2012版高三數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案：第八章 平面解析幾何
第二節(jié) 直線與圓
【高考目標導(dǎo)航】
一、圓的方程
（一）考綱點擊
1、掌握確定圓的幾何要素，掌握確定圓的標準方程與一般方程；
2、初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。
（二）熱點提示
1、圓的標準方程和一般方程以及圓的幾何性質(zhì)是高考考查的重點；
2、多以選擇、填空的形式出現(xiàn)，屬中低檔題目。
二、直線、圓的位置關(guān)系
（一）考綱點擊
1、能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系；
2、能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；
3、初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。
（二）熱點提示
1、直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系特別是直線與圓相切一直是高考考查的重點和熱點，主要考查：
（1）方程中含有參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系的判斷；
（2）利用相切或相交的條件確定參數(shù)的值或取值范圍；
（3）利用相切或相交求圓的切線或弦長。
2、本部分在高考試題中多為選擇、填空題，有時在解答題中考查直線與圓位置關(guān)系的綜合問題。
【考綱知識梳理】
一、圓的方程
1．圓的定義
（1）在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。
（2）確定一個圓的要素是圓心和半徑。
2．圓的方程
圓的標準方程圓的一般方程
方程
圓心坐標（a,b）
半徑r
注：方程 表示圓的充要條件是
3．點與圓的位置關(guān)系
已知圓的方程為 ，點 。則：
（1）點在圓上： ；
（2）點在圓外： ；
（3）點在圓內(nèi)： 。
4．確定圓的方程方法和步驟
確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：
（1）根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；
（2）根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D、E、F的方程組；
（3）解出a,b,r或D、E、F代入標準方程或一般方程。
注：用待定系數(shù)法求圓的方程時，如何根據(jù)已知條件選擇圓的方程？（當條件中給出的是圓上幾點坐標，較適合用一般方程，通過解三元方程組求相應(yīng)系數(shù)；當條件中給出的是圓心坐標或圓心在某條直線上、圓的切線方程、圓弦長等條件，適合用標準方程。對于有些題，設(shè)哪種形式都可以，這就要求根據(jù)條件具體問題具體分析。）
二、直線、圓的位置關(guān)系
1．直線與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系相離相切相交
公共點個數(shù)0個1個2個
幾何特征（圓心到直線的距離 ，半徑 ）
代數(shù)特征（直線與圓的方程組成的方程組）無實數(shù)解有兩組相同實數(shù)解有兩組不同實數(shù)解
注：在求過一定點的圓的切線方程時，應(yīng)首先判斷這點與圓的位置關(guān)系，若點在圓臺上，則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線應(yīng)有兩條，謹防漏解。
2．圓與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含
公共點個數(shù)01210
幾何特征（圓心距 ，兩圓半徑 ， ， ）
代數(shù)特征（兩個圓的方程組成的方程組）無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解
【要點名師透析】
一、圓的方程
（一）圓的方程的求法
※相關(guān)鏈接※
1．確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法。如果選擇標準方程，即列出關(guān)于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心（a,b）和半徑r.
2．如果已知條件中圓心的位置不能確定，則選擇圓的一般方程。圓的一般方程也含有三個獨立的參數(shù)，因此，必須具備三個獨立的條件，才能確定圓的一般方程，其方法仍采用待定系數(shù)法。設(shè)所求圓的方程為： 由三個條件得到關(guān)于D、E、F的一個三元一次方程組，解方程組確定D、E、F的值。
3．以 為直徑的兩端點的圓的方程為
注：在求圓的方程時，常用到圓的以下必修性質(zhì)：
（1）圓心在過切點且與切線垂直的直線上；
（2）圓心在任一弦的中垂直上；
（3）兩圓心或外切時，切點與兩圓圓心三點共線。
※例題解析※
〖例〗求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長為 的圓的方程。
思路解析：由條件可設(shè)圓的標準方程求解，也可設(shè)圓的一般方程，但計算較繁瑣。
解答：（方法一） 設(shè)所求的圓的方程是 ，
則圓心(a,b)到直線x-y=0的距離為 ，
∴ ,
即 ………………………………………………①
由于所求的圓與x軸相切，∴ ………………………………②
又因為所求圓心在直線3x-y=0上，
∴3a-b=0………………………………………………………………③
聯(lián)立①②③，解得a=1,b=3, =9或a=-1,b=-3, =9.
故所求的圓的方程是：
（方法二）設(shè)所求的圓的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，圓心為 ，半徑為 令y=0，得x2+ Dx+ F =0，由圓與x軸相切，得?=0，即D2-4F……④
又圓心 到直線x-y=0的距離為 ,
由已知，得 ,
即 = …………………………………………⑤
又圓心 在直線3x-y=0上，∴3D-E=0…………………………⑥
聯(lián)立④⑤⑥，解得
D=-1，E=-6，F(xiàn)=1或D=2，E=6，F(xiàn)=1。
故所求圓的方程是 =0或
（二）與圓有關(guān)的最值問題
※相關(guān)鏈接※
1．求與圓有關(guān)的最值問題多采用幾何法，就是利用一些代數(shù)式的幾何意義進行轉(zhuǎn)化。如（1）形如m= 的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；（2）形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為直線在y軸上的截距的最值問題；（3）形如m= 的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離平方的最值問題。
2．特別要記住下面兩個代數(shù)式的幾何意義：
表示點(x,y)與原點（0，0）連線的直線斜率， 表示點（x,y）與原點的距離。
※例題解析※
〖例〗已知實數(shù) 、 滿足方程 。
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求 - 的最大值和最小值；
（3）求 的最大值和最小值。
思路解析：化 ， 滿足的關(guān)系為 理解 ， - ， 的幾何意義 根據(jù)幾何意義分別求之。
解答：（1）原方程可化為 ，表示以（2，0）為圓心， 為半徑的圓， 的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè) = ，即 。當直線 與圓相切時，斜率 取最大值或最小值，此時 ，解得 =± 。
所以 的最大值為 ，最小值為?
（2） - 可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時 ，解得 。所以 - 的最大值為 ，最小值為 。
（3） 表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值。又圓心到原點的距離為 ，所以 的最大值是 ， 的最小值是 。
（三）與圓有關(guān)的軌跡問題
※相關(guān)鏈接※
1．解決軌跡問題，應(yīng)注意以下幾點：
（1）求方程前必須建立平面直角坐標系（若題目中有點的坐標，就無需建系），否則曲線就不可轉(zhuǎn)化為方程。
（2）一般地，設(shè)點時，將動點坐標設(shè)為（x,y），其他與此相關(guān)的點設(shè)為 等。
（3）求軌跡與求軌跡方程是不同的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形。
2．求軌跡方程的一般步驟：
（1）建系：設(shè)動點坐標為（x,y）；
（2）列出幾何等式；
（3）用坐標表示得到方程；
（4）化簡方程；
（5）除去不合題意的點，作答。
※例題解析※
〖例〗設(shè)定點M（-3，4），動點N在圓 上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡。
思路解析：先設(shè)出P點、N點坐標，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，用P點坐標表示N點坐標，代入圓的方程可求。
解答：如圖所示，
設(shè)P（x,y），N ，則線段OP的中點坐標為 ，線段MN的中點坐標為 。因為平行四邊形的對角線互相平分，故 。N（x+3,y-4）在圓上，故 。因此所求軌跡為圓： ，擔(dān)應(yīng)除去兩點： （點P在OM所在的直線上時的情況）。
（四）有關(guān)圓的實際應(yīng)用
〖例〗有一種大型商品，A、B兩地都有出售，有價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：A地每公里的運費是B地每公里運費的3倍。已知A、B兩地距離為10公里，顧客選擇A地或B地購買這件商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低。求P地居民選擇A地或B地購物總費用相等時，點P所在曲線的形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購物地點？
思路解析：根據(jù)條件，建立適當坐標系，求出點P的軌跡方程，進而解決相關(guān)問題。
解答：如圖，
以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系，∵AB?=10，∴A（-5，0），B（5，0）。設(shè)P（x,y）,P到A、B兩地購物的運費分別是3a、a（元/公里）。當由P地到A、B兩地購物總費用相等時，有：價格+A地運費=價格+B地運費，
∴3a? =a? .
化簡整理，得
（1）當P點在以（- ，0）為圓心、 為半徑的圓上時，居民到A地或B地購物總費用相等。
（2）當P點在上述圓內(nèi)時，
當P點在上述圓外時，
注：在解決實際問題時，關(guān)鍵要明確題意，掌握建立數(shù)學(xué)基本模型的方法將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決。
二、直線、圓的位置關(guān)系
（一）直線和圓的位置關(guān)系
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直線和圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法
（1）第一種方法是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立組成方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用判別式?來討論位置關(guān)系，即
?>0 直線與圓相交;
?=0 直線與圓相切;
?<0 直線與圓相離.
（2）第二種方法是幾何的觀點，即將圓心到直線的距離d與半徑r比較來判斷，即
d
d=r 直線與圓相離。
※例題解析※
〖例〗已知圓
（1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線上；
（2）與 平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；
（3）求證：任何一條平行于 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等。
思路解析：用配方法將圓的一般方程配成標準方程，求出圓心坐標，消去m就得關(guān)于圓心的坐標間的關(guān)系，就是圓心的軌跡方程；判斷直線與圓相交、相切、相離，只需比較圓心到直線的距離d與圓半徑的大小即可；證明弦長相等時，可用幾何法計算弦長。
解答：（1）配方得： 設(shè)圓心為(x,y)，則 ，消去m得 則圓心恒在直線 。
（2）設(shè)與 平行的直線是： ，
（3）對于任一條平行于 且與圓相交的直線 ： ，由于圓心到直線 的距離
（與m無關(guān)）。弦長=
∴任何一條平行于 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等。
（二）圓與圓的位置關(guān)系
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1．判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法；
2．若兩圓相交，則兩圓公式弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去 項即可得到；
3．兩圓公切線的條數(shù)（如下圖）
（1）兩圓內(nèi)含時，公切線條數(shù)為0；
（2）兩圓內(nèi)切時，公切線條數(shù)為1；
（3）兩圓相交時，公切線條數(shù)為2；
（4）兩圓外切時，公切線條數(shù)為3；
（5）兩圓相離時，公切線條數(shù)為4。
因此求兩圓的公切線條數(shù)主要是判斷兩圓的位置關(guān)系，反過來知道兩圓公切線的條數(shù)，也可以判斷出兩圓的位置關(guān)系。
※例題解析※
〖例〗求經(jīng)過兩圓 和 的交點，且圓心在直線x－y－4=0上的圓的方程
思路解析：根據(jù)已知，可通過解方程組 得圓上兩點，由圓心在直線x－y－4=0上，三個獨立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程；也可根據(jù)已知，設(shè)所求圓的方程為 ，再由圓心在直線x－y－4=0上，定出參數(shù)λ，得圓方程
解答：因為所求的圓經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點，
所以設(shè)所求圓的方程為
展開、配方、整理，得 + = +
圓心為 ，代入方程x－y－4=0，得λ=－7
故所求圓的方程為
注：圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圓C1、C2相交，那么過兩圓公共點的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）它表示除圓C2以外的所有經(jīng)過兩圓C1、C2公共點的圓
（三）圓的切線及弦長問題
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1．求圓的切線的方法
（1）求圓的切線方程一般有兩種方法：
①代數(shù)法：設(shè)切線方程為 與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式?=0進而求得k。
②幾何法：設(shè)切線方程為 利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d=r，進而求出k。
兩種方法，一般來說幾何法較為簡潔，可作為首選。
注：在利用點斜式求切線方程時，不要漏掉垂直于x軸的切線，即斜率不存在時的情況。
（2）若點 在圓 上，則M點的圓的切線方程為 。
2．圓的弦長的求法
（1）幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為L，則 。
（2）代數(shù)法：設(shè)直線與圓相交于 兩點，解方程組 消y后得關(guān)于x的一元二次方程，從而求得 則弦長為
。
（四）直線、圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用
〖例〗如圖，矩形 的兩條對角線相交于點 ， 邊所在直線的方程為 , 點 在 邊所在直線上．
（I）求 邊所在直線的方程；
（II）求矩形 外接圓的方程；
（III）若動圓 過點 ，且與矩形 的外接圓外切，求動圓 的圓心的方程．
解答：（I）因為 邊所在直線的方程為 ，且 與 垂直，
所以直線 的斜率為 ．又因為點 在直線 上，
所以 邊所在直線的方程為 ． ．-----------------3分
（II）由 解得點 的坐標為 ， ------------4分
因為矩形 兩條對角線的交點為 ．
所以 為矩形 外接圓的圓心． -----------------6分
又 ．
從而矩形 外接圓的方程為 ．----------------------9分
（III）因為動圓 過點 ，所以 是該圓的半徑，又因為動圓 與圓 外切，
所以 ，即 ．------------------------11分
故點 的軌跡是以 為焦點，實軸長為 的雙曲線的左支．
因為實半軸長 ，半焦距 ．
所以虛半軸長 ．
從而動圓 的圓心的軌跡方程為 ． -----------------14分
【感悟高考真題】
1．（2011?安徽高考文科?Ｔ4）若直線 過圓 的圓心，則 的值為（ ）
（A）-1 （B） 1 （C）3 （D）-3
【思路點撥】將圓的方程化為標準形式，得到圓心坐標，代入直線方程求出 .
【精講精析】選B.圓的方程 可變形為 ，所以圓心坐標為（-1,2），代入直線方程得 .
2．（2011?江西高考理科?Ｔ9）若曲線 ： ?2 =0與曲線 : 有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是 （ ）
(? ， ） B. （? ，0）∪（0， ）
C. [? ， ] D.( －∞, － )∪( ,+∞)
【思路點撥】先根據(jù)方程y(y-mx-m)=0,得出y=0或y-mx-m=0，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，易得m的取值范圍.
【精講精析】選B.
3．（2011?江蘇高考?Ｔ14）設(shè)集合 , , 若 則實數(shù)m的取值范圍是______________
【思路點撥】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出集合所代表的幾何意義，然后結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，求得實數(shù)m的取值范圍.
【精講精析】答案： 由 得， ，所以 或 .當 時， ，且 ，又 ，所以集合A表示的區(qū)域和集合B表示的區(qū)域無公共部分；當 時，只要 或 解得 或 ，所以，實數(shù) 的取值范圍是 .
4．（2011?新課標全國高考文科?Ｔ20）在平面直角坐標系xOy中，曲線 與坐標軸的交點都在圓C上
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線 交于A，B兩點，且 ，求a的值.
【思路點撥】第（1）問，求出曲線 與坐標軸的3個交點，然后通過3個點的坐標建立方程或方程組求得圓C的方程;
第（2）圓，設(shè) ， ，利用直線方程 與圓的方程聯(lián)立，化簡 ，最后利用待定系數(shù)法求得 的值.
【精講精析】（Ⅰ）曲線 與坐標軸的交點為（0,1）（3
故可設(shè)圓的圓心坐標為（3， t）則有 +
解得t=1,則圓的半徑為 .
所以圓的方程為 .
（Ⅱ）設(shè)A( B( 其坐標滿足方程組
消去y得到方程
由已知可得判別式△=56-16a-4 >0
由韋達定理可得 ， ①
由 可得 又 .所以
2 ②
由①②可得a=-1,滿足△>0，故a=-1.
【考點精題精練】
一、選擇題
1．已知圓 與 軸的兩個交點為 、 ，若圓內(nèi)的動點 使 、 、 成等比數(shù)列，則 的取值范圍為--------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案:B
2．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對稱，則圓C的方程為（ ）
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1
C.x2＋(y＋1)2＝1 D.x2＋(y－1)2＝1
答案:C
3．直線 與圓 相切，則 的值為（ ）
A. 0 B. C.2 D.
答案:A
4．已知 為圓 的兩條互相垂直的弦， 交于點 ，則四邊形 面積的最大值為-----（ ）
A 4 B 5 C 6 D 7
答案:B
5．兩圓 的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)切B．外切C．相離D．內(nèi)含
答案:B
6．直線x+y+1=0與圓 的位置關(guān)系是 （ ）
A.相交 B.相離 C.相切 D.不能確定
答案：C提示：圓心 ，
7．已知圓的方程為 ，設(shè)圓中過點 的最長弦與最短弦分別為 、 ，則直線 與 的斜率之和為（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案:B
8．經(jīng)過圓 的圓心且斜率為1的直線方程為（ ）
A． B． C. D．
答案:A
9．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點，且∠POQ＝120°(其中O為原點)，則k的值為（ ）
A、±12 B、±32 C、±33 D、±3
答案:A
10．已知點P（x，y）是直線kx + y + 4 = 0（k > 0）上一動點，PA、PB是圓C： 的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（ ）
A．3B． C． D．2
答案：D
11．已知圓的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線 相切，則圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案:A
12．如圖，點P(3，4)為圓 上的一點，點E，F(xiàn)為y軸上的兩點，△PEF是以點P為頂點的等腰三角形，直線PE，PF交圓于D，C兩點，直線CD交y軸于點A，則sin∠DAO的值為 ( )
A． B． C． D．
答案:A
二、填空題
13．如圖，點A、B、C是圓O上的點，且AB=4， ，則圓O的面積等于
答案:
14．圓C: （ 為參數(shù)）的圓心坐標是 ；若直線 與圓C相切，則 的值為 .
答案: 0
15．已知直線 與圓 相交于 、 兩點， ，則 ? =
答案:
16．已知實數(shù) 成等差數(shù)列，點 在直線 上的射影是Q，則Q的軌跡方程是________。
答案:
三、解答題
17．已知A是圓 上任一點，AB垂直于x軸，交x軸于點B．以A為圓心、AB為半徑作圓交已知圓于C、D，連結(jié)CD交AB于點P.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)若(1)所求得的點P的軌跡為M,過點Q( ,0)作直線l交軌跡M于E、G兩點，O為坐標原點，求△EOG的面積的最大值，并求出此時直線l的傾斜角.
解答:(1)設(shè)點A的坐標為A(2cos?，2sin?)，
則以A為圓心、AB為半徑的圓的方程為
(x－2cos?)2 + (y－2sin?)2 = 4sin2?．……………… 1分
聯(lián)立已知圓x2 + y2 = 4的方程，相減，
可得公共弦CD的方程為
xcos? + ysin? = 1+ cos2?． (1) ………………3分
而AB的方程是 x = 2cos?． (2)
所以滿足(1)、(2)的點P的坐標為(2cos?，sin?)，消去?，即得
點P的軌跡方程為x2 + 4y2 = 4． ……………… 5分
說明： 設(shè)A(m，n)亦可類似地解決．
(2) △EOG的最大面積為1. ……………… 9分
此時直線l的傾斜角為45或135. ……………… 10分
18．設(shè) 、 為坐標平面 上的點，直線 （ 為坐標原點）與拋物線 交于點 (異于 ).
若對任意 ，點 在拋物線 上，試問當 為何值時，點 在某一圓上，并求出該圓方程 ；
若點 在橢圓 上，試問：點 能否在某一雙曲線上，若能，求出該雙曲線方程，若不能，說明理由；
對（1）中點 所在圓方程 ，設(shè) 、 是圓 上兩點，且滿足 ，試問：是否存在一個定圓 ，使直線 恒與圓 相切.
解答：（1） ，-------------2分
代入 -非所問------ 4分
當 時，點 在圓 上- --------5分
（2） 在橢圓 上，即
可設(shè) -- -------------------7分
又 ，于是
（令 ）
點 在雙曲線 上 ------------10分
（3） 圓 的方程為
設(shè) 由
--------------------------12分
又
， ------------14分
又原點 到直線 距離 ，即原點 到直線 的距離恒為
直線 恒與圓 相切。
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