2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)平面向量教案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
專題二:三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量
第三講 平面向量
【最新考綱透析】
1.平面向量的實際背景及基本概念
(1)了解向量的實際背景。
(2)理解平面向量的概念,理解兩個向量相等的含義。
(3)理解向量的幾何意義。
2.向量的線性運算
(1)掌握向量加法、減法的運算,并理解其幾何意義。
(2)掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義。
(3)了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義。
3.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意義。
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。
(3)會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算。
(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。
4.平面向量的數(shù)量積
(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及 其物理意義 。
(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。
(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算。
(4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。
5.向量的應(yīng)用
(1)會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。
(2)會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題 。
【核心要點突破】
要點考向1:向量的有關(guān)概念及運算
考情聚焦:1.向量的有關(guān)概念及運算,在近幾年的高考中年年都會出現(xiàn)。
2.該類問題多數(shù)是單獨命題,考查有關(guān)概念及其基本運算;有時作為一種數(shù)學(xué)工具,在解答題中與其他知識點交匯在一起考查。
3.多以選擇、填空題的形式出現(xiàn),有關(guān)會滲透在解答題中。
考向鏈接:向量的有關(guān)概念及運算要注意以下幾點:
(1)正確理解相等向量、共線向量、相反向量、單位向量、零向量等基本概念,如有遺漏,則會出現(xiàn)錯誤。
(2)正確理解平面向量的運算律,一定要牢固掌握、理解深刻

(3)用已知向量表示另外一些向量,是用向量解題的基礎(chǔ),除了用向量的加減法、實數(shù)與向量乘積外,還要充分利用平面幾何的一些定理,充分聯(lián)系其他知識。
例1:(2010?山東高考理科?T12)定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下,對任意的 , ,令 ⊙ ,下面說法錯誤的是( )
A.若 與 共線,則 ⊙ B. ⊙ ⊙
C.對任意的 ,有 ⊙ ⊙ D. ( ⊙ )2
【命題立意】本題在平面向量的基礎(chǔ)上,加以創(chuàng)新,屬創(chuàng)新題型,考查平面向量的基礎(chǔ)知識以及分析問題、解決問題的能力.
【思路點撥】根據(jù)所給定義逐個驗證.
【規(guī)范解答】選B,若 與 共線,則有 ⊙ ,故A正確;因為 ⊙ ,,而 ⊙ ,所以有 ⊙ ⊙ ,故選項B錯誤,故選B.
【方法技巧】自定義型信息題
1、基本特點:該類問題的特點是背景新穎,信息量大,是近幾年高考的熱點題型.
2、基本對策:解答這類問題時,要通過聯(lián)想類比,仔細分析題目中所提供的命題,找出其中的相似性和一致性
要點考向2:與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題
考情聚焦:1.與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題(如向量共線、垂直及夾角等問題)是高考考查的重點。
2.該類問題多數(shù)是單獨命題,有時與其他知識交匯命題,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
3.多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),有時會滲透在解答題中。
考向鏈接:與平面向量數(shù)量積有關(guān)的問題
1.解決垂直問題: 均為非零向量。這一條件不能忽視。
2.求長度問題: ,特 別地 。
3.求夾角問題:求兩非零向量夾角的依據(jù)

例2:1 .(2010?湖南高考理科?T4)在 中, =90°AC=4,則 等于( )
A、-16 B、-8 C、8 D、16
【命題立意】以直角三角形為依托,考查平面向量的數(shù)量積,基底的選擇和平面向量基本定理.
【思路點撥】由于 =90,因此選向量CA,CB為基底.
【規(guī)范解答】選D . =(CB-CA)?(-CA)=-CB?CA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有兩條路:一是考查加減法,平行四邊形法則和三角形法則,平面向量共線定理.二是考查數(shù)量積,平面向量基本定理,考查 垂直,夾角和距離(長度).
2. (2010?廣東高考文科?T5)若向量 =(1,1), =(2,5), =(3,x)滿足條件(8 — )? =30,則x=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【命題立意】本題考察向量的坐標(biāo)運算及向量的數(shù)量積運算.
【思路點撥】 先算出 ,再由向量的數(shù)量積列出方程,從而求出
【規(guī)范解答】選 . ,所以
. 即: ,解得: ,故選 .
要點考向3:向量與三角函數(shù)的綜合
考情聚集:1.向量與三角函數(shù)相結(jié)合是高考的重要考查內(nèi)容,在近幾年的高考中,年年都會出現(xiàn)。
2.這類問題一般比較綜合,考查綜合應(yīng)用知識分析問題、解決問題的能力。一般向量為具,考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)等。
3.多以解答題的形式出現(xiàn)。
例3.在直角坐標(biāo)系

(I)若 ;
(II)若向量 共線,當(dāng)
【解析】(1) …………2分

解得 ………………4分
或 …………6分
(II) ………………8分

…………10分

………………12分
注:向量與三角函數(shù)的綜合,實質(zhì)上是借助向量的工具性。(1)解決這類問題的基本思路方法是將向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算;(2)常用到向量的數(shù)乘、向量的代數(shù)運算,以及數(shù)形結(jié)合的思路。

【高考真題探究】
1.(2010?重慶高考理科?T2)已知向量 , 滿足 ,則 ( )
A.0 B. C.4 D.8
【命題立意】本小題考查向量的基礎(chǔ)知識、數(shù)量積的運算及性質(zhì),考查向量運算的幾何意義,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.
【思路點撥】根據(jù)公式 進行計算,或數(shù)形結(jié)合法,根據(jù)向量的三角形法則、平行四邊形法則求解.
【規(guī)范解答】選B (方法一)
;(方法二)數(shù)形結(jié)合法:由條件 知,以向量
, 為鄰邊的平行四邊形為矩形,又因為 ,所以 ,
則 是邊長為2的正方形的一條對角線確定的向量,其長度為 ,如圖所示.
【方法技巧】方法一:靈活應(yīng)用公式 ,
方法二:熟記向量 及向量和的三角形法則
2.(2010?全國高考卷Ⅱ理科?T8)△ABC中,點D在
邊AB上,CD平分∠ACB,若 = ,
= , , 則 =( )
(A) + (B) + (C) + (D) +
【命題立意】本題考查了平面向量基本定理及三角形法則的知識。
【思路點撥】運用平面向量三角形法則解決。由角平分線性質(zhì)知DB:AD= CB:CA =1:2
這樣可以用向量 , 表示 。
【規(guī)范解答】 選B,由題意得AD:DB=AC;CB=2:1,AD= AB,所以 + +
+
【方法技巧】角平分線性質(zhì)、平面向量基本定理及三角形法則
3.(2010?浙江高考文科?T13)已知平面向量 則 的值是 。
【命題立意】本題主要考察了平面向量的四則運算及其幾何意義,屬中檔題。
【思路點撥】本題先把垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0,再利用向量求模公式求解。
【規(guī)范解答】由題意可知 ,結(jié)合 ,解得 ,
所以 2= ,開方可知答案為 .
【答案】
【方法技巧】(1) ;(2) 。
4.(2009江西高考)已知向量 , , ,若 則 = .
【解析】因為 所以 .
答案:
5.(2009廣東高考)已知向量 與 互相垂直,其中 .
(1)求 和 的值;
(2)若 ,求 的值.
【解析】(1)∵ 與 互相垂直,則 ,即 ,
代入 得 ,
又 ,∴ .
(2)∵ , ,
∴ ,則 ,
∴ .
6.(2009海南寧夏高考)已知向量
(Ⅰ)若 ,求 的值;
(Ⅱ)若 求 的值.
【解析】(Ⅰ) 因為 ,所以 于是 ,故
(Ⅱ)由 知, 所以
從而 ,即 ,
于是 .又由 知, ,
所以 ,或 .因此 ,或

【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(本 大題共6個小題,每小題6分,總分36分)
1.若 ,且 ,則向量 與 的夾角為 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2. 已知O,A,M,B為平面上四點,且 ,則( )
A.點M在線段AB上 B.點B在線段AM上
C.點A在線段BM上D. O、A、M、B四點一定共線
3.平行四邊形ABCD中,A C為一條對角線,若 =(2,4), =(1,3),則 ? 等于( )
A.6 B.8 C.-8 D.-6
4. 已知 為不共線的非零向量,且 ,則以下四個向量中模最小者為……( )
(A) (B) (C) (D)
5. 已知向量 夾角為120°,且 則 等于( )
(A)4 (B)3(C)2 (D)1
6. 平面向量的集合A 到A的映射f( )= -( ? ) ,其中 為常向量.若映射f滿足f( )?f( )= ? 對任意的 , ∈A恒成立,則 的坐標(biāo)可能是( )
A.( , ) B.( ,- ) C.( , ) D.(- , )
二、填空題(本大題共3個小題,每小題6分,總分18分)
7. 已知e1、e2是兩個不共線的向量,a = k2e1 + ( k)e2和b = 2e1 + 3e2是兩個共線向量,則實數(shù)k =
8. 已知向量 , 滿足 , , 與 的夾角為 ,則 _________,若 ,則實數(shù) _________.
9. 給定兩個長度為1的平面向量 和 ,它們的夾角為 .如圖所示,點C在以O(shè)為圓心的圓弧 上變動。若 其中 ,則 的最大值是 .

三、解答題(10、11題每小題15分,12題16分,總分46分)
10. 已知 向量 , , ,且 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的值.

11.設(shè)函數(shù) ,其中向量 , .
(Ⅰ)求函數(shù) 的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間.

12.已知向量 , , .
(Ⅰ)若 ,求 ;
(Ⅱ)設(shè) ,
(1)求 的單調(diào)增區(qū)間;
(2)函數(shù) 經(jīng)過怎樣的平移才能使所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)?
參考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空題
7.
8. 3,3
9. 2
三、解答題
10. 解析:(Ⅰ)由向量 , , ,且 .
得 .
即 .
所以 .
因為 ,
所以 .
因為 ,
所以 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 .
則 .


11. 解:(I)



(II)由 ,



12. 解:(I)若 ,則


(II)
(1)令 得, ,
又 , ,即(0, 是 的單調(diào)增區(qū)間
(2)將函數(shù) 的圖像向上平移1個單位,再向左平移 個單位,即得函數(shù)
的圖像,而 為奇函數(shù)
(左、右平移的單位數(shù)不唯一,只要正確,就給 分.)


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