高考綜合演練2
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1．若集合 則 =（ ）
A． B． C．[—1，0]D．
2．已知b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，若復數(shù) 對應的點在實軸上，則b=（ ）
A． B． C．-2D．2
3．命題“ x>0，x2+x>0"的否定是（ ）
A． ，使得 B． ， ≤0
C． ，都有 ≤0D． ，都有
4．設函數(shù) 若 ，則 的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 ，則 （ ）
A. B. C. D.
6．已知向量 均為單位向量，若它們的夾角是60°，
則 等于 （ ）
A． B． C． D．4
7．數(shù)列{an}中，對于所有的正整數(shù)n都有 ，
則 等于 ( )
A. B. C. D.
8．給出下列四個命題：
①垂直于同一平面的兩條直線相互平行；
②垂直于同一平面的兩個平面相互平行；
③若一個平面內有無數(shù)條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；
④若一條直線垂直于一個平面內的任一直線，那么這條直線垂直于這個平面.
其中真命題的個數(shù)是（�。�
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．已知 ， ， 分別為圓錐曲線 和 的離心率，則 的值 ( )
A. 大于0且小于1 B. 大于1 C. 小于0 D. 等于0
10．若 ，則下列結論中不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．如右圖，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正三角形，俯視圖是一個圓，那么幾何體的側面積為( )
A． B.
C. D.
12．已知橢圓 的焦點為F1、F2，在長軸A1A2上任取一點M，過M作垂直于A1A2的直線交橢圓于P，則使得 的M點的概率（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分）
13．若 （ ， 是虛數(shù)單位），則 ．
14．若函數(shù) 在 處取極值，則
15．求定積分的值： = ；
16．已知 是雙曲線 的右支上一點， 、 分別為雙曲線的左、右頂點， ， 分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的離心率為 ，有下列命題：①若 ，則 的最大值為 ；② 的內切圓的圓心橫坐標為 ；③若直線 的斜率為 ，則 ．其中正確命題的序號是 ．
三、解答題（本大題共6個小題，總分74分）
17．已知函數(shù) ，其中 為常數(shù)， ，且 是方程 的解。
（I）求函數(shù) 的最小正周期；
（II）當 時，求函數(shù) 值域.
18．(12分)把一枚骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為m，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為n． (1)求m與n的和為5的概率；
(2)求兩直線mx+ny-1=O與2x+y-2=O相交的概率。
19．如圖, 四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形, PA⊥底面ABCD, E, F分別是
AC, PB的中點.
(Ⅰ) 證明: EF∥平面PCD；
(Ⅱ) 若PA＝AB, 求EF與平面PAC 所成角的大小.
20．已知函數(shù) ， 其中m∈R且m≠o．
（1）判斷函數(shù)f1（x）的單調性；
（2）若m<一2，求函數(shù) （ ）的最值；
21．某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學年中舉行5次統(tǒng)一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續(xù)學習，不用參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加5次測試. 假設某學生每次通過測試的概率都是1／3 ，每次測試通過與否互相獨立. 規(guī)定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試.
(Ⅰ) 求該學生考上大學的概率。
(Ⅱ) 如果考上大學或參加完5次測 試就結束，記該生參加測試的次數(shù)為ξ，求ξ的分 布列及ξ的數(shù)學期望.
22．如圖，已知橢圓 的上頂點為 ,右焦點為 ,直線 與圓 相切.
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）若不過點 的動直線 與橢圓 相交于 、 兩點，且 求證：直線 過定點，并求出該定點 的坐標.
參考答案
一、選擇題
1．【解析】選A
2．【解析】選A. 由題意知
3．答案：B
4．【解析】選B
5．【解析】選D.
6．【解析】選A
7．【解析】選A 方法1： 令n=1得 ，再令n=2、3、4、5，分別求出a3= ，a5= ，
∴a3+a5= .
方法2：∵ ，∴ （n≥2）
兩式相除
∴a3= ，a5= .∴a3+a5= .
8．【解析】選B.命題①，④為真， 命題②，③為假，故選B.
9．【解析】選C
10．【解析】選D；當 ， ，所以 不恒成立。
11．【解析】選A. .
12．【解析】選C
二、填空題
13．【解析】
答案：
14．【解析】 ＝ ， ＝ ＝0 Þ 3
答案：3
15．【解析】
答案： ．
16．【解析】①錯， 且 ，若設 ，則 ，此時 ，比 大，②正確，設內切圓G與 三邊切于 ， ， ， 在 上，由切線長定理及雙曲線定義可得 ， ， ，又 ，故 ．③正確， ，平方即得 ．
答案：②③
三、解答題
17．【解析】（I） ，
則 ，解得 -----------------------3分
所以 ，
則 --------------------------------5分
所以函數(shù) 的最小正周期為 .…………………………6分
（II）由 ，得 ，
則 ， -------------------------------10分
則 ，
所以 值域為 …… ………………………………12分
18．【解析】設所求（1），（2）分別為事件A,B:
P(A)=
（2）由兩條直線相交得： ,
由于只有(2,1), (4,2), (6,3), 三對有序數(shù)對(m,n),使
∴P(B)=
19．【解析】(Ⅰ) 證明: 如圖, 連結BD, 則E是BD的中點.
又F是PB的中點,，所以EF∥PD.
因為EF不在平面PCD內, 所以EF∥平 面PCD.
(Ⅱ) 連結PE.
因為ABCD是正方形，所以BD⊥AC.
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD.
因此BD⊥平面PAC.故∠EPD是PD與平面PAC所成的角.
因為EF∥PD,
所以EF與平面PAC所成的角的大小等于∠EPD.
因為PA＝AB＝AD, ∠PAD＝∠BAD＝ ,
所以Rt△PAD ≌ Rt△BAD.
因此PD＝BD.
在Rt△PED中,sin∠EPD＝ ,得∠EPD= .
所以EF與平面PAC所成角的大小是 .
20．【解析】（1）∵
則當 時，在（-2，2）上函數(shù) 單調遞增；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上單調遞減。
當 時，在（-2，2）上函數(shù) 單調遞減；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上單調遞增。
（2）由 ，，-2≤x≤2，可得 ，
∴
由（1）知，當 ，-2≤x≤2時， 在 上是減函數(shù)，
而 在 上也是減函數(shù)10分
∴當 時，
取最大值4? ，
當 時， 取最小值 12分
21．【解析】（Ⅰ）記“該生考上大學”的事件為事件A，其對立事件為 ，則
∴
（Ⅱ）該生參加測試次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5.
，
，
，
故ξ的分布列為：
2345
P
22．【解析】（Ⅰ）將圓 的一般方程 化為標準方程
，圓 的圓心為 ,半徑 .
由 , 得直線 ,
即 ,
由直線 與圓 相切,得 ,
或 (舍去).
當 時, ,
故橢圓 的方程為
（Ⅱ）(方法一)由 知 ,從而直線 與坐標軸不垂直,
由 可設直線 的方程為 ，直線 的方程為 .
將 代入橢圓 的方程 并整理得: ,
解得 或 ,因此 的坐標為 ,
即
將上式中的 換成 ,得 .
直線 的方程為
化簡得直線 的方程為 ，
因此直線 過定點 .
(方法二)由題直線 的斜率存在，則可設直線 的方程為：
，
代入橢圓 的方程 并整理得:
,
設直線 與橢圓 相交于 、 兩點，則 是上述關于 的方程兩個 不相等的實數(shù)解，從而
由 得
，
整理得： 由 知 .
此時 , 因此直線 過定點 .
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