第三 導數(shù)及其應用
高考導航
考試要求重難點擊命題展望
1.導數(shù)概念及其幾何意義
(1)了解導數(shù)概念的實際背景;
(2)理解導數(shù)的幾何意義.
2.導數(shù)的運算
(1)能根據(jù)導數(shù)定義,求函數(shù)y=c(c為常數(shù)),y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的導數(shù);
(2)能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù),能求簡單的復合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b)的復合函數(shù))的導數(shù).
3.導數(shù)在研究函數(shù)中的應用
(1)了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關系,能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次);
(2)了解函數(shù)在某點取得極值的必要條和充分條;會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次);會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).
4.生活中的優(yōu)化問題
會利用導數(shù)解決某些實際問題.
5.定積分與微積分基本定理
(1)了解定積分的實際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念;
(2)了解微積分基本定理的含義.本重點:
1.導數(shù)的概念;
2.利用導數(shù)求切線的斜率;
3.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間;
4.利用導數(shù)求極值或最值;
5.利用導數(shù)求實際問題最優(yōu)解.
本難點:導數(shù)的綜合應用. 導數(shù)與定積分是微積分的核心概念之一,也是中學選學內(nèi)容中較為重要的知識之一.由于其應用的廣泛性,為我們解決有關函數(shù)、數(shù)列問題提供了更一般、更有效的方法.因此,本知識在高考題中常在函數(shù)、數(shù)列等有關最值不等式問題中有所體現(xiàn),既考查數(shù)形結合思想,分類討論思想,也考查學生靈活運用所學知識和方法的能力.考題可能以選擇題或填空題的形式考查導數(shù)與定積分的基本運算與簡單的幾何意義,而以解答 題的形式綜合考查學生的分析問題和解決問題的能力.
知識網(wǎng)絡
3 .1 導數(shù)的概念與運算
典例精析
題型一 導數(shù) 的概念
【例1】 已知函數(shù)f(x)=2ln 3x+8x,
求 f(1-2Δx)-f(1)Δx的值.
【解析】由導數(shù)的定義知:
f(1-2Δx)-f(1)Δx=-2 f(1-2Δx)-f(1)-2Δx=-2f′(1)=-20.
【點撥】導數(shù)的實質(zhì)是求函數(shù)值相對于自變量的變化率,即求當Δx→0時, 平均變化率ΔyΔx的極限.
【變式訓練1】某市在一次降雨過程中,降雨量y(mm)與時間t(min)的函數(shù)關系可以近似地表示為f(t)=t2100,則在時刻t=10 min的降雨強度為( )
A.15 mm/minB.14 mm/min
C.12 mm/minD.1 mm/min
【解析】選A.
題型二 求導函數(shù)
【例2】 求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=ln(x+1+x2);
(2)y=(x2-2x+3)e2x;
(3)y=3x1-x.
【解析】運用求導數(shù)公式及復合函數(shù)求導數(shù)法則.
(1)y′=1x+1+x2(x+1+x2)′
=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2.
(2)y′=(2x-2)e2x+2(x2-2x+3)e2x
=2(x2-x+2)e2x.
(3)y′=13(x1-x 1-x+x(1-x)2
=13(x1-x 1(1-x)2
=13x (1-x)
【變式訓練2】如下圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A、B、C的坐標分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(f(0))= ; f(1+Δx)-f(1)Δx= (用數(shù)字作答).
【解析】f(0)=4,f(f(0))=f(4)=2,
由導數(shù)定義 f(1+Δx)-f(1)Δx=f′(1).
當0≤x≤2時,f(x)=4-2x,f′(x)=-2,f′(1)=-2.
題型三 利用導數(shù)求切線的斜率
【例3】 已知曲線C:y=x3-3x2+2x, 直線l:y=kx,且l與C切于點P(x0,y0) (x0≠0),求直線l的方程及切點坐標.
【解析】由l過原點,知k=y(tǒng)0x0 (x0≠0),又點P(x0,y0) 在曲線C上,y0=x30-3x20+2x0,
所以 y0x0=x20-3x0+2.
而y′=3x2-6x+2,k=3x20-6x0+2.
又 k=y(tǒng)0x0,
所以3x20-6x0+2=x20-3x0+2,其中x0≠0,
解得x0=32.
所以y0=-38,所以k=y(tǒng)0x0=-14,
所以直線l的方程為y=-14x,切點坐標為(32,-38).
【點撥】利用切點在曲線上,又曲線在切點處的切線的斜率為曲線在該點處的導數(shù)列方程,即可求得切點的坐標.
【變式訓練3】若函數(shù)y=x3-3x+4的切線經(jīng)過點(-2,2),求此切線方程.
【解析】設切點為P(x0,y0),則由
y′=3x2-3得切線的斜率為k=3x20-3.
所以函數(shù)y=x3-3x+4在P(x0,y0)處的切線方程為
y-y0=(3x20-3)(x-x0).
又切線經(jīng)過點(-2,2),得
2-y0=(3x20-3)(-2-x0),①
而切點在曲線上,得y0=x30-3x0+4, ②
由①②解得x0=1或x0=-2.
則切線方程為y=2 或 9x-y+20=0.
總結提高
1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)通常有以下兩種求法:
(1) 導數(shù)的定義,即求 ΔyΔx= f(x0+Δx)-f(x0)Δx的值;
(2)先求導函數(shù)f′(x),再將x=x0的值代入,即得f′(x0)的值.
2.求y=f(x)的導函數(shù)的幾種方法:
(1)利用常見函數(shù)的導數(shù)公式;
(2)利用四則運算的導數(shù)公式;
(3)利用復合函數(shù)的求導方法.
3.導數(shù)的幾何意義:函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f′(x0),就是函數(shù)y=f(x)的曲線在點P(x0,y0)處的切線的斜率.
3.2導數(shù)的應用(一)
典例精析
題型一 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
【例1】已知函數(shù)f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
【解析】函數(shù)f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定義域是(1,+∞).
f′(x)=2x-a-ax-1=2x(x-a+22)x-1,
①若a≤0,則a+22≤1,f′(x)=2x(x-a+22)x-1>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤0時,f(x)的增區(qū)間為(1,+∞).
②若a>0,則a+22>1,
故當x∈(1,a+22]時,f′(x)=2x(x-a+22)x-1≤0;
當x∈[a+22,+∞)時,f′(x)=2x(x-a+22)x-1≥0,
所以a>0時,f(x)的減區(qū)間為(1,a+22],f(x)的增區(qū)間為[a+22,+∞).
【點撥】在定義域x>1下,為了判定f′(x)符號,必須討論實數(shù)a+22與0及1的大小,分類討論是解本題的關鍵.
【變式訓練1】已知函數(shù)f(x)=x2+ln x-ax在(0,1)上是增函數(shù),求a的取值范圍.
【解析】因為f′(x)=2x+1x-a,f(x)在(0,1)上是增函數(shù),
所以2x+1x-a≥0在(0,1)上恒成立,
即a≤2x+1x恒成立.
又2x+1x≥22(當且僅當x=22時,取等號).
所以a≤22,
故a的取值范圍為(-∞,22].
【點撥】當f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)時⇒f′(x)≥0在(a,b)上恒成立;同樣,當函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù)時⇒f′(x)≤0在(a,b)上恒成立.然后就要根據(jù)不等式恒成立的條求參數(shù)的取值范圍了.
題型二 求函數(shù)的極值
【例2】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時取得極值,且f(1)=-1.
(1)試求常數(shù)a,b,c的值;
(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值點還是極大值點,并說明理由.
【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.
因為x=±1是函數(shù)f(x)的極值點,
所以x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根.
由根與系數(shù)的關系,得
又f(1)=-1,所以a+b+c=-1. ③
由①②③解得a=12,b=0,c=-32.
(2)由(1)得f(x)=12x3-32x,
所以當f′(x)=32x2-32>0時,有x<-1或x>1;
當f′(x)=32x2-32<0時,有-1<x<1.
所以函數(shù)f(x)=12x3-32x在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函數(shù),在(-1,1)上是減函數(shù).
所以當x=-1時,函數(shù)取得極大值f(-1)=1;當x=1時,函數(shù)取得極小值f(1)=-1.
【點撥】求函數(shù)的極值應先求導數(shù).對于多項式函數(shù)f(x)講, f(x)在點x=x0處取極值的必要條是f′(x)=0.但是, 當x0滿足f′(x0)=0時, f(x)在點x=x0處卻未必取得極 值,只有在x0的兩側f(x)的導數(shù)異號時,x0才是f(x)的極值點.并且如果f′(x)在x0兩側滿足“左正右負”,則x0是f(x)的極大值點,f(x0)是極大值;如果f′(x)在x0兩側滿足“左負右正”,則x0是f(x)的極小值點,f(x0)是極小值.
【變式訓練2】定義在R上的函數(shù)y=f(x),滿足f(3-x)=f(x),(x-32)f′(x)<0,若x1<x2,且x1+x2>3,則有( )
A. f(x1)<f(x2)B. f(x1)>f(x2)
C. f(x1)=f(x2)D.不確定
【解析】由f(3-x)=f(x)可得f[3-(x+32)]=f(x+32),即f(32-x)=f(x+32),所以函數(shù)f(x)的圖象關于x=32對稱.又因為(x-32)f′(x)<0,所以當x>32時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當x<32時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.當x1+x22=32時,f(x1)=f(x2),因為x1+x2>3,所以x1+x22>32,相當于x1,x2的中點向右偏離對稱軸,所以f(x1)>f(x2).故選B.
題型三 求函數(shù)的最值
【例3】 求函數(shù)f(x)=ln(1+x)-14x2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.
【解析】f′(x)=11+x-12x,令11+x-12x=0,化簡為x2+x-2=0,解得x1=-2或x2=1,其中x1=-2舍去.
又由f′(x)=11+x-12x>0,且x∈[0,2],得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),同理, 得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2),所以f(1)=ln 2-14為函數(shù)f(x)的極大值.又因為f(0)=0,f(2)=ln 3-1>0,f(1)>f(2),所以,f(0)=0為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值,f(1)=ln 2-14為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值.
【點撥】求函數(shù)f(x)在某閉區(qū)間[a,b]上的最值,首先需求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值,然后,將f(x)的各個極值與f(x)在閉區(qū)間上的端點的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,才能得出函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值.
【變式訓練3】(2008江蘇)f(x)=ax3-3x+1對x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立,則a= .
【解析】若x=0,則無論a為 何值,f(x)≥0恒成立.
當x∈(0,1]時,f(x)≥0可以化為a≥3x2-1x3,
設g(x)=3x2-1x3,則g′(x)=3(1-2x)x4,
x∈(0,12)時,g′(x)>0,x∈(12,1]時,g′(x)<0.
因此g(x)max=g(12)=4,所以a≥4.
當x∈[-1,0)時,f(x)≥0可以化為
a≤3x2-1x3,此時g′(x)=3(1-2x)x4>0,
g(x)min=g(-1)=4,所以a≤4.
綜上可知,a=4.
總結提高
1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是:
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域D;
(2)求導數(shù)f′(x);
(3)根據(jù)f′(x)>0,且x∈D,求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;根據(jù)f′(x)<0,且x∈D,求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
2.求函數(shù)極值的步驟是:
(1)求導數(shù)f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)判斷f′(x)在方程根左右的值的符號,確定f(x)在這個根處取極大值還是取極小值.
3.求函數(shù)最值的步驟是:
先求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;再將f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.
3.3 導數(shù)的應用(二)
典例精析
題型一 利用導數(shù)證明不等式
【例1】已知函數(shù)f(x)=12x2+ln x.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的值域;
(2)求證:x>1時,f(x)<23x3.
【解析】(1)由已知f′(x)=x+1x,
當x∈[1,e]時,f′(x)>0,因此f(x)在 [1,e]上為增函數(shù).
故f(x)max=f(e)=e22+1,f(x)min=f(1)=12,
因而f(x)在區(qū)間[1,e]上的值域為[12,e22+1].
(2)證明:令F(x)=f(x)-23x3=-23x3+12x2+ln x,則F′(x)=x+1x-2x2=(1-x)(1+x+2x2)x,
因為x>1,所以F′(x)<0,
故F(x)在(1,+∞)上為減函數(shù).
又F(1)=-16<0,
故x>1時,F(xiàn)(x)<0恒成立,
即f(x)<23x3.
【點撥】有關“超越性不等式”的證明,構造函數(shù),應用導數(shù)確定所構造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法.
【變式訓練1】已知對任意實數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0時,f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0
【解析】選B.
題型二 優(yōu)化問題
【例2】 (2009湖南)某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩個橋墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算,一個橋墩的工程費用為256萬元;距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2+x)x萬元.假設橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點,且不考慮其他因素.記余下工程的費用為y萬元.
(1)試寫出y關于x的函數(shù)關系式;
(2)當m=640米時,需新建多少個橋墩才能使y最?
【解析】(1)設需新建n個橋墩,則(n+1)x=m,
即n=mx-1.
所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x
=256(mx-1)+mx(2+x)x
=256mx+mx+2m-256.
(2)由(1)知f′(x)=-256mx2+12mx =m2x2(x -512).
令f′(x)=0,得x =512.所以x=64.
當0<x<64時,f′(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù);當64<x<640時,f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).
所以f(x)在x=64處取得最小值.
此時n=mx-1=64064-1=9.
故需新建9個橋墩才能使y最小.
【變式訓練2】(2010上海)如圖所示,為了制作一個圓柱形燈籠,先要制作4個全等的矩形骨架,總計耗用9.6米鐵絲,骨架把圓柱底面8等份,再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面(不安裝上底面).當圓柱底面半徑r取何值時,S取得最大值?并求出該最大值(結果精確到0.01平方米).
【解析】設圓柱底面半徑為r,高為h,
則由已知可得4(4r+2h)=9.6,所以2r+h=1.2.
S=2.4πr-3πr2,h=1.2-2r>0,所以r<0.6.
所以S=2.4πr-3πr2(0<r<0.6).
令f(r)=2.4πr-3πr2,則f′(r)=2 .4π-6πr.
令f′(r)=0得r=0.4.所以當0<r<0.4,f′(r)>0;
當0.4<r<0.6,f′(r)<0.
所以r=0.4時S最大,Smax=1.51.
題型三 導數(shù)與函數(shù)零點問題
【例3】 設函數(shù)f(x)=13x3-mx2+(m2-4)x,x∈R.
(1)當m=3時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(2)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0,α,β,且α<β.若對任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)當m=3時,f(x)=13x3-3x2+5x,f′(x)=x2-6x+5.
因為f(2)=23,f′(2)=-3,所以切點坐標為(2,23),切線的斜率為-3,
則所求的切線方程為y-23=-3(x-2),即9x+3y-20=0.
(2)f′(x)=x2-2mx+(m2-4).
令f′(x)=0,得x=m-2或x=m+2.
當x∈(-∞,m-2)時,f′(x)>0,f(x)在(-∞,m-2)上是增函數(shù);
當x∈(m-2,m+2)時,f′(x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是減函數(shù);
當x∈(m+2,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函數(shù).
因為函數(shù)f(x)有三個互不 相同的零點0,α,β,且f(x)=13x[x2-3mx+3(m2-4)],
所以
解得m∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4).
當m∈(-4,-2)時,m-2<m+2<0,
所以α<m-2<β<m+2<0.
此時f(α)=0,f(1)>f(0)=0,與題意不合,故舍去.
當m∈(-2,2)時,m-2<0<m+2,
所以α<m-2<0<m+2<β.
因為對任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,
所以α<1<β.
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α,β]上的最小值.
因為當x=m+2時,函數(shù)f(x)在[α,β]上取最小值,
所以m+2=1,即m=-1.
當m∈(2,4)時,0<m-2<m+2,
所以0<m-2<α<m+2<β.
因為對任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,
所以α<1<β.
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α,β]上的最小值.
因為當x=m+2時,函數(shù)f(x)在[α,β]上取最小值,
所以m+2=1,即m=-1(舍去).
綜上可知,m的取值范圍是{-1}.
【變式訓練3】已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x.
(1)討論函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性;
(2)若方程f(x)=g(x)在區(qū)間[2,e]上有兩個不等解,求a的取值范圍.
【解析】(1)當a>0時,F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為(1a,+∞),遞 減區(qū)間為(0,1a);
當a≤0時,F(xiàn)(x)的遞減區(qū)間為(0,+∞).
(2)[12ln 2,1e).
總結提高
在應用導數(shù)處理方程、不等式有關問題時,首先應熟練地將方程、不等式問題直接轉化為函數(shù)問題,再利用導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性、極值或最值.
3.4 定積分與微積分基本定理
典例精析
題型一 求常見函數(shù)的定積分
【例1】 計算下列定積分的值.
(1) (x-1)5dx;
(2) (x+sin x)dx.
【解析】(1)因為[16(x-1)6]′=(x-1)5,
所以 (x-1)5dx= =16.
(2)因為(x22-cos x)′=x+sin x,
所以 (x+sin x)dx= =π28+1.
【點撥】(1)一般情況下,只要能找到被積函數(shù)的原函數(shù),就能求出定積分的值;
(2)當被積函數(shù)是分段函數(shù)時,應對每個區(qū)間分段積分,再求和;
(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù),應先去掉絕對值符號后積分;
(4)當被積函數(shù)具有奇偶性時,可用以下結論:
①若f(x)是偶函數(shù) 時,則 f(x)dx=2 f(x)dx;
②若f(x)是奇函數(shù)時,則 f(x)dx=0.
【變式訓練1】求 (3x3+4sin x)dx.
【解析】 (3x3+4sin x)dx表示直線x=-5,x=5,y=0和曲線 y=3x3+4sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和,且在x軸上方 的面積取正號,在x軸下方的面積取負號.
又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)
=-(3x3+4sin x)=-f(x).
所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函數(shù),
所以 (3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx,
所以 (3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.
題型二 利用定積分計算曲邊梯形的面積
【例2】求拋物線y2=2x與直線y=4-x所圍成的平面圖形的面積.
【解析】方法一:如圖,
由
得交點A(2,2),B(8,-4),
則S= [2x-(-2x)]dx+ [4-x-(-2x)]dx
= +
=163+383=18.
方法二:S= [(4-y)-y22]dy
= =18.
【點撥】根據(jù)圖形的特征,選擇不同的積分變量,可使計算簡捷,在以y為積分變量時,應注意將曲線方程變?yōu)閤=φ(y)的形式,同時,積分上、下限必須對應y的取值.
【變式訓練2】設k 是一個正整數(shù),(1+xk)k的展開式中x3的系數(shù)為116,則函數(shù)y=x2與y=kx-3的圖象所圍成的陰影部分(如圖)的面積為 .
【解析】Tr+1=Crk(xk)r,令r=3,得x3的系數(shù)為C3k1k3=116,解得k=4.由 得函數(shù)y=x2與y=4x-3的圖象的交點的橫坐標分別為1,3.
所以陰影部分的面積為S= (4x-3-x2)dx=(2x2-3x- =43.
題型三 定積分在物理中的應用
【例3】 (1) 變速直線運動的物體的速度為v (t)=1-t2,初始位置為x0=1,求它在前2秒內(nèi)所走過的路程及2秒末所在的位置;
(2)一物體按規(guī)律x=bt3作直線運動,式中x為時間t內(nèi)通過的距離,媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方,試求物體由x=0運動到x=a時阻力所做的功.
【解析】(1)當0≤t≤1時,v(t)≥0,當1≤t≤2時,v(t)≤0,所以前2秒內(nèi)所走過的路程為
s= v(t)dt+ (-v(t))dt
= (1-t2)dt+ (t2-1)dt
= + =2.
2秒末所在的位置為
x1=x0+ v(t)dt=1+ (1-t2)dt=13.
所以它在前2秒內(nèi)所走過的路程為2,2秒末所在的位置為x1=13.
(2) 物體的速度為v=(bt3)′=3bt2.
媒質(zhì)阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4,其中k為比例常數(shù),且k>0.
當x=0時,t=0;
當x=a時,t=t1=(ab) ,
又ds=vdt,故阻力所做的功為
W阻= ds = kv2•vdt=k v3dt
= k (3bt 2)3dt=277kb3t71 = 277k3a7b2.
【點撥】定積分在物理學中的應用應注意:v(t)= a(t)dt,s(t)= v(t)dt和W= F(x)dx這三個公式.
【變式訓練3】定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函數(shù)f(x)=F[1,log2(x2-4x+9)]的圖象為曲線C1,曲線C1與y軸交于點A(0,m),過坐標原點O向曲線C1作切線,切點為B(n,t)(n>0),設曲線C1在點A,B之間的曲線段與線段OA,OB所圍成圖形的面積為S,求S的值.
【解析】因為F(x,y)=(1+x)y,所以f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))= =x2-4x+9,故A(0,9),又過坐標原點O向曲線C1作切線,切點為B(n,t)(n>0),f′(x)=2x-4.
所以 解得B(3,6),
所以S= (x2-4x+9-2x)dx=(x33-3x2+9x) =9.
總結提高
1.定積分的計算關鍵是通過逆向思維求得被積函數(shù)的原函數(shù).?
2.定積分在物理學中的應用必須遵循相應的物理過程和物理原理.?
3.利用定積分求平面圖形面積的步驟:?
(1)畫出草圖,在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖象;?
(2)借助圖形確定出被積函數(shù),求出交點坐標,確定積分的上、下限;?
(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和;?
(4)計算定積分,寫出答案.
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