本章的定義、定理、性質(zhì)多，為了易于掌握，可把主要知識系統(tǒng)化．首先，歸納總結(jié)，理線串點，可分為四塊：A、平面的三個基本性質(zhì)，四種確定平面的條件；B、兩個特殊的位置關(guān)系，即線線，線面，面面的平行與垂直．C、三個所成角；即線線、線面、面面所成角；D、四個距離，即兩點距、兩線距、線面距、面面距．
其次，平行和垂直是位置關(guān)系的核心，而線面垂直又是核心中的核心，線面角、二面角、距離等均與線面垂直密切相關(guān)，把握其中的線面垂直，也就找到了解題的鑰匙．
再次，要加強數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，立體幾何中蘊涵著豐富的思想方法，化空間圖形為平面圖形解決，化幾何問題為坐標化解決，自覺地學(xué)習(xí)和運用數(shù)學(xué)思想方法去解題，常能收到事半功倍的效果．
第1課時 空間直線
1．空間兩條直線的位置關(guān)系為 、 、 ．
2．相交直線 一個公共點，平行直線 沒有公共點，
異面直線：不同在任 平面，沒有公共點．
3．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相 ．
4．等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩角 ．
5．異面直線的判定定理
過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi) 的直線是異面直線(作用：判定兩條直線是異面直線)
6．異面直線的距離：和兩條異面直線 的直線稱為異面直線的公垂線．兩條異面直線的公垂線在 的長度，叫兩異面直線的距離．
例1. 如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分別是AB、CD的中點．
(1) 求證：EF是AB和CD的公垂線；
(2) 求AB和CD間的距離．
例2. S是正三角形ABC所在平面外的一點，如圖SA＝SB＝SC，
且 ASB＝ BSC＝ CSA＝ ，M、N分別是AB和SC的中點．
求異面直線SM與BN所成的角．
例3. 如圖，棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P
分別為A1B1、BB1、CC1的中點．
(1) 求異面直線D1P與AM，CN與AM所成角；
例4．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底
面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF．
(1) 證明MF是異面直線AB與PC的公垂線；
(2) 若PA＝3AB，求直線AC與平面EAM所成角的正弦值．
求兩條異面直線所成角的步驟：
(1)找出或作出有關(guān)角的圖形；(2)證明它符合定義；(3)求角．
1.在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AB、CD的中點，EF＝ ，求AD、BC所成角的大小．
2.正 ABC的邊長為a，S為 ABC所在平面外的一點，SA＝SB＝SC＝a，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點．
(1) 求異面直線SC和AB的距離；
(2) 求異面直線SA和EF所成角．
3.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分別是A1B1和A1C1的中點，若BC＝CA＝CC1，求NM與AN所成的角．
4.如圖，在正方體 中，
E、F分別是 、CD的中點．
（１）證明 ；（２）求 與 所成的角。
第2課時 直線和平面平行
1．直線和平面的位置關(guān)系 、 、 ．
直線在平面內(nèi)，有 公共點．直線和平面相交，有 公共點．
直線和平面平行，有 公共點．
直線與平面平行、直線與平面相交稱為直線在平面外．
2．直線和平面平行的判定定理
如果平面外 和這個平面內(nèi) 平行，那么這條直線和這個平面平行．
(記憶口訣：線線平行 線面平行)
3．直線和平面平行的性質(zhì)定理
如果一條直線和一個平面 ，經(jīng)過 平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．(記憶口訣：線面平行 線線平行)
例1．如圖，P是 ABC所在平面外一點，M PB，
試過AM作一平面平行于BC，并說明畫法的理論依據(jù)．
例2. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．
( 1 ) 證明：PA∥平面EDB；
( 2 ) 求EB與底面ABCD所成的角的正切值．
例3．已知： ABC中， ACB＝90°，D、E分別為AC、AB的中點，沿DE將 ADE折起使A到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE，M是A'B的中點，求證：ME∥面A'CD．
例4： (2005年北京)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點D是AB的中點．
( 1 ) 求證：AC⊥BC1；(2) 求證：AC1∥平面CDB1；
(3) 求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值．
1．證明直線和平面平行的方法有：(1)依定義采用反證法；(2)判定定理；(3)面面平行性質(zhì)；(4)向量法．
2．輔助線(面)是解、證有關(guān)線面問題的關(guān)鍵，要充分發(fā)揮在化空間問題為平面問題的轉(zhuǎn)化作用．
1.如圖，已知 平面 ， 平面 ，△ 為等邊三角形，
， 為 的中點.
(1) 求證： 平面 ；
(2) 求證：平面 平面 ；
2.（09北江中學(xué)文期末）如圖，在底面是矩形的四棱錐 中， 面 ， 、 為別為 、
的中點，且 ， ，
（Ⅰ）求四棱錐 的體積；
（Ⅱ）求證：直線 ∥平面
第3課時 直線和平面垂直
1．直線和平面垂直的定義
如果一條直線和一個平面的 直線垂直，那么這條直線和這個平面互相垂直．
2．直線和平面垂直的判定定理
如果一條直線和一個平面內(nèi)的 直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．
3．直線和平面垂直性質(zhì)
若a⊥ ，b 則 若a⊥ ，b⊥ 則
若a⊥ ，a⊥ 則 過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條．
4．點到平面距離
過一點作平面的垂線 叫做點到平面的距離．
5．直線到平面的距離
一條直線與一個平面平行時，這條直線上 到這個平面的距離叫做直線到平面距離．
例1. OA、OB、OC兩兩互相垂直，G為 ABC的垂心．求證：OG 平面ABC．
例2 如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC中點．
(1) 求證：MN⊥CD；
(2) 若 PDA＝45°，求證：MN⊥面PCD．
例3．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分別為CD、PB的中點．
(1) 求證：EF⊥平面PAB；
(2) 設(shè)AB＝ BC，求AC與平面AEF所成的角的大小．
例4：如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝ a．
(1) 求證：PD⊥面ABCD；
(2) 求直線PB與AC所成角；
(3) 求二面角A－PB－D大小．
線面垂直的判定方法：(1) 線面垂直的定義； (2)判定定理；
(3) 面面垂直的性質(zhì)； (4) 面面平行的性質(zhì)：若 ∥ ，a⊥ 則a ⊥
1：如圖SA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥SC，且AF∩SC＝F，求證：(1) BC⊥面SAB；(2) AE⊥面SBC；(3) SC⊥EF．
2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB．
求證：① ABCD是正方形；② PC⊥BC．
3：如圖，在三棱錐A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD， BAD＝ BDC＝90°，AB＝AD＝3 ，BC＝2CD．求：
(1) 求AC的長；
(2) 求證：平面ABC⊥平面ACD；
(3) 求D點到平面ABC的距離d．
第4課時 平面與平面平行
1．兩個平面的位置關(guān)系：
2．兩個平面平行的判定定理
如果一個平面內(nèi)有兩條 直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．
(記憶口訣：線面平行，則面面平行)
3、兩個平面平行的性質(zhì)定理
如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它所有的 平行．
(記憶口訣：面面平行，則線線平行)
4．兩個平行平面距離
和兩個平行平面同時 的直線，叫做兩個平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分叫做兩個平面的 ，兩個平行面的公垂線段的 ，叫做兩個平行平面的距離．
例1.設(shè)直線l,m,平面α,β,下列條件能得出α∥β的是…( )
A.l α,m α,且l∥β,m∥β B.l α,m α,且l∥m
C.l⊥α,m⊥β,且l∥m D.l∥α,m∥β,且l∥m
例2．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中點．
(1) 求證：平面AMN∥平面EFDB；
(2) 求異面直線AM、BD所成角的余弦值．
例3．如圖：直三棱柱 ，底面三角形ABC中， ， ，棱 ，M、N分別為A1B1、AB的中點
①求證：平面A1NC∥平面BMC1； ②求異面直線A1C與C1N所成角的大小；
③求直線A1N與平面ACC1A1所成角的大小。
1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分別是棱AA1、CC1的中點，則過點B、P、Q的截面（ ）
A 鄰邊不等的平行四邊形； B 菱形但不是正方形
C 鄰邊不等的矩形 D 正方形
2.設(shè)有不同的直線，a、b和不同的平面 ，給出下列三個命題，其中正確的個數(shù)是（ ）
（1）a∥ ，b∥ 則a∥b （2）若a∥ ，a∥ 則 ∥
（3）若 ⊥ ， ⊥ 則 ∥
A. 0 B. 1 C. 2 D .3
3. 是兩個平面， 、 是兩條直線，那么 ∥ 的一個充分而不必要的條件是 ( )
A. ∥ ，m∥ B. ∥m
C. ⊥ ,m⊥ 且 ∥m D . ∥ ，m∥ ，且 ∥m
4.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分別是CC1、B1C1、C1D1的中點．
求證：(1) AP MN；(2) 平面MNP∥平面A1BD．
5.P是 所在平面外一點， 、 、 分別是 、 、 的重心
（1）求證：平面 ∥平面ABC （2）求 ：
第5課時 兩個平面垂直
1．兩個平面垂直的定義：如果兩個平面相交所成二面角為 二面角，則這兩個平面互相垂直．
2．兩個平面垂直的判定：如果一個平面 有一條直線 另一個平面，則這兩個平面互相垂直．
3．兩個平面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面垂直，那么一個平面 的垂直于它們的 的直線垂直于另一個平面．
例1 如圖所示，在四面體S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．
求證：平面ABC⊥平面BSC．
例2.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點，又二面角P－CD－B為45°．
⑴ 求證：AF∥平面PEC；
⑵ 求證：平面PEC⊥平面PCD；
⑶ 設(shè)AD＝2，CD＝2 ，求點A到面PEC的距離．
在證明兩平面垂直時，一般方法是從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線；若沒有這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并且要有利于證明，不能隨意添加，在有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后再轉(zhuǎn)化為線線垂直．“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵．
1.如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
⑴ 求證：AB⊥BC；
⑵ 若設(shè)二面角S－BC－A為45°，
SA＝BC，求二面角A－SC－B的大�。�
2.已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，點E為AB中點，點F為PD中點．
（1） 證明：平面PED⊥平面PAB；
（2） 求二面角P－AB－F的平面角的余弦值．
3.如果在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
⑴ 若G為AD邊的中點，求證BG⊥平面PAD；
⑵ 求證AD⊥PB；
⑶ 求二面角A－BC－P的大��；
⑷ 若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，
使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．
第6課時 空間角
1．兩異面直線所成的角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間一點O分別引直線a' a，b' b，把直線a'和b'所成的 或 叫做兩條異面直線a、b所成的角，其范圍是 ．
2．直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的 所成的 角，叫做這條斜線和平面所成的角．
規(guī)定： ① 一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是 角；② 一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是 角．其范圍是 ．
3．二面角：從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角．
4．二面角的平面角：以二面角的棱上 一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作 棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，其范圍是 ．
例1. 如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點．（1）求EF與平面PAD所成角的大��；
（2）求EF與CD所成角的大�。�
（3）若∠PDA＝45°，求：二面角F—AB—D的大�。�
例2.正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC中點．
⑴ 求證：平面BEC1⊥平面ACC1A1；
⑵ 求證：AB1∥平面BEC1；
⑶ 若 ，求二面角E－BC1－C的大�。�
1．兩異面直線所成角的作法：① 平移法：② 補形法
2．作出直線和平面所成角的關(guān)鍵是作垂線，找射影．
3．平面角的作法：① 定義法；② 三垂線法；③ 垂面法．
4．二面角計算，一般是作出平面角后，通過解三角形求出其大小，也可考慮利用射影面積公式 S'＝Scosθ來求;空間角的計算有時也可以利用向量的求角公式完成．
1、如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成的角的余弦值是（ �。 �
（A） （B） �。–） （D）
2、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（ ） A. B. C. D.
3.如圖，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角
C1—BD—C的大小為60°，求異面直線BC1與AC所成
的角的大�。�
4. △ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求：
⑴ AD與平面DBC所成的角；
⑵ 二面角A－BD－C的正切值．
第7課時 空間距離
1．點與點的距離：兩點間 的長．
2．點與線的距離：點到直線的 的長．
3．平行線間的距離：從兩條平行線中一條上 一點向另一條引垂線，這點到 之間的線段長．
4．點與面的距離：點到平面的 的長．
5．平行于平面的直線與平面的距離：直線上 一點到平面的 的長．
6．兩個平行平面間的距離：從其中一個平面上 一點向另一個平面引垂線，這點到 之間的線段長．
7．兩條異面直線的距離：與兩條異面直線都 的直線夾在兩 間線段的長．
例1.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，Ｅ、F分別是BB1、CD的中點.
⑴ 求證：AD⊥D1F；
⑵ 求證：AE與D1F所成的角；
⑶ 求點F到平面A1D1E的距離．
例2.如圖，四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．
（1）若點D到平面ABC的距離不小于3，求二面角A—BC—D的取值范圍；
（2）當(dāng)二面角A—BC—D的平面角為 時，求點C到平面ABD的距離．
第8課時 棱柱 棱錐
例1. 如圖，正三棱錐P—ABC中，側(cè)棱PA與底面ABC成60°角．
（1）求側(cè)PAB與底面ABC成角大小；
（2）若E為PC中點，求AE與BC所成的角；
（3）設(shè)AB＝ ，求P到面ABC的距離．
例2. 四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，∠DAB＝45°；側(cè)面PAD是等腰直角三角形，AP＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．
⑴ 求證：PA⊥BD；
⑵ 求PB與底面ABCD所成角的正切值；
⑶ 求直線PD與BC所成的角．
例3.（2009湖南卷文）（本小題滿分12分）
如圖3，在正三棱柱 中，AB=4, ,點D是BC的中點，點E在AC上，且DE E.
（Ⅰ）證明：平面 平面 ;
（Ⅱ）求直線AD和平面 所成角的正弦值。
1．正四棱錐的側(cè)棱長為 ，側(cè)棱與底面所成的角為 ，則該棱錐的體積為
A．3 B．6 C．9 D．18
2．已知正四棱錐 的側(cè)棱長與底面邊長都相等， 是 的中點，則 所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，在三棱錐 中， ， ， ．
（1）求證： ；
（2）求二面角 的大�。�
（3）求點 到平面 的距離．
4．如圖，在四棱錐 中，底面 是矩形．已知 ， ， ， ， ．
（Ⅰ）證明 平面 ；
（Ⅱ）求異面直線 與 所成的角的大��；
（Ⅲ）求二面角 的大�。�
5、如圖，已知 平面 ， 平面 ，△ 為等邊三角形，
， 為 的中點.
(1) 求證： 平面 ；
(2) 求證：平面 平面 ；
(3) 求直線 和平面 所成角的正弦值.
6.（2009北京卷文）（本小題共14分）
如圖，四棱錐 的底面是正方形， ，點E在棱PB上.
（Ⅰ）求證：平面 ；
（Ⅱ）當(dāng) 且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.
第9課時 球
例1．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為（ ）
A. B. C. D.
例2． 長方體 的8個頂點在同一個球面上，且AB=2，AD= ，
，則頂點A、B間的球面距離是( )
A． B． C． D．2
例3．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
計算球面上A、B兩點的球面距離是一個難點，其關(guān)鍵是利用“AB既是小圓的弦，又是大圓的弦”這一事實，其一般步驟是：
(1) 根據(jù)已知條件求出小圓的半徑r和大圓的半徑R，以及所對小圓圓心角；
(2) 在小圓中，由r和圓心角求出AB；
(3) 在大圓中，由AB和R求出大圓的圓心角；
(4) 由圓心角和R，求出大圓弧長AB (即球面上A、B兩點的距離)．
1.長方體 的各頂點都在半徑為1的球面上,其中 ,則兩 點的球面距離為( )
A． B． C． D．
2．設(shè) 是球心 的半徑 上的兩點，且 ，分別過 作垂線于 的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：( )
（Ａ） �。ǎ拢� �。ǎ茫� �。ǎ模�
3．已知點 在同一個球面上, 若
,則 兩點間的球面距離是
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相關(guān)閱讀：第十二章立體幾何(高中數(shù)學(xué)競賽標準教材)