2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
專題十二 高考中的解答題的解題策略
【重點(diǎn)知識(shí)回顧】
解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個(gè)檔次，低檔題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法與技能，中檔題還要考查數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算能力、思維能力、整合與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力，高檔題還要考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力及分析問題和解決問題的能力．
解答題的解題步驟
1.分析條件，弄清問題
2.規(guī)范表達(dá)，實(shí)施計(jì)劃
3.演算結(jié)果，回顧反思
解答題的解題策略
1.從條件入手――分析條件，化繁為簡，注重隱含條件的挖掘；
2.從結(jié)論入手――執(zhí)果索因，搭好聯(lián)系條件的橋梁；．
3.回到定義和圖形中來；
4.換一個(gè)角度去思考；
5優(yōu)先作圖觀察分析，注意挖掘隱含條件；
6.注重通性通法，強(qiáng)化得分點(diǎn)。
【典型例題】
1.從定義信息入手
定義信息型題是近幾年來高考出現(xiàn)頻率較高的新題型之一，其命題特點(diǎn)是：給出一個(gè)新的定義、新的關(guān)系、新的性質(zhì)、新的定理等創(chuàng)新情境知識(shí)，然后在這個(gè)新情境下，綜合所學(xué)知識(shí)并利用新知識(shí)作為解題工具使問題得到解決，求解此類問題通常分三個(gè)步驟：（1）對(duì)新知識(shí)進(jìn)行信息提取，確定化歸方向；（2）對(duì)新知識(shí)中所提取的信息進(jìn)行加工，探究解題方法；（3）對(duì)提取的知識(shí)加以轉(zhuǎn)換，進(jìn)行有效組合，進(jìn)而求解．
例1、根據(jù)定義在集合A上的函數(shù) ，構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：
①輸入數(shù)據(jù) ，計(jì)算出 ；②若 ，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作，若 ，則輸出x1,并將x1反饋回輸入端，再計(jì)算出 ，并依此規(guī)律繼續(xù)下去，現(xiàn)在有 ， ，
（Ⅰ）求證：對(duì)任意 ，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個(gè)無窮數(shù)列 ；
（Ⅱ）若 ，記 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式．
【解析】（Ⅰ）證明：當(dāng) ，即0
∴ ，又 ，∴ ，∴ ，
即 ．故對(duì)任意 有 ；由 有 ，由 有 ；以此類推，可以一直繼續(xù)下去，從而可以產(chǎn)生一個(gè)無窮數(shù)列 ．
（Ⅱ）由 ，可得 ，
∴ ，即 ，
令 ，則 ，又
，
∴數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，以 為公比的等差數(shù)列，
∴ ，于是 ．
【題后反思】
本題以算法語言為命題情境，構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，通過定義工作原理，得到一個(gè)無窮數(shù)列 ，這是命題組成的第一部分，解答時(shí)只需依照命題程序完成即可，第（Ⅱ）問其實(shí)是一個(gè)常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，由上可知，創(chuàng)新題的解答還是需要考生有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)解題功底．
2. 由巧法向通法轉(zhuǎn)換
巧法的思維起點(diǎn)高，技巧性也強(qiáng)，有匠心獨(dú)具、出人意料等特點(diǎn)，而巧法本身的思路難尋，方法不易把握，而通法則體現(xiàn)了解決問題的常規(guī)思路，而順達(dá)流暢，通俗易懂的特點(diǎn)．
例2、已知 ，求 的取值范圍．
【解析】由 ，得 ，
∴ ，
∴
，
從而得 ．
【題后反思】
本題是一典型、常見而又方法繁多、技巧性較強(qiáng)的題目，求解時(shí)常常出錯(cuò)，尤其是題目的隱含條件的把握難度較大，將解法退到常用的數(shù)學(xué)方法之一――消元法上來，則解法通俗、思路清晰．
3. 常量轉(zhuǎn)化為變量
轉(zhuǎn)化思想方法用于研究、解釋數(shù)學(xué)問題時(shí)思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化成另一種情況，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境，使問題得到解釋的一種方法，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時(shí)也是成功的思維模式，轉(zhuǎn)化的目的是使問題變的簡單、容易、熟知，達(dá)到解決問題的有利境地，通向問題解決之策．有的問題需要常、變量相互轉(zhuǎn)化，使求解更容易．
例3、設(shè) ，求證： ．
【解析】令 ，則有 ，若 ，則 成立；
若 ，則 ，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即 ，
由韋達(dá)定理， ，即 ，又 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【題后反思】
把變量變?yōu)槌Ａ�，也就是從一般到特殊，是我們尋找�?guī)律時(shí)常用的解題方法，而本題反其道而行之，將常量變?yōu)樽兞�，從特殊到一般使問題得到解決．
4. 主元轉(zhuǎn)化為輔元
有的問題按常規(guī)確定主元進(jìn)行處理往往受阻，陷于困境，這時(shí)可以將主元化為輔元，即可迎刃而解．
例4、對(duì)于滿足 的所有實(shí)數(shù)p，求使不等式 恒成立的x的取值范圍．
【解析】把 轉(zhuǎn)化為 ，則成為關(guān)于p的一次不等式，則 ，得 ，由一次不等式的性質(zhì)有： ，
當(dāng) 時(shí)， ，∴ ；
當(dāng) 時(shí)， ，∴ ，綜上可得： ．
【題后反思】
視x為主元，不等式是關(guān)于x的一元二次不等到式，討論其取值情況過于繁瑣，將p轉(zhuǎn)化為主元，不等式是關(guān)于p的一次的不等式，則問題不難解決．
5. 正向轉(zhuǎn)化為反向
有些數(shù)學(xué)問題，如果是直接正向入手求解難度較大，可以反向考慮，這種方法也叫“正難則反”
例5、若橢圓 與連接A（1，2）、B（3，4）兩點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】設(shè)線段AB和橢圓有公共點(diǎn)，由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得線段AB的方程為 ， ，則方程組 ，消去y
得： ，即 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴當(dāng)橢圓與線段AB無公共點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【題后反思】
在探討某一問題的解決辦法時(shí)，如果我們按照習(xí)慣的思維方式從正面思考遇到困難，則應(yīng)從反面的方向去探索．
6. 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化
數(shù)形結(jié)合，實(shí)質(zhì)上是將抽象的語言與直觀圖形結(jié)合起來，以便化抽象為直觀，達(dá)到化難為易，化簡為繁的目的．
例6、已知 是定義在 上的奇函數(shù)，且在區(qū)間 上是增函數(shù)，若 ，解不等式 ．
【解析】由 在 上為增函數(shù)，且 是定義域上的奇函數(shù)，
∴ 在 上也是增函數(shù)．
∵ ，∴ ，∴ 或 ，
由函數(shù)的單調(diào)性知： 或 ，
∴原不等式的解集為：
【題后反思】
由已知， 是定義在 上的奇函數(shù)，且在區(qū)
間 上是增函數(shù)，由 ，則可得 的
大致圖像如下圖，可知
7．自變量與函數(shù)值的轉(zhuǎn)化
函數(shù)單調(diào)性的定義明確體現(xiàn)了函數(shù)自變量的不等式關(guān)系與函數(shù)值間不等關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的思想，理解它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，有利于靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題．
例7、設(shè) 是定義在 上的增函數(shù)，且對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y，都有
，求使不等式 成立的x的取值范圍．
【解析】∵ 的定義域是 ，∴ ，即 ，
由于 ，得 ，
由 ，得 ，
∴由題設(shè)條件得： ，
∵ 是定義在 上的增函數(shù)，∴ ，解之得： ，又 ，
∴適合題意的x的取值范圍為[3，4]．
【題后反思】
這類抽象函數(shù)求解是初學(xué)者較難掌握的，解題的關(guān)鍵需實(shí)現(xiàn)三種轉(zhuǎn)化：
①將函數(shù)值間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的不等關(guān)系；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性意義又能比較兩個(gè)值的大小，因此需將 ，根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為 ；③需將②轉(zhuǎn)化為某自變量的函數(shù)值，從而建立關(guān)于x的不等關(guān)系，求出x的取值范圍．
8. 類比歸納
類比是將式子結(jié)構(gòu)、運(yùn)算法則、解題方法、問題結(jié)論等式引申或推廣，或遷移，由已知探索未知，由舊知識(shí)探索新知識(shí)的一種研究問題的方法；歸納是從個(gè)別特殊事例，若干特殊現(xiàn)象遞推出同一類事物的一般性結(jié)論，總結(jié)出同一種現(xiàn)象的一般規(guī)律的一種思考問題的方法，這兩種推理方法可有效地鍛煉考生的創(chuàng)造性思維能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力．因?yàn)檫@類創(chuàng)新題的思維含量高、知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)，所以它們?cè)诟呖贾蓄l繁亮相，已成為高考中的又一個(gè)熱點(diǎn)．
例8、如下圖所示，定義在D上的函數(shù) ，如果滿足：對(duì)任意 ，存在常數(shù)A，都有 成立，則稱函數(shù) 在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界（提示：下圖①②中的常數(shù)A、B可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零．）
（Ⅰ）試判斷函數(shù) 在
上是否有下界？并說明理由；
（Ⅱ）具有圖②所示特征的函數(shù)稱為
在D上有上界，請(qǐng)你類比函數(shù)有下界 ① ②
的定義，給出函數(shù) 在D上有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數(shù)在 上是否有上界，并說明理由．
【解析】
∵ ，由 ，得 ，∵ ，∴x=2,
∵當(dāng)0
∴x=2是函數(shù) 在區(qū)間（0， ）上的最小值點(diǎn)， ，
于是，對(duì)任意 ，都有 ，即在區(qū)間（0， ）是存在常數(shù)A=32，使得對(duì)任意 ，都有 成立，所以，函數(shù) 在 上有下界．
（Ⅱ）類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以給出這樣的定義：定義在D上的函數(shù) ，如果滿足：對(duì)任意 ，存在常B，都有 成立，則稱函數(shù) 在D上有上界，其中B稱為函數(shù)的上界．
設(shè)x<0，則-x>0，則（Ⅰ）知，對(duì)任意 ，都有 ，∴ ，
∵函數(shù) 為奇函數(shù)，∴ ，∴ ，即 ，
即存在常數(shù)B=-32，對(duì)任意 ，都有 ，所以，函數(shù) 在 上有上界．
【題后反思】
本題以高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)有界性為命題素材，先給出一個(gè)定義，研究問題的結(jié)論，然后提出類比的方向，這是一種直接類比的情境題．?dāng)?shù)學(xué)中有許多能夠產(chǎn)生類比的知識(shí)點(diǎn)，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的內(nèi)容有著非常和諧的“同構(gòu)”現(xiàn)象，立體幾何中的很多結(jié)論和方法都可以從平面幾何中產(chǎn)生“靈感”進(jìn)行遷移，我們復(fù)習(xí)時(shí)要注意研究知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，把握知識(shí)間的內(nèi)在規(guī)律，通過知識(shí)間的對(duì)比和類比，可以更好地掌握知識(shí)，提高解題能力．
【模擬演練】
（1）已知函數(shù)
（Ⅰ）若 ，求x的值；
（Ⅱ）若 對(duì)于 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）設(shè)函數(shù) ，曲線 通過點(diǎn)（0，2a+3）且在點(diǎn)（-1， ）處的切線垂直于x軸．
用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當(dāng)bc取得最小值時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間．
（3）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（ ），（ ）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線 與C交于A、B兩點(diǎn)，
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）若 ，求k的值；
（Ⅲ）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k>0時(shí)，恒有 ．
（4）已知函數(shù) ， ， ，
（Ⅰ）將函數(shù) 化簡成 的形式；
（Ⅱ）求函數(shù) 的值域．
（5）已知曲線C1： 所圍成的封閉圖形的面積為 ，曲線C1的內(nèi)切圓半徑為 ，記C2為以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓，
（Ⅰ）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是過橢圓C2中心的任意弦，是線段AB的垂直平分線，M是上異于橢圓中心的點(diǎn)，①若 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；②若M是與橢圓C2的交點(diǎn)，求 面積的最小值．
（6）已知元素為實(shí)數(shù)的集合S滿足下列條件：① ；②若 ，則 ．若非空集合S為有限集，則你對(duì)集合S的元素個(gè)數(shù)有何猜測(cè)？并請(qǐng)證明你的猜測(cè)．
（7）已知橢圓 的右準(zhǔn)線 與x軸相交于點(diǎn)P，右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為 ，點(diǎn)C(m,0)是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線，其與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且使得 ？親說明理由．
（8）設(shè)函數(shù) ，函數(shù) ， ，其中a為常數(shù)且 ，令函數(shù) 為函數(shù) 和 的積函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù) 的表達(dá)式，并求其定義域；
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的值域；
（Ⅲ）是否存在自然數(shù)a，使得函數(shù) 的值域恰為 ？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構(gòu)成的集合，若不存在，試說明理由．
（9）已知函數(shù) ，當(dāng)點(diǎn) 在 的圖像上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn) 在孫函數(shù) 的圖像上移動(dòng)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，-1），點(diǎn)Q也在 的圖像上，求t的值；
（Ⅱ）求函數(shù) 的解析式；
（Ⅲ）當(dāng) 時(shí)，試探索一個(gè)函數(shù) ，使得 在限定域內(nèi)為 時(shí)有最小值而沒有最大值．
（10）矩形鋼板的邊長分別為 ，現(xiàn)要將它剪焊成正四棱柱或正四棱錐，并使其底面邊長為矩形邊長的一半，表面積為ab，試比較得到所制作的正四棱柱與正四棱錐中哪一個(gè)體積最大，哪一個(gè)體積最小，并說明你的結(jié)論．
答案：
1．（1） ；
（2）
2．（1）c=2a+3，b=2a；
（2） 的單調(diào)減區(qū)間為 ，單調(diào)增區(qū)間為（-2，2）；
3．（1） ，
（2） ，
（3）略；
4．（1） ，
（2） 的值域?yàn)?；
5．（1） ，
（2）① ，② ．
6. S的元素的個(gè)數(shù)為3的倍數(shù)；
7. （Ⅰ） ；
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)， ，即存在這樣的直線；
當(dāng) 時(shí)，k不存在，即不存在這樣的直線．
8， （Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ，且 ．
9. （Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ）當(dāng) 時(shí)， 有最小值0，但沒有最大值．
10．如下圖：
易證： ，即最大 ，最小 ．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/70084.html
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