高考排列問題的解決方案
內(nèi)容提要:本把常見的排列問題歸納成三種典型問題，并在排列的一般規(guī)定性下，對(duì)每一種類型的問題通過典型例題歸納出相應(yīng)的解決方案，并附以近年的高考原題及解析,使我們對(duì)排列問題的認(rèn)識(shí)更深入本質(zhì),對(duì)排列問題的解決更有法可尋．
關(guān)鍵詞: “特殊優(yōu)先”,“大元素”，“捆綁法”,“插空法”,“等機(jī)率法”

排列問題的應(yīng)用題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是高考的必考內(nèi)容,筆者在中嘗試將排列
問題歸納為三種類型解決：

下面就每一種題型結(jié)合例題總結(jié)其特點(diǎn)和解法，并附以近年的高考原題供讀者參研．

一.能排不能排排列問題(即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題)
解決此類問題的關(guān)鍵是特殊元素或特殊位置優(yōu)先.或使用間接法．

例1．（1）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？
(2)7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？
(3)7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？
(4)7位同學(xué)站成一排，其中甲不能在排頭、乙不能站排尾的排法共有多少種？
解析:(1)先考慮甲站在中間有1種方法，再在余下的6個(gè)位置排另外6位同學(xué)，共 種方法；
(2)先考慮甲、乙站在兩端的排法有 種，再在余下的5個(gè)位置排另外5位同學(xué)的排法有 種，共 種方法；
(3) 先考慮在除兩端外的5個(gè)位置選2個(gè)安排甲、乙有 種，再在余下的5個(gè)位置排另外5位同學(xué)排法有 種，共 種方法；本題也可考慮特殊位置優(yōu)先,即兩端的排法有 ,中間5個(gè)位置有 種，共 種方法；
(4)分兩類乙站在排頭和乙不站在排頭，乙站在排頭的排法共有 種，乙不站在排頭的排法總數(shù)為：先在除甲、乙外的5人中選1人安排在排頭的方法有 種，中間5個(gè)位置選1個(gè)安排乙的方法有 ，再在余下的5個(gè)位置排另外5位同學(xué)的排法有 ，故共有 種方法；本題也可考慮間接法，總排法為 ，不符合條的甲在排頭和乙站排尾的排法均為 ，但這兩種情況均包含了甲在排頭和乙站排尾的情況，故共有 種．
例2.某天表共六節(jié)，要排政治、語、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共六門程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，共有多少種不同的排方法？
解法1：對(duì)特殊元素—數(shù)學(xué)和體育進(jìn)行分類解決
（1）數(shù)學(xué)、體育均不排在第一節(jié)和第六節(jié)，有 種，其他有 種，共有 種；
（2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有一種，其他有 種，共有 種；
（3）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)、體育不在第六節(jié)有 種，其他有 種，共有 種；
（4）數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有 種，其他有 種，共有 種；
所以符合條的排法共有 種
解法2：對(duì)特殊位置—第一節(jié)和第六節(jié)進(jìn)行分類解決
（1）第一節(jié)和第六節(jié)均不排數(shù)學(xué)、體育有 種，其他有 種，共有 種；
（2）第一節(jié)排數(shù)學(xué)、第六節(jié)排體育有一種，其他有 種，共有 種；
（3）第一節(jié)排數(shù)學(xué)、第六節(jié)不排體育有 種，其他有 種，共有 種；
（4）第一節(jié)不排數(shù)學(xué)、第六節(jié)排體育有 種，其他有 種，共有 種；
所以符合條的排法共有 種．
解法3：本題也可采用間接排除法解決
不考慮任何限制條共有 種排法，不符合題目要求的排法有：（1）數(shù)學(xué)排在第六節(jié)有 種；（2）體育排在第一節(jié)有 種；考慮到這兩種情況均包含了數(shù)學(xué)排在第六節(jié)和體育排在第一節(jié)的情況 種所以符合條的排法共有 種
附：1、（2005北京卷）五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的五個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有( )
（A） 種 （B） 種 （C） 種 （D） 種
解析：本題在解答時(shí)將五個(gè)不同的子項(xiàng)目理解為5個(gè)位置，五個(gè)工程隊(duì)相當(dāng)于5個(gè)不同的元素，這時(shí)問題可歸結(jié)為能排不能排排列問題(即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題)，先排甲工程隊(duì)有 ，其它4個(gè)元素在4個(gè)位置上的排法為 種，總方案為 種．故選(B)．
2、（2005全國卷Ⅱ）在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有 個(gè).
解析：本題在解答時(shí)只須考慮個(gè)位和千位這兩個(gè)特殊位置的限制，個(gè)位為1、2、3、4中的某一個(gè)有4種方法，千位在余下的4個(gè)非0數(shù)中選擇也有4種方法，十位和百位方法數(shù)為 種，故方法總數(shù)為 種．
3、（2005福建卷）從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （ ）
A．300種B．240種C．144種D．96種
解析：本題在解答時(shí)只須考慮巴黎這個(gè)特殊位置的要求有4種方法，其他3個(gè)城市的排法看作標(biāo)有這3個(gè)城市的3個(gè)簽在5個(gè)位置（5個(gè)人）中的排列有 種，故方法總數(shù)為 種．故選（B）．
上述問題歸結(jié)為能排不能排排列問題，從特殊元素和特殊位置入手解決,抓住了問題的本質(zhì)，使問題清晰明了，解決起順暢自然．

二.相鄰不相鄰排列問題(即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題)
相鄰排列問題一般采用大元素法,即將相鄰的元素“捆綁”作為一個(gè)元素，再與其他元素進(jìn)行排列，解答時(shí)注意“釋放”大元素，也叫“捆綁法”．不相鄰排列問題(即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題)一般采用“插空法”．

例3． 7位同學(xué)站成一排，
(1)甲、乙和丙三同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？
(2)甲、乙和丙三名同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？
（3）甲、乙兩同學(xué)間恰好間隔2人的排法共有多少種？
解析：(1)第一步、將甲、乙和丙三人“捆綁”成一個(gè)大元素與另外4人的排列為 種，
第二步、“釋放”大元素，即甲、乙和丙在“捆綁”成的大元素內(nèi)的排法有 種，所以共 種；
(2)第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共 種方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后產(chǎn)生的5個(gè)空擋中的任何3個(gè)都符合要求，排法有 種，所以共有 種；（3）先排甲、乙，有 種排法，甲、乙兩人中間插入的2人是從其余5人中選，有 種排法，將已經(jīng)排好的4人當(dāng)作一個(gè)大元素作為“新人”參加下一輪4人組的排列，有 種排法，所以總的排法共有 種．

附：1、（2005遼寧卷）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有 個(gè).（用數(shù)字作答）
解析：第一步、將1和2“捆綁”成一個(gè)大元素，3和4“捆綁”成一個(gè)大元素，5和6“捆綁”成一個(gè)大元素，第二步、排列這三個(gè)大元素，第三步、在這三個(gè)大元素排好后產(chǎn)生的4個(gè)空擋中的任何2個(gè)排列7和8，第四步、“釋放”每個(gè)大元素（即大元素內(nèi)的每個(gè)小元素在“捆綁”成的大元素內(nèi)部排列），所以共有 個(gè)數(shù)．
2、 （2004. 重慶理）某校高三年級(jí)舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，
二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰
好被排在一起（指演講序號(hào)相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為 （ ）
A． B． C． D．
解析：符合要求的基本事（排法）共有：第一步、將一班的3位同學(xué)“捆綁”成一個(gè)大元素，第二步、這個(gè)大元素與其它班的5位同學(xué)共6個(gè)元素的全排列，第三步、在這個(gè)大元素與其它班的5位同學(xué)共6個(gè)元素的全排列排好后產(chǎn)生的7個(gè)空擋中排列二班的2位同學(xué)，第四步、“釋放”一班的3位同學(xué)“捆綁”成的大元素，所以共有 個(gè)；而基本事總數(shù)為 個(gè)，所以符合條的概率為 ．故選（ B ）．
3、（2003京春理）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ）
A.42 B.30 C.20 D.12
解析：分兩類：增加的兩個(gè)新節(jié)目不相鄰和相鄰，兩個(gè)新節(jié)目不相鄰采用“插空法”，在5個(gè)節(jié)目產(chǎn)生的6個(gè)空擋排列共有 種，將兩個(gè)新節(jié)目“捆綁”作為一個(gè)元素叉入5個(gè)節(jié)目產(chǎn)生的6個(gè)空擋中的一個(gè)位置，再“釋放”兩個(gè)新節(jié)目 “捆綁”成的大元素，共有 種，再將兩類方法數(shù)相加得42種方法．故選（ A ）．
三.機(jī)會(huì)均等排列問題(即某兩或某些元素按特定的方式或順序排列的排列問題)
解決機(jī)會(huì)均等排列問題通常是先對(duì)所有元素進(jìn)行全排列,再借助等可能轉(zhuǎn)化，即乘以符合要求的某兩（或某些）元素按特定的方式或順序排列的排法占它們（某兩（或某些）元素）全排列的比例，稱為“等機(jī)率法”；或?qū)⑻囟�順序的排列問題理解為組合問題加以解決.

例4、 7位同學(xué)站成一排．
(1)甲必須站在乙的左邊?
(2)甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)由左到右排列?
解析：（1）7位同學(xué)站成一排總的排法共 種,包括甲、乙在內(nèi)的7位同學(xué)排隊(duì)只有甲站在乙的左邊和甲站在乙的右邊兩類，它們的機(jī)會(huì)是均等的，故滿足要求的排法為 ，本題也可將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決，即先在7個(gè)位置中選出2個(gè)位置安排甲、乙, 由于甲在乙的左邊共有 種，再將其余5人在余下的5個(gè)位置排列有 種，得排法數(shù)為 種；
（2）參見（1）的分析得 （或 ）．

本通過較為清晰的脈絡(luò)把排列問題分為三種類型，使我們對(duì)排列問題有了比較系統(tǒng)的認(rèn)識(shí).但由于排列問題種類繁多，總會(huì)有些問題不能囊括其中，也一定存在許多不足,希望讀者能和我一起研究完善．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/48444.html

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