第一講 計數(shù)原理、二項式定理
【備考策略】
根據(jù)近幾年高考命題特點和規(guī)律，復習本專題時，要注意以下幾個方面：
1．復習時要注意控制難度，以中低檔題為主；
2．注意各知識點的交匯，如統(tǒng)計與概率，計數(shù)原理與概率等；
3．統(tǒng)計部分應重視莖葉圖的復習，概率部分應重視條件概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率和幾何概型；程序框圖應有所降溫。
【最新考綱透析】
1．分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理
（1）理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；
（2）會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題。
2．排列與組合
（1）理解排列、組合的概念；
（2）能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；
（3）能解決簡單的實際問題。
3．二項式定理
（1）能用計數(shù)原理證明二項式定理；
（2）會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。
【核心要點突破】
要點考向1：利用分步加法和分步乘法計數(shù)原理計數(shù)
考情聚焦：1．兩個計數(shù)原理是排列、組合的基礎，又是古典概率的必要工具，在每年的高考中都直接或間接考查。
2．多在選擇、填空題中出現(xiàn)，屬中檔或較難題目。
考向鏈接：1．“分類”與“分步”的區(qū)別：關鍵是看事件完成情況，如果每種方法都能將事件完成則是分類；如果必須要連續(xù)若干步才能將事件完成則是分步。分類要用分類計數(shù)原理將種數(shù)相加；分步要用分步計數(shù)原理將種數(shù)相乘。
2．對于較復雜的問題，一般要分類討論，此時要注意分類討論的對象和分類討論的標準。
例1：用1，2，3這三個數(shù)字組成四位數(shù)，要求這三個數(shù)字必須都使用，
但相同的數(shù)字不能相鄰，以這樣的方式組成的四位數(shù)共有（ ）
A．9個B．12個C．18個D．36個
【解析】選C.先選取使用兩次的數(shù)字有 種，然后將剩余的兩個數(shù)字全排列有 種，再將使用兩次的數(shù)字插入到這兩個數(shù)字之間有 種，故共有 =18種組合方式.
要點考向2：利用排列組合計數(shù)問題
考情聚焦：1．在高考題中可單獨考查，也可與古典概型結合起來考查。常與兩個計數(shù)原理交匯命題，是各省市高考的熱點。
2．以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題或較難題目。
考向鏈接：解排列組合綜合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手�！胺治觥本褪钦页鲱}目的條件、結論。哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有無限制等；“分類”就是對于較復雜的應用題中的元素往往分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列組合問題，然后逐步解決。
例2：（2010?北京高考理科?Ｔ4）8名學生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命題立意】本題考查排列組合的相關知識。所用技巧：有序排列無序組合、不相鄰問題插空法。
【思路點撥】先排8名學生，再把老師插入到9個空中去。
【規(guī)范解答】選A。8名學生共有 種排法，把2位老師插入到9個空中有 種排法，故共有 種排法。
【方法技巧】解決排列組合問題常用的方法與技巧：（1）有序排列無序組合；（2）不相鄰問題插空法：可以把要求不相鄰的元素插入到前面元素間的空中；（3）相鄰問題捆綁法。
要點考向3：二項式定理
考情聚焦：1．二項展開式的指定項、二項式系數(shù)和各項的系數(shù)是高考的重點。常與組合數(shù)、冪的運算交匯命題。
2．多出現(xiàn)在選擇題、填空題中，屬容易題或中檔題。
例3：（2010?陜西高考理科?Ｔ4） （ ）展開式中 的系數(shù)為10，則實數(shù) 等于（ ）
（A）-1 （B） (C) 1 (D) 2
【命題立意】本題考查二項式定理的通項公式的應用及運算能力，屬保分題。
【思路點撥】
【規(guī)范解答】選D ，令 ，所以 ，所以
【高考真題探究】
1．（2010?山東高考理科?Ｔ8）某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位、節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有
（A）36種（B）42種(C)48種（D）54種
【命題立意】本題考查排列組合的基礎知識，考查分類與分步計數(shù)原理，考查了考生的分析問題解決問題的能力和運算求解能力.
【思路點撥】根據(jù)甲的位置分類討論.
【規(guī)范解答】選B，分兩類：第一類：甲排在第一位，共有 種排法；第二類：甲排在第二位，共有 種排法，所以共有編排方案 種，故選B.
【方法技巧】排列問題常見的限制條件及對策
1、有特殊元素或特殊位置，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置.
2、元素必須相鄰的排列，將必須相鄰的的元素捆綁，作為一個整體，但要注意其內部元素的順序.
3、元素不相鄰的排列，先排其他元素，然后“插空”.
4、元素有順序限制的排列.
2．（2010?天津高考理科?Ｔ１0）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用
（A）288種 （B）264種 （C）240種 （D）168種
【命題立意】本題考查分類計數(shù)原理，排列組合等基礎知識，考查分析問題、解決問題的能力。
【思路點撥】先分步再排列
【規(guī)范解答】先涂色點E，有4種涂法，再涂點B，有兩種可能：
1、B與E相同時，依次涂點F,C,D,A，涂法分別有3,2,2,2種；
2、B與E不相同時有3種涂法，再依次涂F、C、D、A點，涂F有2種涂法，涂C點時又有兩種可能：
（1）C與E相同，有1種涂法，再涂點D，有兩種可能：
①D與B相同，有1種涂法，最后涂A有2種涂法；
②D與B不相同，有2種涂法，最后涂A有1種涂法。
（2）C與E不相同，有1種涂法，再涂點D，有兩種可能：
①D與B相同，有1種涂法，最后涂A有2種涂法；
②D與B不相同，有2種涂法，最后涂A有1種涂法。
所以不同的涂色方法有
。
【方法技巧】解題的關鍵是處理好相交線端點的顏色問題，解決排列組合應用題，要做到合理的分類，準確的分類，才能正確的解決問題。
3．（2010?遼寧高考理科?Ｔ13） 的展開式中的常數(shù)項為___-5______.
【命題立意】考查了二項式的展開式，
【思路點撥】展開式中的常數(shù)項只可能是 中的常數(shù)項與 中的常數(shù)項的積和 中的一次項與 中的 項的積以及 中的二次項與 中的 項積的和
【規(guī)范解答】
【方法技巧】
1、分清常數(shù)項是如何產(chǎn)生的。展開式中的常數(shù)項并不是 中的常數(shù)項與 中的常數(shù)項的積，而是 中的各項與 的展開式中的項的乘積中各常數(shù)項的和。
2、 展開式中第k+1項Tk+1＝ ，不要漏掉負號。
4．（2010?安徽高考理科?Ｔ12） 展開式中， 的系數(shù)等于________。
【命題立意】本題主要考查二項式定理，考查考生對二項式定理理解認知的水平。
【思路點撥】方法1：寫出展開式的通項，進而確定 的項及其系數(shù)。
方法2：要得到 項，必須 出現(xiàn)4次， 出現(xiàn)2次，即 ，這樣直觀快捷。
【規(guī)范解答】方法1： 展開式的通項為：
，當且僅當 時，能得到 的項，此時 ，所以 的系數(shù)等于15。
方法2： 所以 的系數(shù)等于15。
答案：15
5．（2010?浙江高考理科?Ｔ17）有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復. 若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人. 則不同的安排方式共有______________種（用數(shù)字作答）.
【命題立意】本題考查排列組合的相關知識，考查數(shù)學的應用能力。
【思路點撥】可以先安排上午的測試項目，再安排下午。
【規(guī)范解答】記4位同學分別為：A、B、C、D。則上午共有 =24種安排方式。不妨先假定上午如表格所示安排方式，
項目身高與體重立定跳遠肺活量握力臺階
上午ABCD
下午
則下午可如下安排：BADC、BCAD、BCDA、BDAC、CABD、CADB，CDAB、CDBA，DABC、DCAB、DCBA，共11種安排方式。因此，全天共有 =264種安排方式。
答案：264。
【方法技巧】解決排列組合問題時，常用的技巧：（1）特殊位置優(yōu)先安排；（2）合理分類與準確分步。
6．（2010?廣東高考理科?Ｔ8）為了迎接2010年廣州亞運會，某大樓安裝5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈商量的顏色各不相同。記這這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5妙。如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是
A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
【命題立意】本題考察排列的綜合問題。
【思路點撥】先用排列算出閃爍個數(shù) ，還要考慮每個閃爍間的時間。
【規(guī)范解答】選 每次閃爍時間為 秒，共 ，每兩次閃爍之間的間隔為 ，共 ，總共就有
【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.某班級有一個7人小組,現(xiàn)任選其中3人相互調整座位,其余4人座位不變,則不同的調整方案的種數(shù)為( )
(A)35(B)70(C)210(D)105
2.從6人中選出4人參加數(shù)、理、化、英語比賽，每人只能參加其中一項,其中甲、乙兩人都不能參加英語比賽，則不同的參賽方案種數(shù)共有( )
(A)96種 (B)180種 (C)240種 (D)288種
3.在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中若2a2+an-5=0,則自然數(shù)n的值是( )
(A)7(B)8(C)9(D)10
4．在 的展開式中， 的冪的指數(shù)是正整數(shù)的項共有（ ）
(A) 3項(B)4項(C)5項(D)2項
5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,則實數(shù)m的值為( )
(A)1或3 (B)-3 (C)1 (D)1或-3
6. 3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ）
（A）360 （B）288 （C）216 （D）96
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．若函數(shù) ，則
8.二項式(2+x)n的展開式中,前三項的系數(shù)依次為等差數(shù)列,則展開式的第8項的系數(shù)為______.(用數(shù)字表示)
9.用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有______個（用數(shù)字作答）.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.有同樣大小的9個白球和6個紅球.
(1)從中取出5個球,使得紅球比白球多的取法有多少種?
(2)若規(guī)定取到一個紅球記1分,取到一個白球記2分,則從中取出5個球,使得總分不小于8分的取法有多少種?
11．對于二項式 , 求：
（1）展開式的中間項是第幾項？寫出這一項；
（2）求展開式中除常數(shù)項外，其余各項的系數(shù)和；
（3）寫出展開式中系數(shù)最大的項
12．甲，乙，丙…等六人，身高各不相同，將他們排成二行三列，求下列條件的排法種數(shù)．
(I)甲、乙不在同一行；
(Ⅱ)甲不在第一列且乙不在第一行；
(Ⅲ)每列中第一行的人比第二行的人高且每行中的三人中間高兩邊矮．
參考答案
1．【解析】選B.從7人中選出3人,有 種方法,3人相互調整座位,共有2種調整方案,故總的調整方案種數(shù)為 ×2=70(種).
2．【解析】選C。分三類：①甲、乙均不參賽，有 種；
②甲、乙只一人參賽，有
③甲、乙均參賽，有
故不同的參賽方案種數(shù)共有 =240種。
3．
4．【解析】選A。 由題意 為正整數(shù)且 故 的冪的指數(shù)是正整數(shù)的項只有3項。
5．【解析】選D.當x=0時,得a0=1，當x=1時,得a0+a1+a2+…+a6=(1+m)6，∴a1+a2+…+a6=(1+m)6-1=63，
即(1+m)6=64=26，∴1+m=±2，∴m=1或m=-3.
6．【解析】選B。先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰有 種排法，在這些排法中甲站兩端的排法有 ，故所求的不同的排法種數(shù)有 種。
7．【解析】f(x)=(1+x)8，∴f(3)=(1+3)8=48=216，∴l(xiāng)og2f(3)=log2216=16.答案:16
8．【解析】前3項的系數(shù)分別為
由題意知：
即
∴n=8，∴展開式中 ∴第8項的系數(shù)為16。
答案:16
9．【解析】分兩大類：（1）四位數(shù)的4個數(shù)字如果有0，則0一定排在個、十、百位的任一位上。個、十、百位剩余的2個位置，一定是偶數(shù)或一定是奇數(shù)，故共有
（2）四位數(shù)的4個數(shù)字如果沒有0，則個、十、百位應全是偶數(shù)，或兩奇一偶，此時共有 180種，故符合題意的四位數(shù)共有144+180=324（個）。
答案:324
10．【解析】（1）5個全是紅球有 種取法，4個紅球、1個白球有 種取法，3個紅球、2個白球有 種取法，所以取出的紅球比白球多取法共有 + + =861（種）。
（2）要使總分不小于8分，至少需取3個白球2個紅球，3白2紅有 種取法，4白1紅有 種取法，5個全是白球有 種取法，所以總分不小于8分的取法共有 + + =2142（種）。
11．【解析】（1）展開式共11項，中間項為第6項， ……4分
12．【解析】（Ⅰ）第一步：確定甲，乙所在行有（2種）；
第二步：確定甲位置（3種）；
第三步：確定乙位置（3種）；
第四步：將其它人排好（ 種）；
∴有 （種）……2分
（Ⅱ）分兩類：
第一類： 甲在二、三列且甲在第一行.
第一步：先排甲乙（2種）；第二步：再排乙（3種）；第三步：再排其它（ 種）；
所以有 （種）.
第二類：甲在二、三列且甲在第二行.
第一步：先排甲（2種）；第二步：再排乙（2種）；第三步：再排其它（ 種）；
所以有 （種）
∴共有 （種）
（Ⅲ）由已知第一行中間人一定是最高的，第二行兩側的某人一定是最矮的.
∴第一步：排最高的人（1種）；
第二步：確定最矮人的位置（2種）；
第三步：在剩下的四人中選取一人到最高最矮人的角落（ 種）；
第四步：在剩下的三人中有 種排法：（∵剩下三個位子的角落必排剩下三人中最矮的）
∴有 種方法選手
【備課資源】
1.有兩排座位,前排4個座位,后排5個座位,現(xiàn)安排2人就坐,并且這2人不相鄰(一前一后也視為不相鄰),那么不同坐法的種數(shù)是( )
(A)18(B)26(C)29(D)58
【解析】選D.2個人從9個座位中選2個座位坐好,共有 種坐法,其中兩人相鄰的坐法有7 .故兩人不相鄰的坐法有 -7 =58（種）
2．下面是高考第一批錄取的一份志愿表�，F(xiàn)有4所重點院校，每所院校有3個專業(yè)是你較為滿意的選擇，如果表格填滿且規(guī)定學校沒胡重復，同一學校的專業(yè)也沒有重復的話，你將有幾種不同的填寫方法（ ）
【解析】選D。分4步完成，第1步，選擇學校有 種選擇方法。第2步，選擇第一志愿的專業(yè)，有 種選擇方法。第3步，選擇第二志愿的專業(yè)，有 種選擇方法。第4步，選擇第三志愿的專業(yè)，有 種選擇方法。
故填寫志愿共有 種填寫方法。
4. (1+x)7的展開式中x2項的系數(shù)是______.
【解析】∵T3= x2=21x2，
∴x2的系數(shù)為21.
答案:21
6.已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若5a1+2a2=0,則a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=_______.
【解析】
∵5a1+2a2=0，
即n2-6n=0，
解得n=6或n=0(舍)，
令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+(-1)6a6
=(1+1)6=64.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/60920.html
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