(shù)是360°× =144°；
故答案為：40%、144；
（2）補圖如下：
（3）根據(jù)題意得：1200× =120（人）．
答：全校最喜歡踢毽子的學生人數(shù)約是120人．
23．（6分）閱讀下面的材料，回答問題：
解方程x4?5x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：
設(shè)x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2?5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
當y=1時，x2=1，∴x=±1；
當y=4時，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四個根：x1=1，x2=?1，x3=2，x4=?2．
（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用 換元 法達到 降次 的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想．
（2）解方程（x2+x）2?4（x2+x）?12=0．
【解答】解：（1）換元，降次
（2）設(shè)x2+x=y，原方 程可化為y2?4y?12=0，
解得y1=6，y2=?2．
由x2+x=6，得x1=?3，x2=2．
由x2+x=?2，得方程x2+x+2=0，
b2?4ac=1?4×2=?7＜0，此時方程無實根．
所以原方程的解為x1=?3，x2=2．
24．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次 函數(shù)y1=kx的圖象與反比例函數(shù)y2= 圖象交于A、B兩點．
（1）根據(jù)圖象，求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出kx＞ 的解集為 x＜?2或0＜x＜2�。�
（3）若點P在y軸上，且滿足以點A、B、P為頂點的三角形是直角三角形，試直接寫出點P所有可能的坐標為�。�0，4）、（0，?4）、（0，2 ）、（0，?2 ）�。�
【解答】解：（1）把B（2，?2）代入y1=kx得k=?1，
∴一次函數(shù)解析式為y1=?x；
把B（2，?2）代入y2= 得m=2×（?2）=?4，
∴反比例函數(shù)解析式為y2=? ；
（2）把x=?2代入y2=? 得y=2，
∴A點坐標為（?2，2），
∴當x＜?2或0＜x＜2時，kx＞ ；
（3）設(shè)P點坐標為（0，t），而A（?2，2），B（2，?2），
∴PA2=22+（t?2）2，PB2=22+（t+2）2，AB2=42+42=32，
當∠APB=90°時，則PA2+PB2=AB2，即22+（t?2）2+22+（t+2）2=32，解得t=±2 ，此時P點坐標為（0，2 ）或（0，?2 ）；
當∠PAB=90°時，則PA2+AB2=PB2，即22+（t?2）2+32=22+（t+2）2，解得t=4，此時P點坐標為（0，4）；
當∠PBA=90°時，則PB2+AB2=PA2，即22+（t+2）2+32=22+（t?2）2，解得t=?4，此時P點坐標為（0，?4）；
綜上所述，P點坐標為（0，4）、（0，?4）、（0，2 ）、（0，?2 ）．
故答案為x＜?2或0＜x＜2；（0，4）、（0，?4）、（0，2 ）、（0，?2 ）．
25．（6分）如圖，在△ABC中，AB=12cm，BC=8cm，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥BC交AB于點E．（1）求證：BE=ED；
（2）求AE的長．
【解答】證明：（1）∵BD平分∠ABC交AC于點D，
∴∠ABD=∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=ED；
（2）∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ ，
設(shè)DE=xcm，則AE=12?x（cm），
∴
解得：x=4.8，
∴AE=12?x=7.2．
故AE的長是7.2cm．
26．（7分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1） 求證：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=DC．
（2）四邊形ADCF是菱形，
證明：AF∥BC，AF=DC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，
∴AD= BC=DC，
∴平行四邊形ADCF是菱形．
27．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，1），OA=OC，∠OAC=90°，點D為x 軸上一動點，以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
（1）如圖（1）當點D在線段OC上時（不與點O、C重合），則線段CF與OD之間的數(shù)量關(guān)系為 相等�。晃恢藐P(guān)系為 垂直�。�
（2）如圖（2）當點D在線段OC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請舉一反例．
【解答】解：
（1）∵∠OAC=90°，∠DAF=90°
∴∠OAC=∠DAF
∴∠OAD=∠OAC?∠CAD=∠DAF?∠CAD=∠CAF
在△OAD和△CAF中
∴△OAD≌△CAF
∴OD=CF，∠AOD=∠ACF
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC
在Rt△OAC中
∵∠OCA+∠AOC=90°
∴∠OCF=90°
∴OD⊥CF
故答案：相等； 垂直．
（2）（1）中結(jié)論依然成立，即OD=CF，OD⊥CF
∵∠OAC=90°，∠DAF=90°
∴∠OAC=∠DAF
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD=∠CAF
在△OAD和△CAF中
∴△OAD≌△CAF
∴OD=CF，∠AOD=∠ACF
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC
在Rt△OAC中
∵∠OCA+∠AOC=90°
∴∠OCF=90°
∴OD⊥CF
28．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=? 4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P從點O出發(fā)沿OA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AO返回；點Q從A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當點P、Q運動時，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB?BO?OP于點E．點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒（t＞0）．
（1）點Q的坐標是（ 3? t ， t�。ㄓ煤瑃的代數(shù)式表示）；
（2）當點E在BO上時，四邊形QBED能否為直角梯形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由；
（3）當t為何值時，直線DE經(jīng)過點O．
【解答】解：（1）過點Q作QF⊥OA于點F，
∵直線y=? 4與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A（3，0），B（0，4），
∴在Rt△AOB中，AB= =5，
∵OA⊥OB，
∴QF∥OB，
∴△AQF∽△ABO，
∴ ，
∵AQ=t，
即 ，
∴AF= t，QF= t，
∴OF=OA?AF=3? t，
∴點Q的坐標為：（3? t， t）；
故答案為：3? t， t；
（2）四邊形QBED能成為直角梯形．
①當0＜t＜3時，
∴AQ=OP=t，
∴AP=3?t．
如圖2，當DE∥QB時，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得 ．
∴ = ．
解得t= ；
如圖3，當PQ∥BO時，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得 ．
即 ．
解得t= ；
②當3＜t＜5時，AQ=t，AP=t?3，
如圖2，當DE∥QB時，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得 ．
∴ = ．
解得t=? （舍去）；
如圖3，當PQ∥BO時，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得 ．
即 ．
解得t= ＞5（舍去）；
綜上所述：t= 或 ；
（3）當t= 或 時，DE經(jīng)過點O．
理由：①如圖4，當DE經(jīng)過點O時，
∵DE垂直平分PQ，
∴EP=EQ=t，
由于P與Q運動的時間和速度相同，
∴AQ=EQ=EP=t，
∴∠AEQ=∠EAQ，
∵∠AEQ+∠BEQ=90°，∠EAQ+∠EBQ=90°，
∴∠BEQ=∠EBQ，
∴BQ=EQ，
∴EQ=AQ=BQ= AB
∴t= ，
②如圖5，當P從A向O運動時，
過點Q作QF⊥OB于F，
∵EP=6?t，
∴EQ=EP=6?t，
∵AQ=t，BQ=5?t，sin∠ABO= = ，cos∠ABO= = ，
∴FQ= （5?t）=3? t，BF= （5?t）=4? t，
∴EF=4?BF= t，
∵EF2+FQ2=EQ2，
即（3? t）2+（ t）2=（6?t）2，
解得：t= ．
∴當DE經(jīng)過點O時，t= 或 ．
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