高考導(dǎo)航
考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能用這些特征描述簡單物體的結(jié)構(gòu).
2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖,能識(shí)別三視圖表示的立體模型;會(huì)制作模型,會(huì)用斜二測法畫直觀圖.
3.通過觀察用平行投影與中心投影畫出的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表現(xiàn)形式.
4.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.
5.掌握和理解點(diǎn)、空間直線、平面之間的關(guān)系.
6.掌握空間線線、線面、面面平行的判定和性質(zhì).掌握空間線線、線面、面面垂直的判定和性質(zhì).
7.掌握空間向量及其基本運(yùn)算(空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量);理解共線、共面向量、空間向量定理,掌握空間向量的數(shù)量積;理解空間向量坐標(biāo)概念,運(yùn)算,法向量.
8.理解空間角,會(huì)求線線角、線面角、面面角.
9.掌握空間距離,會(huì)由坐標(biāo)求兩點(diǎn)間的距離及點(diǎn)到平面的距離. 本章重點(diǎn):1.正投影與三視圖的畫法以及應(yīng)用;2.幾何體的表面積和體積的計(jì)算;3.直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系;4.直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的判定方法和性質(zhì);5.利用空間向量求空間距離和空間角.
本章難點(diǎn):1.利用直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直和平行的判定定理與性質(zhì)定理解決有關(guān)問題;2.利用空間向量求空間角. 1.三視圖結(jié)合幾何體求面積、體積是高考熱點(diǎn),這也是新課改的新增內(nèi)容.空間角是高考的重點(diǎn),點(diǎn)、線、面的平行和垂直關(guān)系是考查的切入點(diǎn).本章高考時(shí)一般是選擇填空題至多1個(gè),解答題1個(gè).多是以幾何體為載體,主要考查平行、垂直或計(jì)算多面體的面積與體積、空間角.
2.高考考查的熱點(diǎn)是三視圖和幾何體的結(jié)構(gòu)特征借以考查空間想象能力,往往是以選擇題、填空題出現(xiàn).
3.核心是以幾何體為載體,考查平行、垂直關(guān)系的性質(zhì)與判定.
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
10.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖
典例精析
題型一 結(jié)構(gòu)特征判斷
【例1】 以下命題錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是 ( )
①以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓錐;
②圓臺(tái)的任意兩條母線的延長線可能相交,也可能不相交;
③四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形;
④三棱錐的四個(gè)面可能都是直角三角形;
⑤有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái).
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【解析】①錯(cuò):只能以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周才可;
②錯(cuò):必相交;
③對(duì):如圖,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD時(shí),四個(gè)側(cè)面均為直角三角形;
④對(duì):如圖,∠ABC=90°,PA⊥底面,則四個(gè)面均為直角三角形;
⑤錯(cuò):只有側(cè)棱延長交于一點(diǎn)時(shí)才是棱臺(tái).
綜上,錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是3,故選C.
【點(diǎn)撥】判斷結(jié)構(gòu)特征必須嚴(yán)格依據(jù)柱、錐、臺(tái)、球的定義,結(jié)合實(shí)際形成一定的空間想象能力.
【變式訓(xùn)練1】給出下列命題:
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;
②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線;
③在圓臺(tái)的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線;
④圓柱的任意兩條母線所在直線互相平行.
其中正確命題的序號(hào)是 .
【解析】②④.
題型二 直觀圖的斜二測畫法
【例2】 用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形,則原來的圖形是( )
【解析】按照斜二測畫法的作圖規(guī)則,對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證,可知只有選項(xiàng)A符合題意.
【點(diǎn)撥】本題已知直觀圖,探求原平面圖形,考查逆向思維能力.要熟悉運(yùn)用斜二測畫法畫水平放置的直觀圖的基本規(guī)則,注意直觀圖中的線段、角與原圖中的對(duì)應(yīng)線段、角的關(guān)系.
【變式訓(xùn)練2】已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形,求原三角形的面積.
【解析】因?yàn)橹庇^圖的坐標(biāo)軸成45°,橫長不變,豎長畫成原來的一半,則還原成原圖時(shí)將45°還原成90°,則過A′作A′O′與O′C′成45°,將其還原成90°,且AO=2A′O′.
而A′D′=32a.所以A′O′=32a×2=62a,所以AO=6a.
所以S△ABC=12BC? AO=12a×6a=62a2.
題型三 三視圖與直觀圖
【例3】 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的三視圖如下.
(1)求出該四棱柱的表面積;
(2)求證:D1C⊥AC1;
(3)設(shè)E是DC上一點(diǎn),試確定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并說明理由.
【解析】(1)求得該四棱柱的表面積為S=11+22.
(2)證明:由三視圖得該四棱柱為直四棱柱且底面為直角梯形.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,連接C1D.
因?yàn)镈C=DD1,所以四邊形DCC1D1是正方形.
所以DC1⊥D1C.
又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,
所以AD⊥平面DCC1D1.
又D1C?平面DCC1D1,所以AD⊥D1C.
因?yàn)锳D,DC1?平面ADC1,且AD∩DC1=D,
所以D1C⊥平面ADC1.
又AC1?平面ADC1,所以D1C⊥AC1.
(3)連接AD1,AE,設(shè)AD1∩A1D=M,
BD∩AE=N,連接MN.
因?yàn)槠矫鍭D1E∩平面A1BD=MN,
要使D1E∥平面A1BD,須使MN∥D1E,
又M是AD1的中點(diǎn),所以N是AE的中點(diǎn).
又易知△ABN≌△EDN,
所以AB=DE,即E是DC的中點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí),可使D1E∥平面A1BD.
【點(diǎn)撥】本題以三視圖為載體考查空間線面位置關(guān)系的證明以及表面積的計(jì)算,解決此類問題的關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治,從三視圖中發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,然后在直觀圖中解決問題.
【變式訓(xùn)練3】如圖所示,甲、乙、丙是三個(gè)幾何體的三視圖,則甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)依次是( )
①長方體;②圓錐;③三棱錐;④圓柱.
A.④③②B.①③②C.①②③ D.④②③
【解析】選A.
總結(jié)提高
學(xué)習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)要以對(duì)實(shí)物的觀察想象為基礎(chǔ),再以課本中給定的柱、錐、臺(tái)、球的概念為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)實(shí)物進(jìn)行再認(rèn)識(shí),通過這一過程提高空間想象能力.
10.2 空間幾何體的表面積與體積
典例精析
題型一 表面積問題
【例1】 圓錐的高和底面半徑相等,它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等,求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比.
【解析】設(shè)圓錐的半徑為R,母線長為l,圓柱的半徑為r,軸截面如圖,
S圓錐=π(R+l)R =π(R+2R)R=(2π+π)R2,
S圓柱=2πr(r+r)=4πr2,
又rR=R-rR,所以rR=12,
所以S圓柱S圓錐=2-11.
【點(diǎn)撥】 軸截面是解決內(nèi)接、外切問題的一種常用方法.
【變式訓(xùn)練1】一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m).
(1)試畫出它的直觀圖;
(2)求它的表面積和體積.
【解析】(1)直觀圖如圖所示.
(2)該幾何體的表面積為(7+2) m2,體積為32 m3.
題型二 體積問題
【例2】 某人有一容積為V,高為a且裝滿了油的直三棱柱形容器,不小心將該容器掉在地上,有兩處破損并發(fā)生滲漏,其位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b、c的地方,且容器蓋也被摔開了(蓋為上底面),為減少油的損失,該人采用破口朝上,傾斜容器的方式拿回家,估計(jì)容器內(nèi)的油最理想的剩余量是多少?
【解析】 如圖,破損處為D、E,且AD=b,EC=c,BB1=a, 則容器內(nèi)所剩油的最大值為幾何體ABC-DB1E的體積.
因?yàn)?= ,而 =a+c2a,
由三棱柱幾何性質(zhì)知 =23V, =V3,
所以 =a+c3aV,
又因?yàn)?=ba,所以 VD-ABC=ba?V3=bV3a,
所以 = +VD-ABC=a+b+c3aV.
故油最理想的剩余量為a+b+c3aV.
【點(diǎn)撥】將不規(guī)則的幾何體分割為若干個(gè)規(guī)則的幾何體,然后求出這些規(guī)則幾何體的體積,這是求幾何體體積的一種常用的思想方法.
【變式訓(xùn)練2】一個(gè)母線長與底面圓直徑相等的圓錐形容器,里面裝滿水,一鐵球沉入水內(nèi),有水溢出,容器蓋上一平板,恰與球相切,問容器內(nèi)剩下的水是原來的幾分之幾?
【解析】設(shè)球的半徑為R,則圓錐的高h(yuǎn)=3R,底面半徑r=3R,
V圓錐=π3?(3R)2?3R=3πR3;V球=43πR3.
所以V球V圓錐=43πR33πR3=49,
所以剩下的水量是原來的1-49=59.
【點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是求圓錐與球的體積之比,作出軸截面,找出球半徑和圓錐高、底面半徑的關(guān)系即可.
題型三 組合體的面積、體積的關(guān)系
【例3】底面直徑為2,高為1的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱,設(shè)這個(gè)長方形截面的一條邊長為x,對(duì)角線長為2,截面的面積為A,如圖所示:
(1)求面積A以x為自變量的函數(shù)式;
(2)求截得棱柱的體積的最大值.
【解析】 (1)A=x?4-x2(0<x<2).
(2)V=x?4-x2?1=x2(4-x2) =-(x2-2)2+4.
因?yàn)?<x<2,所以當(dāng)x=2時(shí),Vmax=2.
【點(diǎn)撥】關(guān)鍵是理解截面,并且注意x的范圍從而求體積,在求第(2)求體積時(shí)還可利用不等式.
【變式訓(xùn)練3】(2010山東檢測)把一個(gè)周長為12 cm的長方形圍成一個(gè)圓柱,當(dāng)圓柱的體積最大時(shí),該圓柱的底面周長與高的比為( )
A.1∶2B.1∶πC.2∶1D.2∶π
【解析】設(shè)長方形的一條邊長為x cm,則另一條邊長為(6-x) cm,且0<x<6,以長為(6-x) cm的邊作為圍成的圓柱的高h(yuǎn),若設(shè)圓柱的底面半徑為r,則有2πr=x,所以r=x2π,因此圓柱的體積V=π?(x2π)2(6-x)=14π(6x2-x3),由于V′=14π?(12x-3x2),令V′=0,得
x=4,容易推出當(dāng)x=4時(shí)圓柱的體積取得最大值,此時(shí)圓柱的底面周長是4 cm,圓柱的高是2 cm,所以圓柱的底面周長與高的比為2∶1,選C.
總結(jié)提高
表面積包含側(cè)面積和底面積;直棱柱的側(cè)棱長即側(cè)面展開圖矩形的一邊;對(duì)于正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái),其所有側(cè)面多邊形均全等,故可先求一個(gè)的側(cè)面積,再乘以側(cè)面多邊形的個(gè)數(shù).
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