第六章三角函數(shù)(高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


第六 三角函數(shù)

一、基礎(chǔ)知識(shí)
定義1 角,一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较,則角為正角,若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍瑒t角為負(fù)角,若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。
定義2 角度制,把一周角360等分,每一等價(jià)為一度,弧度制:把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為L(zhǎng),則其弧度數(shù)的絕對(duì)值α= ,其中r是圓的半徑。
定義3 三角函數(shù),在直角坐標(biāo)平面內(nèi),把角α的頂點(diǎn)放在原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)P,設(shè)它的坐標(biāo)為(x,y),到原點(diǎn)的距離為r,則正弦函數(shù)sinα= ,余弦函數(shù)cosα= ,正切函數(shù)tanα= ,余切函數(shù)cotα= ,正割函數(shù)secα= ,余割函數(shù)cscα=
定理1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,倒數(shù)關(guān)系:tanα= ,sinα= ,cosα= ;商數(shù)關(guān)系:tanα= ;乘積關(guān)系:tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 誘導(dǎo)公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; (Ⅳ)sin =cosα, cos =sinα, tan =cotα(奇變偶不變,符號(hào)看象限)。
定理3 正弦函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)圖象可得y=sinx(x∈R)的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間:在區(qū)間 上為增函數(shù),在區(qū)間 上為減函數(shù),最小正周期為2 . 奇偶數(shù). 有界性:當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+ 時(shí),y取最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)x=3k - 時(shí), y取最小值-1。對(duì)稱(chēng)性:直線(xiàn)x=k + 均為其對(duì)稱(chēng)軸,點(diǎn)(k , 0)均為其對(duì)稱(chēng)中心,值域?yàn)閇-1,1]。這里k∈Z.
定理4 余弦函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)圖象可得y=cosx(x∈R)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間:在區(qū)間[2kπ, 2kπ+π]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[2kπ-π, 2kπ]上單調(diào)遞增。最小正周期為2π。奇偶性:偶函數(shù)。對(duì)稱(chēng)性:直線(xiàn)x=kπ均為其對(duì)稱(chēng)軸,點(diǎn) 均為其對(duì)稱(chēng)中心。有界性:當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ時(shí),y取最大值1;當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ-π時(shí),y取最小值-1。值域?yàn)閇-1,1]。這里k∈Z.
定理5 正切函數(shù)的性質(zhì):由圖象知奇函數(shù)y=tanx(x kπ+ )在開(kāi)區(qū)間(kπ- , kπ+ )上為增函數(shù), 最小正周期為π,值域?yàn)椋?∞,+∞),點(diǎn)(kπ,0),(kπ+ ,0)均為其對(duì)稱(chēng)中心。
定理6 兩角和與差的基本關(guān)系式:cos(α β)=cosαcosβ sinαsinβ,sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ; tan(α β)=
定理7 和差化積與積化和差公式:
sinα+sinβ=2sin cos ,sinα-sinβ=2sin cos ,
cosα+cosβ=2cos cos , cosα-cosβ=-2sin sin ,
sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,

tan2α=
定理9 半角公式:sin = ,cos = ,
tan = =
定理10 萬(wàn)能公式: , ,

定理11 輔助角公式:如果a, b是實(shí)數(shù)且a2+b2 0,則取始邊在x軸正半軸,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a, b)的一個(gè)角為β,則sinβ= ,cosβ= ,對(duì)任意的角α.
asinα+bcosα= sin(α+β).
定理12 正弦定理:在任意△ABC中有 ,其中a, b, c分別是角A,B,C的對(duì)邊,R為△ABC外接圓半徑。
定理13 余弦定理:在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊。
定理14 圖象之間的關(guān)系:y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象;經(jīng)左右平移得y=sin(x+ )的圖象(相位變換);縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵?,得到y(tǒng)=sin ( )的圖象(周期變換);橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵腁倍,得到y(tǒng)=Asinx的圖象(振幅變換);y=Asin( x+ )( >0)的圖象(周期變換);橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵腁倍,得到y(tǒng)=Asinx的圖象(振幅變換);y=Asin( x+ )( , >0)(A叫作振幅)的圖象向右平移 個(gè)單位得到y(tǒng)=Asin x的圖象。
定義4 函數(shù)y=sinx 的反函數(shù)叫反正弦函數(shù),記作y=arcsinx(x∈[-1, 1]),函數(shù)y=cosx(x∈[0, π]) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù),記作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函數(shù)y=tanx 的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函數(shù)稱(chēng)為反余切函數(shù),記作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理15 三角方程的解集,如果a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{xx=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{xx=2kx arccosa, k∈Z}. 如果a∈R,方程tanx=a的解集是{xx=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa= ;arctana+arccota= .
定理16 若 ,則sinx<x<tanx.
二、方法與例題
1.結(jié)合圖象解題。
例1 求方程sinx=lgx的解的個(gè)數(shù)。
【解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y=sinx與y=lgx的圖象(見(jiàn)圖),由圖象可知兩者有6個(gè)交點(diǎn),故方程有6個(gè)解。
2.三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
例2 設(shè)x∈(0, π), 試比較cos(sinx)與sin(cosx)的大小。
【解】 若 ,則cosx≤1且cosx>-1,所以cos ,
所以sin(cosx) ≤0,又0<sinx≤1, 所以cos(sinx)>0,
所以cos(sinx)>sin(cosx).
若 ,則因?yàn)閟inx+cosx= (sinxcos +sin cosx)= sin(x+ )≤ < ,
所以0<sinx< -cosx< ,
所以cos(sinx)>cos( -cosx)=sin(cosx).
綜上,當(dāng)x∈(0,π)時(shí),總有cos(sinx)<sin(cosx).
例3 已知α,β為銳角,且x•(α+β- )>0,求證:
【證明】 若α+β> ,則x>0,由α> -β>0得cosα<cos( -β)=sinβ,
所以0< <1,又sinα>sin( -β)=cosβ, 所以0< <1,
所以
若α+β< ,則x<0,由0<α< -β< 得cosα>cos( -β)=sinβ>0,
所以 >1。又0<sinα<sin( -β)=cosβ,所以 >1,
所以 ,得證。
注:以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式,值得注意的是角的討論。
3.最小正周期的確定。
例4 求函數(shù)y=sin(2cosx)的最小正周期。
【解】 首先,T=2π是函數(shù)的周期(事實(shí)上,因?yàn)閏os(-x)=cosx,所以cox=cosx);其次,當(dāng)且僅當(dāng)x=kπ+ 時(shí),y=0(因?yàn)?cosx≤2<π),
所以若最小正周期為T(mén)0,則T0=mπ, m∈N+,又sin(2cos0)=sin2 sin(2cosπ),所以T0=2π。
4.三角最值問(wèn)題。
例5 已知函數(shù)y=sinx+ ,求函數(shù)的最大值與最小值。
【解法一】 令sinx= ,
則有y=
因?yàn)?,所以 ,
所以 ≤1,
所以當(dāng) ,即x=2kπ- (k∈Z)時(shí),ymin=0,

當(dāng) ,即x=2kπ+ (k∈Z)時(shí),ymax=2.
【解法二】 因?yàn)閥=sinx+ ,
=2(因?yàn)?a+b)2≤2(a2+b2)),
且sinx≤1≤ ,所以0≤sinx+ ≤2,
所以當(dāng) =sinx,即x=2kπ+ (k∈Z)時(shí), ymax=2,
當(dāng) =-sinx,即x=2kπ- (k∈Z)時(shí), ymin=0。
例6 設(shè)0< <π,求sin 的最大值。
【解】因?yàn)?< <π,所以 ,所以sin >0, cos >0.
所以sin (1+cos )=2sin •cos2 = ≤ =

當(dāng)且僅當(dāng)2sin2 =cos2 , 即tan = , =2arctan 時(shí),sin (1+cos )取得最大值 。
例7 若A,B,C為△ABC三個(gè)內(nèi)角,試求sinA+sinB+sinC的最大值。
【解】 因?yàn)閟inA+sinB=2sin cos , ①
sinC+sin , ②
又因?yàn)?,③
由①,②,③得sinA+sinB+sinC+sin ≤4sin ,
所以sinA+sinB+sinC≤3sin = ,
當(dāng)A=B=C= 時(shí),(sinA+sinB+sinC)max= .
注:三角函數(shù)的有界性、sinx≤1、cosx≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。
5.換元法的使用。
例8 求 的值域。
【解】 設(shè)t=sinx+cosx=
因?yàn)?
所以
又因?yàn)閠2=1+2sinxcosx,
所以sinxcosx= ,所以 ,
所以
因?yàn)閠 -1,所以 ,所以y -1.
所以函數(shù)值域?yàn)?

例9 已知a0=1, an= (n∈N+),求證:an> .
【證明】 由題設(shè)an>0,令an=tanan, an∈ ,則
an=
因?yàn)?,an∈ ,所以an= ,所以an=
又因?yàn)閍0=tana1=1,所以a0= ,所以 • 。
又因?yàn)楫?dāng)0<x< 時(shí),tanx>x,所以
注:換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。
另外當(dāng)x∈ 時(shí),有tanx>x>sinx,這是個(gè)熟知的結(jié)論,暫時(shí)不證明,學(xué)完導(dǎo)數(shù)后,證明是很容易的。
6.圖象變換:y=sinx(x∈R)與y=Asin( x+ )(A, , >0).
由y=sinx的圖象向左平移 個(gè)單位,然后保持橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵腁倍,然后再保持縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵?,得到y(tǒng)=Asin( x+ )的圖象;也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵腁倍,再保持縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵?,最后向左平移 個(gè)單位,得到y(tǒng)=Asin( x+ )的圖象。
例10 例10 已知f(x)=sin( x+ )( >0, 0≤ ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng),且在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù),求 和 的值。
【解】 由f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),所以sin( + )=sin(- x+ ),所以cos sinx=0,對(duì)任意x∈R成立。
又0≤ ≤π,解得 = ,
因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于 對(duì)稱(chēng),所以 =0。
取x=0,得 =0,所以sin
所以 (k∈Z),即 = (2k+1) (k∈Z).
又 >0,取k=0時(shí),此時(shí)f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上是減函數(shù);
取k=1時(shí), =2,此時(shí)f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上是減函數(shù);
取k=2時(shí), ≥ ,此時(shí)f(x)=sin( x+ )在[0, ]上不是單調(diào)函數(shù),
綜上, = 或2。
7.三角公式的應(yīng)用。
例11 已知sin(α-β)= ,sin(α+β)=- ,且α-β∈ ,α+β∈ ,求sin2α,cos2β的值。
【解】 因?yàn)棣?β∈ ,所以cos(α-β)=-
又因?yàn)棣?β∈ ,所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= ,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例12 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且 ,試求 的值。
【解】 因?yàn)锳=1200-C,所以cos =cos(600-C),
又由于
= ,
所以 =0。
解得 或 。
又 >0,所以 。
例13 求證:tan20 +4cos70 .
【解】 tan20 +4cos70 = +4sin20

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1.已知銳角x的終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2sin3, -2cos3),則x的弧度數(shù)為_(kāi)__________。
2.適合 -2cscx的角的集合為_(kāi)__________。
3.給出下列命題:(1)若α β,則sinα sinβ;(2)若sinα sinβ,則α β;(3)若sinα>0,則α為第一或第二象限角;(4)若α為第一或第二象限角,則sinα>0. 上述四個(gè)命題中,正確的命題有__________個(gè)。
4.已知sinx+cosx= (x∈(0, π)),則cotx=___________。
5.簡(jiǎn)諧振動(dòng)x1=Asin 和x2=Bsin 疊加后得到的合振動(dòng)是x=___________。
6.已知3sinx-4cosx=5sin(x+ 1)=5sin(x- 2)=5cos(x+ 3)=5cos(x- 4),則 1, 2, 3, 4分別是第________象限角。
7.滿(mǎn)足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角x共有________個(gè)。
8.已知 ,則 =___________。
9. =___________。
10.cot15 cos25 cot35 cot85 =___________。
11.已知α,β∈(0, π), tan , sin(α+β)= ,求cosβ的值。
12.已知函數(shù)f(x)= 在區(qū)間 上單調(diào)遞減,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
四、高考水平訓(xùn)練題
1.已知一扇形中心角是a,所在圓半徑為R,若其周長(zhǎng)為定值c(c>0),當(dāng)扇形面積最大時(shí),a=__________.
2. 函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.
3. 函數(shù) 的值域?yàn)開(kāi)_________.
4. 方程 =0的實(shí)根個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.
5. 若sina+cosa=tana, a ,則 __________a(填大小關(guān)系).
6. (1+tan1 )(1+tan2 )…(1+tan44 )(1+tan45 )=__________.
7. 若0<y≤x< 且tanx=3tany,則x-y的最大值為_(kāi)_________.
8. =__________.
9. •cos •cos •cos •cos =__________.
10. cos271 +cos71 cos49 +cos249 =__________.
11. 解方程:sinx+2sin2x=3+sin3x.
12. 求滿(mǎn)足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有銳角x.
13. 已知f(x)= (kA 0, k∈Z, 且A∈R),(1)試求f(x)的最大值和最小值;(2)若A>0, k=-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)試求最小正整數(shù)k,使得當(dāng)x在任意兩個(gè)整數(shù)(包括整數(shù)本身)間變化時(shí),函數(shù)f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題(一)
1.若x, y∈R,則z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范圍是____________.
2.已知圓x2+y2=k2至少蓋住函數(shù)f(x)= 的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.
3.f( )=5+8cos +4cos2 +cos3 的最小值為_(kāi)___________.
4.方程sinx+ cosx+a=0在(0,2π)內(nèi)有相異兩實(shí)根α,β,則α+β=____________.
5.函數(shù)f(x)=tanx+cotx的單調(diào)遞增區(qū)間是____________.
6.設(shè)sina>0>cosa, 且sin >cos ,則 的取值范圍是____________.
7.方程tan5x+tan3x=0在[0,π]中有__________個(gè)解.
8.若x, y∈R, 則=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為_(kāi)___________.
9.若0< < , m∈N+, 比較大。(2m+1)sinm (1-sin )__________1-sin2m+1 .
10.cot70 +4cos70 =____________.
11. 在方程組 中消去x, y,求出關(guān)于a, b, c的關(guān)系式。
12.已知α,β,γ ,且cos2α+cos2β+cos2γ=1,求tanαtanβtanγ的最小值。
13.關(guān)于x, y的方程組 有唯一一組解,且sinα, sinβ, sinγ互不相等,求sinα+sinβ+sinγ的值。
14.求滿(mǎn)足等式sinxy=sinx+siny的所有實(shí)數(shù)對(duì)(x, y), x, y .
聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題(二)
1.在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)f(x)=asinax+cosax(a>0)在一個(gè)最小正周期長(zhǎng)的區(qū)間上的圖象與函數(shù)g(x)= 的圖象所圍成的封閉圖形的面積是__________.
2.若 ,則y=tan -tan +cos 的最大值是__________.
3.在△ABC中,記BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0,則 =__________.
4.設(shè)f(x)=x2-πx, α=arcsin , β=arctan , γ=arccos , δ=arccot , 將f(α), f(β), f(γ), f(δ)從小到大排列為_(kāi)_________.
5.logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。將a, b, c, d從小到大排列為_(kāi)_________.
6.在銳角△ABC中,cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα,則tanα•tanβ•tanγ=__________.
7.已知矩形的兩邊長(zhǎng)分別為tan 和1+cos (0< <π),且對(duì)任何x∈R, f(x)=sin •x2+ •x+cos ≥0,則此矩形面積的取值范圍是__________.
8.在銳角△ABC中,sinA+sinB+sinC的取值范圍是__________.
9.已知當(dāng)x∈[0, 1],不等式x2cos -x(1-x)+(1-x)2sin >0恒成立,則 的取值范圍是__________.
10.已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,則cos2x+ cos2y+ cos2z=__________.
11.已知a1, a2, …,an是n個(gè)實(shí)常數(shù),考慮關(guān)于x的函數(shù):f(x)=cos(a1+x)+ cos(a2+x) +…+ cos(an+x)。求證:若實(shí)數(shù)x1, x2滿(mǎn)足f(x1)=f(x2)=0,則存在整數(shù)m,使得x2-x1=mπ.
12.在△ABC中,已知 ,求證:此三角形中有一個(gè)內(nèi)角為 。
13.求證:對(duì)任意自然數(shù)n, 均有sin1+sin2+…+sin(3n-1)+sin3n> .

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1.已知x>0, y>0, 且x+y<π,求證:w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①(w∈R).
2. 已知a為銳角,n≥2, n∈N+,求證: ≥2n-2 +1.
3. 設(shè)x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…滿(mǎn)足x1=y1= , xn+1=xn+ , yn+1= ,求證:2<xnyn<3(n≥2).
4.已知α,β,γ為銳角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1,求證; π<α+β+γ<π.
5.求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x和任意 ,恒有(x+3+2sin cos )2+(x+asin +asin )2≥
6. 設(shè)n, m都是正整數(shù),并且n>m,求證:對(duì)一切x 都有2sinnx-cosnx≤3sinnx-cosnx.
7.在△ABC中,求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。
8.求的有的實(shí)數(shù)a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一項(xiàng)均為負(fù)數(shù)。
9.已知 i ,tan 1tan 2…tan n=2 , n∈N+, 若對(duì)任意一組滿(mǎn)足上述條的
1, 2,…, n都有cos 1+cos 2+…+cos n≤λ,求λ的最小值。




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