2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料
專題四 三角函數(shù)（教師版）
【考綱解讀】
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能進(jìn)行弧度與角度的互化;理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切）的定義.
2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 , 的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式;理解同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2x+cos2x=1, .
3.能畫出y=sinx, y=cosx, y=tanx的圖象,了解三角函數(shù)的周期性;2.理解正弦函數(shù),余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2 ]上的性質(zhì)(如單調(diào)性,最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等),理解正切函數(shù)在區(qū)間(- , )內(nèi)的單調(diào)性.
4.了解函數(shù) 的物理意義；能畫出 的圖象，了解 對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.
5.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式;能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.
6.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶).
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
從近幾年高考試題看，對(duì)三角函數(shù)的考查：一是以選擇填空的形式考查三角函數(shù)的性質(zhì)及公式的應(yīng)用，一般占兩個(gè)小題；二是以解答題的形式綜合考查三角恒等變換、 的性質(zhì)、三角函數(shù)與向量等其他知識(shí)綜合及三角函數(shù)為背景的實(shí)際問題等.
　　預(yù)測(cè)明年，考查形式不變，選擇、填空題以考查三角函數(shù)性質(zhì)及公式應(yīng)用為主，解答題將會(huì)以向量為載體，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)或者與函數(shù)奇偶性、周期性、最值等相結(jié)合，以小型綜合題形式出現(xiàn).
【要點(diǎn)梳理】
1.知識(shí)點(diǎn):弧度制、象限角、終邊相同的角、任意角三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖象和性質(zhì)；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其變形公式.
2.三角函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化思想及方法技巧:
(1)方程思想: , , 三者中,知一可求二;
(2)“1”的替換: ;
(3)切弦互化:弦的齊次式可化為切；
(4)角的替換: , ;
(5)公式變形: , ,
;
(6)構(gòu)造輔助角(以特殊角為主):
.
3.函數(shù) 的問題:
(1)“五點(diǎn)法”畫圖:分別令 、 、 、 、 ，求出五個(gè)特殊點(diǎn)；
(2)給出 的部分圖象,求函數(shù)表達(dá)式時(shí),比較難求的是 ,一般從“五點(diǎn)法”中取靠近 軸較近的已知點(diǎn)代入突破;
(3)求對(duì)稱軸方程:令 ,
求對(duì)稱中心: 令 ;
(4)求單調(diào)區(qū)間:分別令 ;
,同時(shí)注意A、 符號(hào).
4.解三角形:
(1)基本公式:正弦、余弦定理及其變形公式；三角形面積公式；
(2)判斷三角形形狀時(shí)，注意邊角之間的互化.
【考點(diǎn)在線】
考點(diǎn)1 三角函數(shù)的求值與化簡(jiǎn)
此類題目主要有以下幾種題型：
⑴考查運(yùn)用誘導(dǎo)公式和逆用兩角和的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式能力，以及求三角函數(shù)的值的基本方法.
⑵考查運(yùn)用誘導(dǎo)公式、倍角公式，兩角和的正弦公式，以及利用三角函數(shù)的有界性求的值 故f(x)的定義域?yàn)?
（Ⅱ）由已知條得
從而 ＝
＝ ＝
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的定義域和兩角差的公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系等基本知識(shí)，考查運(yùn)算和推理能力，以及求角的基本知識(shí)..
【備考提示】：熟練掌握三角函數(shù)公式與性質(zhì)是解答好本類題的關(guān)鍵.
練習(xí)1: （2011年高考福建卷科9)若 ∈（0， ），且 ，則 的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)?∈（0， ），且 ，所以 ,
即 ,所以 = 或 (舍去),所以 ,即 ,選D.
考點(diǎn)2 考查 的圖象與性質(zhì)
考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的題目，是高考的重點(diǎn)題型.此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用，會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想解題.
【備考提示】：三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,熟練其基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題的關(guān)鍵.
練習(xí)2.(2011年高考江蘇卷9)函數(shù) 是常數(shù)， 的部分圖象如圖所示，則

【答案】
【解析】由圖象知：函數(shù) 的周期為 ，而周期 ，所以 ，由五點(diǎn)作圖法知： ，解得 ，又A= ，所以函數(shù) ，所以 .
考點(diǎn)3 三角函數(shù)與向量等知識(shí)的綜合
三角函數(shù)與平面向量的綜合,解答過程中,向量的運(yùn)算往往為三角函數(shù)提供等量條.
例3.（2009年高考江蘇卷第15題）
設(shè)向量
（1）若 與 垂直，求 的值；
（2）求 的最大值;
（3）若 ，求證： ∥ .
【解析】

【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的基本概念，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運(yùn)算和證明得基本能力.
【備考提示】：熟練三角公式與平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)是解決此類問題的關(guān)鍵.
練習(xí)3.（天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)2011年高三聯(lián)考二理）（本小題滿分13分）
已知向量 ， ．
（I）若 ,求 值；
（II）在 中，角 的對(duì)邊分別是 ，且滿足 ，
求函數(shù) 的取值范圍.
【解析】（I） ----------------1分
= ----------------3分
= ----------------4分
∵ ∴ ∴ = -------6分
（II）∵ ，
由正弦定理得 -----------------8分
∴
∴ - ----------------9分
∵ ∴ ，且
∴ ∵ ∴ ----------------10分
∴ ----------------11分
∴ ----------------12分
∴ ∴ ---13分
考點(diǎn)4. 解三角形
解決此類問題，要根據(jù)已知條，靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ?
例4. (2011年高考安徽卷科16) 在 ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a= ，b= ， ，求邊BC上的高.
【解析】∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，
又 ，∴ ，
即 ， ，又0°<A<180°，所以A＝60°.
在△ABC中，由正弦定理 得 ，
又∵ ，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，
∴BC邊上的高AD＝AC•sinC＝
.
【名師點(diǎn)睛】本題考察兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，利用內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形邊與角之間的大小對(duì)應(yīng)關(guān)系解三角形的能力，考察綜合運(yùn)算求解能力.
【備考提示】：解三角形問題所必備的知識(shí)點(diǎn)是三大定理“內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理”具體的思路是化統(tǒng)一的思想“統(tǒng)一成純邊或純角問題”即可.
練習(xí)4. （2011年高考東卷科17)在 ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知 .
（I）求 的值；
（II）若cosB= ，
【解析】(1)由正弦定理得 所以 = ,即 ,即有 ,即 ,所以 =2.
(2)由(1)知 =2,所以有 ,即c=2a,又因?yàn)?的周長(zhǎng)為5,所以b=5-3a,由余弦定理得：
，即 ，解得a=1，所以b=2.
【易錯(cuò)專區(qū)】
問題：三角函數(shù)的圖象變換
例. (2011年高考全國(guó)卷理科5)設(shè)函數(shù) ，將 的圖像向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則 的最小值等于( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】 即 ,
z則 時(shí) 故選C.
【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象平移,在平移時(shí),應(yīng)注意 的系數(shù).
【備考提示】：三角函數(shù)的圖象變換是高考的熱點(diǎn),必須熟練此類問題的解法.
【考題回放】
1. (2011年高考東卷理科3)若點(diǎn)（a,9）在函數(shù) 的圖象上，則tan= 的值為( )
（A）0 (B) (C) 1 (D)
【答案】D
【解析】由題意知:9= ,解得 =2,所以 ,故選D.
2. (2011年高考東卷理科6)若函數(shù) (ω>0)在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在 【答案】C.
【解析】若 對(duì) 恒成立，則 ，所以 ， .由 ，（ ），可知 ，即 ，所以 ，代入 ，得 ，由 ，得 ，故選C.
4.(2011年高考遼寧卷理科4)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin AsinB+bcos2A= 則 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】 D
【解析】由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A= sinA，即sinB（sin2A+cos2A）= sinA，
故sinB= sinA，所以 ；
5.(2011年高考遼寧卷理科7)設(shè)sin ，則 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】
6.(2011年高考浙江卷理科6)若 ， ， ， ，則 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】 C
【解析】
, 故選C.
7. (2011年高考全國(guó)新標(biāo)卷理科5)已知角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與橫軸的正半軸重合，終邊在直線 上，則， （ ）
A B C D
【答案】B
【解析】因?yàn)樵撝本�的斜率是 ，所以， .
8. (2011年高考全國(guó)新標(biāo)卷理科11)設(shè)函數(shù) 的最小正周期為 ，且 ，則（ ）
（A） 在 單調(diào)遞減 （B） 在 單調(diào)遞減 （C） 在 單調(diào)遞增 （D） 在 單調(diào)遞增
【答案】A
【解析】函數(shù)解析式可化為 ，
又因?yàn)樵摵瘮?shù)是偶函數(shù)，所以， ，所以，該函數(shù)在 上是減函數(shù)。故選A
9. (2011年高考天津卷理科6)如圖，在△ 中， 是邊 上的點(diǎn)，且 ，則 的值為（ ）
A． 　　　 B． 　
C． 　　 D．
【答案】D
【解析】設(shè) ,則由題意可得: ,在 中,由余弦定理得： = ，所以 = ，在△ 中，由正弦定理得， ，所以 ，解得 = ，故選D.
10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函數(shù) ，若 ，則 的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由 ，即 ，解得 ,
即 ，所以選B.
11．(2011年高考陜西卷理科6)函數(shù) 在 內(nèi)( )
（A）沒有零點(diǎn) （B）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
（C）有且僅有兩一個(gè)零點(diǎn)（D）有無窮個(gè)零點(diǎn)
【答案】B
【解析】令 ， ，則它們的圖像如圖故選B
12.(2011年高考重慶卷理科6)若 的內(nèi)角 所對(duì)的邊 滿足 ，且 ，則 的值為( )
（A） (B)
(C)1 (D)
【答案】A
【解析】由 得 ，由 得 ，解得 .
13. (2011年高考四川卷理科6)在 ABC中． .則A的取值范圍是( )
(A)(0， ] (B)[ ， ) (c)(0， ] (D) [ ， )
【答案】C
【解析】由正弦定理，得 ，由余弦定理，得 ，則 , , .
14.(2011年高考遼寧卷理科16)已知函數(shù)f（x）=Atan（ x+ ）（ ＞0， ），y=f（x）的部分圖像如下圖，則f（ ）=____________.

【答案】
【解析】函數(shù)f(x)的周期是 ，故 ，由 得 .所以 ，故 .
15.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一個(gè)內(nèi)角為120o，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4
的等差數(shù)列，則 的面積為_______________
【答案】
【解析】設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 ，最大角為 ，由余弦定理得 ，則 ，所以三邊長(zhǎng)為6,10,14.△ABC的面積為 .
16. (2011年高考全國(guó)新標(biāo)卷理科16)在 中， ，則 的最大值為 。
【答案】
【解析】在三角形ABC中，由正弦定理得

其中， ，又因?yàn)?，所以最大值為
17.(2011年高考浙江卷理科18)（本題滿分14分）在 中，角 所對(duì)的邊分別為a,b,c已知 且 .（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，求 的值；(Ⅱ)若角 為銳角，求p的取值范圍；
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得 ， ①
又 ②聯(lián)立①②解得
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知 ，由余弦定理得
即 由題設(shè)知
所以
18. (2011年高考天津卷理科15)（本小題滿分13分）
已知函數(shù) ，
（Ⅰ）求 的定義域與最小正周期；
（Ⅱ）設(shè) ，若 求 的大�。�
【解析】（Ⅰ）由 得 所以 的定義域?yàn)?br />. 的最小正周期為 .
（Ⅱ）由 得 即 ,
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求邊c的值
【解析】由 ，即 ，
因?yàn)?，所以 ，兩邊平方得 ．
（2）由 得 ，所以 ，所以 ，
由 得 ，由余弦定理得 ，
又 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
20. (2011年高考湖南卷理科17) （本小題滿分12分）在 中，角 所對(duì)的邊分別為 ，且滿足 .
求角 的大�。�
求 的最大值，并求取得最大值時(shí)角 的大小.
【解析】 由正弦定理得
因?yàn)?，所以 .從而 .又 ，所以 ，
則
由 知， ，于是 =
= =
因?yàn)?，所以 .從而當(dāng) ，即 時(shí)，
取最大值2.
綜上所述， 的最大值2，此時(shí) ， .
【高考沖策演練】
一、選擇題：
1.（ 2010年高考全國(guó)卷I理科2）記 ,那么 ( )
A. B. - C. D. -
3．（2010年高考福建卷理科1） 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式= ，故選A。
4．（2010年高考安徽卷理科9）動(dòng)點(diǎn) 在圓 上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周。已知時(shí)間 時(shí)，點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ，則當(dāng) 時(shí)，動(dòng)點(diǎn) 的縱坐標(biāo) 關(guān)于 （單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A、 B、 C、 D、 和
【答案】D
【解析】畫出圖形，設(shè)動(dòng)點(diǎn)A與 軸正方向夾角為 ，則 時(shí) ，每秒鐘旋轉(zhuǎn) ，在 上 ，在 上 ，動(dòng)點(diǎn) 的縱坐標(biāo) 關(guān)于 都是單調(diào)遞增的.
5.(2010年高考天津卷理科7)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若 ，sinC=2 sinB，則A=( )
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
【答案】A
【解析】由sinC=2 sinB結(jié)合正弦定理得： ，所以由于余弦定理得：

，所以A=30°，選A.
6．（2010年高考四川卷理科6）將函數(shù) 的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
8．（2010年高考陜西卷理科3）對(duì)于函數(shù) ，下列選項(xiàng)中正確的是 （ ）
（A） f（x）在（ ， ）上是遞增的 （B） 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
（C） 的最小正周期為2 （D） 的最大值為2
【答案】B
【解析】∵ ，∴易知 在 上是遞減的，∴選項(xiàng) 錯(cuò)誤.
∵ ，∴易知 為奇函數(shù)，∴ 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴選項(xiàng) 正確.
∵ ，∴ ，∴選項(xiàng) 錯(cuò)誤.
∵ ，∴ 的最大值為 ，∴選項(xiàng) 錯(cuò)誤.
9．(2010年高考全國(guó)2卷理數(shù)7）為了得到函數(shù) 的圖像，只需把函數(shù) 的圖像( )
（A）向左平移 個(gè)長(zhǎng)度單位 （B）向右平移 個(gè)長(zhǎng)度單位
（C）向左平移 個(gè)長(zhǎng)度單位 （D）向右平移 個(gè)長(zhǎng)度單位
【答案】B
【解析】 = ， = ，所以將 的圖像向右平移 個(gè)長(zhǎng)度單位得到 的圖像，故選B.
10．（2010年高考上海市理科15）“ ”是“ ”成立的（ ）
（A）充分不必要條. （B）必要不充分條.
（C）充分條. （D）既不充分也不必要條.
【答案】A
11. (2010年高考重慶市理科6)已知函數(shù) 的部分圖象如題(6)圖所示，則（ ）

（A） （B）

（C） (D)
【答案】D
【解析】 ,由五點(diǎn)作圖法知 ， = - .
12．（2009年高考廣東卷A科第9題）函數(shù) 是（ ）
A．最小正周期為 的奇函數(shù) B. 最小正周期為 的偶函數(shù)
C. 最小正周期為 的奇函數(shù) D. 最小正周期為 的偶函數(shù)
【答案】A
【解析】因?yàn)?為奇函數(shù), ,所以選A.
二．填空題：
13.(2011年高考安徽卷江蘇7)已知 則 的值為__________
【答案】
【解析】因?yàn)?,而 =-cot2x,所以 ,
又因?yàn)?,所以解得 ,所以 的值為 .
14．(2011年高考北京卷理科9)在 中。若b=5， ，tanA=2，則sinA=____________；a=_______________。
【答案】
【解析】由tanA=2得sinA= ，由正弦定理容易求得 .
15．(2011年高考福建卷理科14)如圖，△ABC中，AB=AC=2，BC= ，點(diǎn)D 在BC邊上，∠ADC=45°，則AD的長(zhǎng)度等于______。

【答案】
【解析】由正余弦定理容易求出結(jié)果.
16．(2011年高考上海卷理科6)在相距2千米的 ． 兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo) ，若 ，則 、 兩點(diǎn)之間的距離是 千米。
【答案】
【解析】由正弦定理得 ，解得AC= .
三．解答題：
17.(2011年高考重慶卷理科16)設(shè) 滿足 ，求函數(shù) 在 上的最大值和最小值
【解析】 ,
由 得 ，解得：
因此
當(dāng) 時(shí)， ， 為增函數(shù)，
當(dāng) 時(shí)， ， 為減函數(shù)，
所以 在 上的最大值為 ,又因?yàn)?， ,
所以 在 上的最小值為 .
18．(2011年高考北京卷理科15)已知函數(shù) 。
（Ⅰ）求 的最小正周期：
（Ⅱ）求 在區(qū)間 上的最大值和最小值。
【解析】（Ⅰ）因?yàn)?



所以 的最小正周期為
（Ⅱ）因?yàn)?
于是，當(dāng) 時(shí)， 取得最大值2；
當(dāng) 取得最小值—1.
19．(2011年高考福建卷理科16)已知等比數(shù)列{an}的公比q=3，前3項(xiàng)和S3= 。
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）若函數(shù) 在 處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）的解析式。

20．（2010年高考東卷理科17）已知函數(shù) ，其圖象過點(diǎn)（ , ）．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）將函數(shù) 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原的 ，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) 的圖象，求函數(shù) 在[0, ]上的最大值和最小值．
【解析】（Ⅰ）因?yàn)橐阎�函�?shù)圖象過點(diǎn)（ , ），所以有
，即有
= ，所以 ，解得 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以
= = ，
所以 = ，因?yàn)閤 [0, ]，所以 ，
所以當(dāng) 時(shí)， 取最大值 ；當(dāng) 時(shí)， 取最小值 。
21．（2010年高考福建卷理科19）
。 ，輪船位于港口O北偏西 且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小船沿直線方向以 海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇。
（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由。
【解析】如圖，由（1）得
而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，故輪船與小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，設(shè) ，OD= ，
由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為 和 ，
所以 ，解得 ，
從而 值，且最小值為 ，于是
當(dāng) 取得最小值，且最小值為 。
此時(shí)，在 中， ，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：
航行方向?yàn)楸逼珫| ，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.
22．（2009年高考北京卷理科第15題）在 中，角 的對(duì)邊分別為 ，

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