教案64 數(shù)列的通項公式（1）
一、前檢測
1．等差數(shù)列 是遞增數(shù)列，前n項和為 ，且 成等比數(shù)列， 。求數(shù)列 的通項公式。
解：設(shè)數(shù)列 公差為
∵ 成等比數(shù)列，∴ ，
即
∵ ， ∴ ………………………………①
∵ ∴ …………②
由①②得： ，
∴
2．已知數(shù)列 的前 項和 滿足 。求數(shù)列 的通項公式。
解：由
當 時，有

……，


經(jīng)驗證 也滿足上式，所以

二、知識梳理
（一）數(shù)列的通項公式
一個數(shù)列{an}的 與 之間的函數(shù)關(guān)系，如果可用一個公式an＝f(n)表示，我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．
解讀：

（二）通項公式的求法（7種方法）
1.定義法與觀察法（合情推理：不完全歸納法）：直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目；有的數(shù)列可以根據(jù)前幾項觀察出通項公式。
解讀：

2.公式法：在數(shù)列{an}中，前n項和Sn與通項an的關(guān)系為：
(數(shù)列 的前n項的和為 ).
解讀：

3.周期數(shù)列
解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。

4.由遞推式求數(shù)列通項
類型1 遞推公式為
解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ，利用累加法(逐差相加法)求解。
類型2 （1）遞推公式為
解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
（2）由 和 確定的遞推數(shù)列 的通項可如下求得：
由已知遞推式有 ， ， ， 依次向前代入，得 ，這就是疊（迭）代法的基本模式。
類型3 遞推公式為 （其中p，q均為常數(shù)， ）。
解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為： ，其中 ，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。
三、典型例題分析
題型1 周期數(shù)列
例1 若數(shù)列 滿足 ，若 ，則 =____。答案： 。

變式訓練1 （2005，湖南5）已知數(shù)列 滿足 ，則 =（ B ）
A．0 B． C． D．
小結(jié)與拓展：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。

題型2 遞推公式為 ，求通項
例2 已知數(shù)列 ，若滿足 ， ，求 。
答案：

變式訓練2 已知數(shù)列 滿足 ， ，求 。
解：由條知：
分別令 ，代入上式得 個等式累加之，即


所以
，

小結(jié)與拓展：在運用累加法時,要特別注意項數(shù),計算時項數(shù)容易出錯.

題型3 遞推公式為 ，求通項
例3 已知數(shù)列 滿足 ， ，求 。
解：由條知 ，分別令 ，代入上式得 個等式累乘之，即
又 ，
變式訓練3 已知 ， ，求 。
解：
。

小結(jié)與拓展：在運用累乘法時,還是要特別注意項數(shù),計算時項數(shù)容易出錯.

題型4 遞推公式為 （其中p，q均為常數(shù)， ），求通項

例4 在數(shù)列 中， ，當 時，有 ，求 的通項公式。
解法1：設(shè) ，即有 ，對比 ，得 ，于是得 ，數(shù)列 是以 為首項，以3為公比的等比數(shù)列，所以有 。

解法2：由已知遞推式，得 ，上述兩式相減，得 ，因此，數(shù)列 是以 為首項，以3為公比的等比數(shù)列。所以 ，即 ，所以 。

變式訓練4 在數(shù)列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),則該數(shù)列的通項an=__2n+1-3___.

小結(jié)與拓展：此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解，構(gòu)造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè) ，展開整理 ，比較系數(shù)有 ，所以 ，所以 是等比數(shù)列，公比為 ，首項為 。二是用做差法直接構(gòu)造， ， ，兩式相減有 ，所以 是公比為 的等比數(shù)列。也可用“歸納—猜想—證明”法求，這也是近年高考考得很多的一種題型.

四、歸納與總結(jié)（以學生為主，師生共同完成）
總結(jié)方法比做題更重要!方法產(chǎn)生于具體數(shù)學內(nèi)容的學習過程中.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/43735.html

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