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高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材(第十一章圓錐曲線)

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
第十一章 圓錐曲線

一、基礎(chǔ)知識(shí)
1.橢圓的定義,第一定義:平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)(大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離)的點(diǎn)的軌跡,即PF1+PF2=2a (2a>F1F2=2c).
第二定義:平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個(gè)常數(shù)e(0(0第三定義:在直角坐標(biāo)平面內(nèi)給定兩圓c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。從原點(diǎn)出發(fā)的射線交圓c1于P,交圓c2于Q,過(guò)P引y軸的平行線,過(guò)Q引x軸的平行線,兩條線的交點(diǎn)的軌跡即為橢圓。
2.橢圓的方程,如果以橢圓的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系,由定義可求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程,若焦點(diǎn)在x軸上,列標(biāo)準(zhǔn)方程為
(a>b>0),
參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))。
若焦點(diǎn)在y軸上,列標(biāo)準(zhǔn)方程為
(a>b>0)。
3.橢圓中的相關(guān)概念,對(duì)于中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
,
a稱(chēng)半長(zhǎng)軸長(zhǎng),b稱(chēng)半短軸長(zhǎng),c稱(chēng)為半焦距,長(zhǎng)軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);與左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(即第二定義中的定直線)為 ,與右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為 ;定義中的比e稱(chēng)為離心率,且 ,由c2+b2=a2知0橢圓有兩條對(duì)稱(chēng)軸,分別是長(zhǎng)軸、短軸。
4.橢圓的焦半徑公式:對(duì)于橢圓 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的兩焦點(diǎn)。若P(x, y)是橢圓上的任意一點(diǎn),則PF1=a+ex, PF2=a-ex.
5.幾個(gè)常用結(jié)論:1)過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(x0, y0)的切線方程為
;
2)斜率為k的切線方程為 ;
3)過(guò)焦點(diǎn)F2(c, 0)傾斜角為θ的弦的長(zhǎng)為
。
6.雙曲線的定義,第一定義:
滿(mǎn)足PF1-PF2=2a(2a<2c=F1F2, a>0)的點(diǎn)P的軌跡;
第二定義:到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(>1)的點(diǎn)的軌跡。
7.雙曲線的方程:中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程為

參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))。
焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
。
8.雙曲線的相關(guān)概念,中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
(a, b>0),
a稱(chēng)半實(shí)軸長(zhǎng),b稱(chēng)為半虛軸長(zhǎng),c為半焦距,實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點(diǎn)為F1(-c,0), F2(c, 0),對(duì)應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為 離心率 ,由a2+b2=c2知e>1。兩條漸近線方程為 ,雙曲線 與 有相同的漸近線,它們的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上。若a=b,則稱(chēng)為等軸雙曲線。
9.雙曲線的常用結(jié)論,1)焦半徑公式,對(duì)于雙曲線 ,F(xiàn)1(-c,0), F2(c, 0)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn),若P在右支上,則PF1=ex+a, PF2=ex-a;若P(x,y)在左支上,則PF1=-ex-a,PF2=-ex+a.
2) 過(guò)焦點(diǎn)的傾斜角為θ的弦長(zhǎng)是 。
10.拋物線:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,點(diǎn)F叫焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸,x軸與l相交于K,以線段KF的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)KF=p,則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為 ,準(zhǔn)線方程為 ,標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),離心率e=1.
11.拋物線常用結(jié)論:若P(x0, y0)為拋物線上任一點(diǎn),
1)焦半徑PF= ;
2)過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y0y=p(x+x0);
3)過(guò)焦點(diǎn)傾斜角為θ的弦長(zhǎng)為 。
12.極坐標(biāo)系,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)記為O,從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸,這樣就建立了極坐標(biāo)系,對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,記OP=ρ,∠x(chóng)OP=θ,則由(ρ,θ)唯一確定點(diǎn)P的位置,(ρ,θ)稱(chēng)為極坐標(biāo)。
13.圓錐曲線的統(tǒng)一定義:到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)P,若01,則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支;若e=1,則點(diǎn)P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為 。
二、方法與例題
1.與定義有關(guān)的問(wèn)題。
例1 已知定點(diǎn)A(2,1),F(xiàn)是橢圓 的左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)3PA+5PF取最小值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
[解] 見(jiàn)圖11-1,由題設(shè)a=5, b=4, c= =3, .橢圓左準(zhǔn)線的方程為 ,又因?yàn)?,所以點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部,又點(diǎn)F坐標(biāo)為(-3,0),過(guò)P作PQ垂直于左準(zhǔn)線,垂足為Q。由定義知 ,則 PF=PQ。
所以3PA+5PF=3(PA+ PF)=3(PA+PQ)≥3AM(AM 左準(zhǔn)線于M)。
所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點(diǎn)時(shí),3PA+5PF取最小值,把y=1代入橢圓方程得 ,又x<0,所以點(diǎn)P坐標(biāo)為
例2 已知P, 為雙曲線C: 右支上兩點(diǎn), 延長(zhǎng)線交右準(zhǔn)線于K,PF1延長(zhǎng)線交雙曲線于Q,(F1為右焦點(diǎn))。求證:∠ F1K=∠KF1Q.
[證明] 記右準(zhǔn)線為l,作PD l于D, 于E,因?yàn)?//PD,則 ,又由定義 ,所以 ,由三角形外角平分線定理知,F(xiàn)1K為∠PF1P的外角平分線,所以∠ =∠KF1Q。
2.求軌跡問(wèn)題。
例3 已知一橢圓及焦點(diǎn)F,點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),求線段FA中點(diǎn)P的軌跡方程。
[解法一] 利用定義,以橢圓的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)所在的直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)橢圓方程: =1(a>b>0).F坐標(biāo)為(-c, 0).設(shè)另一焦點(diǎn)為 。連結(jié) ,OP,則 。所以FP+PO= (FA+A )=a.
所以點(diǎn)P的軌跡是以F,O為兩焦點(diǎn)的橢圓(因?yàn)閍>FO=c),將此橢圓按向量m=( ,0)平移,得到中心在原點(diǎn)的橢圓: 。由平移公式知,所求橢圓的方程為

[解法二] 相關(guān)點(diǎn)法。設(shè)點(diǎn)P(x,y), A(x1, y1),則 ,即x1=2x+c, y1=2y. 又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓 上,所以 代入得關(guān)于點(diǎn)P的方程為 。它表示中心為 ,焦點(diǎn)分別為F和O的橢圓。
例4 長(zhǎng)為a, b的線段AB,CD分別在x軸,y軸上滑動(dòng),且A,B,C,D四點(diǎn)共圓,求此動(dòng)圓圓心P的軌跡。
[解] 設(shè)P(x, y)為軌跡上任意一點(diǎn),A,B,C,D的坐標(biāo)分別為A(x- ,0), B(x+ ,0), C(0, y- ), D(0, y+ ), 記O為原點(diǎn),由圓冪定理知OA?OB=OC?OD,用坐標(biāo)表示為 ,即
當(dāng)a=b時(shí),軌跡為兩條直線y=x與y=-x;
當(dāng)a>b時(shí),軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的兩條等軸雙曲線;
當(dāng)a例5 在坐標(biāo)平面內(nèi),∠AOB= ,AB邊在直線l: x=3上移動(dòng),求三角形AOB的外心的軌跡方程。
[解] 設(shè)∠x(chóng)OB=θ,并且B在A的上方,則點(diǎn)A,B坐標(biāo)分別為B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ- )),設(shè)外心為P(x,y),由中點(diǎn)公式知OB中點(diǎn)為M 。
由外心性質(zhì)知 再由 得
×tanθ=-1。結(jié)合上式有
?tanθ= ①
又 tanθ+ = ②

所以tanθ- = 兩邊平方,再將①,②代入得 。即為所求。
3.定值問(wèn)題。
例6 過(guò)雙曲線 (a>0, b>0)的右焦點(diǎn)F作B1B2 軸,交雙曲線于B1,B2兩點(diǎn),B2與左焦點(diǎn)F1連線交雙曲線于B點(diǎn),連結(jié)B1B交x軸于H點(diǎn)。求證:H的橫坐標(biāo)為定值。
[證明] 設(shè)點(diǎn)B,H,F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0),則F1,B1,B2的坐標(biāo)分別為(-c, 0), (c, ), (c, ),因?yàn)镕1,H分別是直線B2F,BB1與x軸的交點(diǎn),所以

所以

。
由①得
代入上式得
即 (定值)。
注:本例也可借助梅涅勞斯定理證明,讀者不妨一試。
例7 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在準(zhǔn)線上,且BC//x軸。證明:直線AC經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。
[證明] 設(shè) ,則 ,焦點(diǎn)為 ,所以 , , , 。由于 ,所以 ?y2- y1=0,即 =0。因?yàn)?,所以 。所以 ,即 。所以 ,即直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。
例8 橢圓 上有兩點(diǎn)A,B,滿(mǎn)足OA OB,O為原點(diǎn),求證: 為定值。
[證明] 設(shè)OA=r1,OB=r2,且∠x(chóng)OA=θ,∠x(chóng)OB= ,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(r1cosθ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A,B在橢圓上有

即 ①

①+②得 (定值)。
4.最值問(wèn)題。
例9 設(shè)A,B是橢圓x2+3y2=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且OA OB(O為原點(diǎn)),求AB的最大值與最小值。
[解] 由題設(shè)a=1,b= ,記OA=r1,OB=r2, ,參考例8可得 =4。設(shè)m=AB2= ,
因?yàn)?,且a2>b2,所以 ,所以b≤r1≤a,同理b≤r2≤a.所以 。又函數(shù)f(x)=x+ 在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=1即OA=OB時(shí),AB取最小值1;當(dāng) 或 時(shí),AB取最大值 。
例10 設(shè)一橢圓中心為原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率為 ,若圓C: 1上點(diǎn)與這橢圓上點(diǎn)的最大距離為 ,試求這個(gè)橢圓的方程。
[解] 設(shè)A,B分別為圓C和橢圓上動(dòng)點(diǎn)。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為 ,半徑CA=1,因?yàn)锳B≤BC+CA=BC+1,所以當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C共線,且BC取最大值時(shí),AB取最大值 ,所以BC最大值為
因?yàn)?;所以可設(shè)橢圓半長(zhǎng)軸、半焦距、半短軸長(zhǎng)分別為2t, ,t,橢圓方程為 ,并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(2tcosθ,tsinθ),則BC2=(2tcosθ)2+ =3t2sin2θ-3tsinθ+ +4t2=-3(tsinθ+ )2+3+4t2.
若 ,則當(dāng)sinθ=-1時(shí),BC2取最大值t2+3t+ ,與題設(shè)不符。
若t> ,則當(dāng)sinθ= 時(shí),BC2取最大值3+4t2,由3+4t2=7得t=1.
所以橢圓方程為 。
5.直線與二次曲線。
例11 若拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),試求a的取值范圍。
[解] 拋物線y=ax2-1的頂點(diǎn)為(0,-1),對(duì)稱(chēng)軸為y軸,存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)的條件是存在一對(duì)點(diǎn)P(x1,y1), (-y1,-x1),滿(mǎn)足y1=a 且-x1=a(-y1)2-1,相減得x1+y1=a( ),因?yàn)镻不在直線x+y=0上,所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1),即x1=y1+
所以 此方程有不等實(shí)根,所以 ,求得 ,即為所求。
例12 若直線y=2x+b與橢圓 相交,(1)求b的范圍;(2)當(dāng)截得弦長(zhǎng)最大時(shí),求b的值。
[解] 二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ>0,得 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1.A為半徑是R的定圓⊙O上一定點(diǎn),B為⊙O上任一點(diǎn),點(diǎn)P是A關(guān)于B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則點(diǎn)P的軌跡是________.
2.一動(dòng)點(diǎn)到兩相交直線的距離的平方和為定值m2(>0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是________.
3.橢圓 上有一點(diǎn)P,它到左準(zhǔn)線的距離是10,它到右焦點(diǎn)的距離是________.
4.雙曲線方程 ,則k的取值范圍是________.
5.橢圓 ,焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,橢圓上的點(diǎn)P滿(mǎn)足∠F1PF2=600,則ΔF1PF2的面積是________.
6.直線l被雙曲線 所截的線段MN恰被點(diǎn)A(3,-1)平分,則l的方程為_(kāi)_______.
7.ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2=32x上,點(diǎn)A(2,8),且ΔABC的重心與這條拋物線的焦點(diǎn)重合,則直線BC的斜率為_(kāi)_______.
8.已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0,一條準(zhǔn)線方程為5y+4=0,則雙曲線方程為_(kāi)_______.
9.已知曲線y2=ax,與其關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)的曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),如果過(guò)這兩個(gè)交點(diǎn)的直線的傾斜角為450,那么a=________.
10.P為等軸雙曲線x2-y2=a2上一點(diǎn), 的取值范圍是________.
11.已知橢圓 與雙曲線 有公共的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,設(shè)P是它們的一個(gè)焦點(diǎn),求∠F1PF2和ΔPF1F2的面積。
12.已知(i)半圓的直徑AB長(zhǎng)為2r;(ii)半圓外的直線l與BA的延長(zhǎng)線垂直,垂足為T(mén),設(shè)AT=2a(2a< );(iii)半圓上有相異兩點(diǎn)M,N,它們與直線l的距離MP,NQ滿(mǎn)足 求證:AM+AN=AB。
13.給定雙曲線 過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線l與所給的雙曲線交于點(diǎn)P1和P2,求線段P1P2的中點(diǎn)的軌跡方程。
四、高考水平測(cè)試題
1.雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn),它的一條漸近線方程是 =0,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________.
2.過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),若A,B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A1,B1,則∠A1FB1=_________.
3.雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)為F1,頂點(diǎn)為A1,A2,P是雙曲線上任一點(diǎn),以PF1為直徑的圓與以A1A2為直徑的圓的位置關(guān)系為_(kāi)________.
4.橢圓的中心在原點(diǎn),離心率 ,一條準(zhǔn)線方程為x=11,橢圓上有一點(diǎn)M橫坐標(biāo)為-1,M到此準(zhǔn)線異側(cè)的焦點(diǎn)F1的距離為_(kāi)________.
5.4a2+b2=1是直線y=2x+1與橢圓 恰有一個(gè)公共點(diǎn)的_________條件.
6.若參數(shù)方程 (t為參數(shù))表示的拋物線焦點(diǎn)總在一條定直線上,這條直線的方程是_________.
7.如果直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 總有公共點(diǎn),則m的范圍是_________.
8.過(guò)雙曲線 的左焦點(diǎn),且被雙曲線截得線段長(zhǎng)為6的直線有_________條.
9.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓 相交于A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓恰好通過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F,則直線l的傾斜角為_(kāi)________.
10.以橢圓x2+a2y2=a2(a>1)的一個(gè)頂點(diǎn)C(0,1)為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC,這樣的三角形最多可作_________個(gè).
11.求橢圓 上任一點(diǎn)的兩條焦半徑夾角θ的正弦的最大值。
12.設(shè)F,O分別為橢圓 的左焦點(diǎn)和中心,對(duì)于過(guò)點(diǎn)F的橢圓的任意弦AB,點(diǎn)O都在以AB為直徑的圓內(nèi),求橢圓離心率e的取值范圍。
13.已知雙曲線C1: (a>0),拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,C2的焦點(diǎn)是C1的左焦點(diǎn)F1。
(1)求證:C1,C2總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。
(2)問(wèn):是否存在過(guò)C2的焦點(diǎn)F1的弦AB,使ΔAOB的面積有最大值或最小值?若存在,求直線AB的方程與SΔAOB的最值,若不存在,說(shuō)明理由。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1.在平面直角坐標(biāo)系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓,則m的取值范圍是_________.
2.設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn),F(xiàn)為焦點(diǎn),且PQ為過(guò)F的弦,已知OF=a,PQ=b,ΔOPQ面積為_(kāi)________.
3.給定橢圓 ,如果存在過(guò)左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且OP OQ,則離心率e的取值范圍是_________.
4.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線 (a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)F1作∠F1PF2平分線的垂線,垂足為M,則M的軌跡為_(kāi)________.
5.ΔABC一邊的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為B(0, )和C(0, ),另兩邊斜率的乘積為 ,若點(diǎn)T坐標(biāo)為(t,0)(t∈R+),則AT的最小值為_(kāi)________.
6.長(zhǎng)為l(l<1)的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y=x2上滑動(dòng),則線段AB的中點(diǎn)M到x軸的最短距離等于_________.
7.已知拋物線y2=2px及定點(diǎn)A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M是拋物線上的點(diǎn),設(shè)直線AM,BM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M1,M2,當(dāng)M變動(dòng)時(shí),直線M1M2恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn),此定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________.
8.已知點(diǎn)P(1,2)既在橢圓 內(nèi)部(含邊界),又在圓x2+y2= 外部(含邊界),若a,b∈R+,則a+b的最小值為_(kāi)________.
9.已知橢圓 的內(nèi)接ΔABC的邊AB,AC分別過(guò)左、右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為D,E,直線DB與直線CE交于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上變動(dòng)時(shí),試求點(diǎn)P的軌跡。
10.設(shè)曲線C1: (a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方有一個(gè)公共點(diǎn)P。(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍(用a表示);
(2)O為原點(diǎn),若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,當(dāng)011.已知直線l過(guò)原點(diǎn),拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸上,若點(diǎn)A(-1,0)和B(0,8)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在C上,求直線l和拋物線的方程。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1.在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC平分∠BAD,在CD上取一點(diǎn)E,BE與AC相交于F,延長(zhǎng)DF交BC于G,求證:∠GAC=∠EAC。
2.求證:在坐標(biāo)平面上不存在一條具有奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn),每段長(zhǎng)都為1的閉折線,它的每個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)都是有理數(shù)。
3.以B0和B1為焦點(diǎn)的橢圓與ΔAB0B1的邊ABi交于Ci(i=0,1),在AB0的延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)P0,以B0為圓心,B0P0為半徑作圓弧 交C1B0的延長(zhǎng)線于Q0;以C1為圓心,C1Q0為半徑作圓弧Q0P1交B1A的延長(zhǎng)線于P1;B1為圓心,B1P1為半徑作圓弧P1Q1交B1C0的延長(zhǎng)線于Q1;以C0為圓心,C0Q1為半徑作圓弧Q1 ,交AB0的延長(zhǎng)線于 。求證:(1)點(diǎn) 與點(diǎn)P0重合,且圓弧P0Q0與P0Q1相內(nèi)切于P0;(2)P0,Q0,P1,Q1共圓。
4.在坐標(biāo)平面內(nèi),從原點(diǎn)出發(fā)以同一初速度v0和不同發(fā)射角(即發(fā)射方向與x軸正向之間 的夾角)α(α∈[0,π],α≠ )射出的質(zhì)點(diǎn),在重力的作用下運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線,所有這些拋物線組成一個(gè)拋物線族,若兩條拋物線在同一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱(chēng)這個(gè)交點(diǎn)為正交點(diǎn)。證明:此拋物線族的所有正交點(diǎn)的集合是一段橢圓弧,并求此橢圓弧的方程(確定變量取值范圍)。
5.直角ΔABC斜邊為AB,內(nèi)切圓切BC,CA,AB分別于D,E,F(xiàn)點(diǎn),AD交內(nèi)切圓于P點(diǎn)。若CP BP,求證:PD=AE+AP。
6.已知BC CD,點(diǎn)A為BD中點(diǎn),點(diǎn)Q在BC上,AC=CQ,又在BQ上找一點(diǎn)R,使BR=2RQ,CQ上找一點(diǎn)S,使QS=RQ,求證:∠ASB=2∠DRC。
答案:
基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1.圓。設(shè)AO交圓于另一點(diǎn) 是A關(guān)于 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。則因?yàn)锳B ,所以P在以 為直徑的圓上。
2.圓或橢圓。設(shè)給定直線為y=±kx(k>0),P(x,y)為軌跡上任一點(diǎn),則 。化簡(jiǎn)為2k2x2+2y2=m2(1+k2).
當(dāng)k≠1時(shí),表示橢圓;當(dāng)k=1時(shí),表示圓。
3.12.由題設(shè)a=10,b=6,c=8,從而P到左焦點(diǎn)距離為10e=10× =8,所以P到右焦點(diǎn)的距離為20-8=12。
4.-25或-25. 設(shè)兩條焦半徑分別為m,n,則因?yàn)镕1F2=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即(m+n) 2-3mn=144.所以 ,
6.3x+4y-5=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則 兩式相減得 -(y1+y2)(y1-y2)=0.由 ,得 。故方程y+1= (x-3).
7.-4.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則 =0,所以y1+y2=-8,故直線BC的斜率為
8. =1。由漸近線交點(diǎn)為雙曲線中心,解方程組 得中心為(2,1),又準(zhǔn)線為 ,知其實(shí)軸平行于y軸,設(shè)其方程為 =1。其漸近線方程為 =0。所以y-1= (x-1).由題設(shè) ,將雙曲線沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原點(diǎn),其標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1。由平移公式 平移后準(zhǔn)線為 ,再結(jié)合 ,解得a2=9,b2=16,故雙曲線為 =1。
9.2.曲線y2=ax關(guān)于點(diǎn)(1,1)的對(duì)稱(chēng)曲線為(2-y)2=a(2-x),
由 得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,從而 =
=1,所以a=2.
10.(2, ]。設(shè)P(x1,y1)及 ,由PF1=ex1+a
,PF2=ex1-a,PF1+PF2=2ex1, 所以 ,即 。因 ,所以 ,所以 即211.解:由對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,由題設(shè)F1F22=4 =4c2,又根據(jù)橢圓與雙曲線定義
解得PF1=a1+a2,PF2=a1-a2.
在ΔF1PF2中,由余弦定理
從而
又sin∠F1PF2=
所以
12.解:以直線AB為x軸,AT的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則由定義知M,N兩點(diǎn)既在拋物線y2=4ax上,又在圓[x-(a+r)]2+y2=r2上,兩方程聯(lián)立得x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0,設(shè)點(diǎn)M,N坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=2r-2a.又AM=MP=x1+a,AN=NP=x2+a. AB=2r,所以
AM+AN=x1+x2+2a=2r=AB.
得證。
13.解:若直線l垂直于x軸,因其過(guò)點(diǎn)A(2,1),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,P1P2的中點(diǎn)為(2,0)。
若l不垂直于x軸,設(shè)l的方程為y-1=k(x-2),即
y=kx+1-2k. ①
將①代入雙曲線方程消元y得
(2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0. ②
這里 且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)>0,
設(shè)x1,x2是方程②的兩根,由韋達(dá)定理

由①,③得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
=k(x1+x2)+2(1-2k)= ④
設(shè)P1P2的中點(diǎn)P坐標(biāo)(x,y),由中點(diǎn)公式及③,④得

消去k得

點(diǎn)(2,0)滿(mǎn)足此方程,故這就是點(diǎn)P的軌跡方程。
高考水平測(cè)試題
1. 由橢圓方程得焦點(diǎn)為 ,設(shè)雙曲線方程 ,漸近線為 由題設(shè) ,所以a2=3b2,又 ,c2=a2+b2. 所以b2=12, a2=36.
2. 900。見(jiàn)圖1,由定義得FA=AA1,FB=BB1,有∠1=∠BFB1,∠2=∠AFA1,又∠1=∠3,∠2=∠4,所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3.相切,若P(x,y)在左支上,設(shè)F1為左焦點(diǎn),F(xiàn)2為右焦點(diǎn),M為PF1中點(diǎn),則MO= PF2= (a-ex),又PF1=-a-ex,所以?xún)蓤A半徑之和 (-a-ex)+a= (a-ex)=MO,所以?xún)蓤A外切。當(dāng)P(x,y)在右支上時(shí),同理得兩圓內(nèi)切。
4. 與F1對(duì)應(yīng)的另一條準(zhǔn)線為x=-11,因MF1與M到直線x=-11距離d1之比為e,且d1=xm+11=10.所以 ,所以MF1=
5.充要。將y=2x+1代入橢圓方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2 (1-b2)=0. ①
若Δ=(4a2) 2-4(b2+4a2)a2 (1-b2)=0,則直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn),即b2+4a2=1;反之,4a2+b2=1,直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)。
6.y=2(x-1)。消去參數(shù)得(y-2m) 2=4(x-m),焦點(diǎn)為 它在直線y=2(x-1)上。
7.1≤m<5。直線過(guò)定點(diǎn)(0,1),所以0 ≤1.又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,所以5>m,所以1≤m<5。
8.3.雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為6,通徑為4,故線段端點(diǎn)在異支上一條,在同支上有二條,一共有三條。
9. 或 。設(shè)直線l: y=kx與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx代入橢圓方程得(1+3k2)x2-6x+3=0,由韋達(dá)定理得


因F(1,0),AF BF,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即
x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0. ③
把①,②代入③得 ,所以?xún)A斜角為 或
10.3.首先這樣的三角形一定存在,不妨設(shè)A,B分別位于y軸左、右兩側(cè),設(shè)CA斜率為k(k>0),CA的直線方程為y=kx+1,代入橢圓方程為(a2k2+1)x2+2a2kx=0,得x=0或 ,于是 ,CA=
由題設(shè),同理可得CB= ,利用CA=CB可得
(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,
解得 k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①
對(duì)于①,當(dāng)1 時(shí),①有兩個(gè)不等實(shí)根,故最多有3個(gè)。
11.解 設(shè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,橢圓上任一點(diǎn)為P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根據(jù)余弦定理得
F1F22=PF12+PF22-2PF1?PF2cosθ,
又PF1+PF2=2a,則4c2=(2a)2-2PF1?PF2(1+cosθ),再將PF1=a+ex0,PF2=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2 )(1+cosθ).
于是有
由0 ,得 ,所以 。因θ∈[0,π],所以cosθ為減函數(shù),故0
當(dāng)2b2>a2即 時(shí), ,arccos ,sinθ為增函數(shù),sinθ取最大值 ;當(dāng)2b2≤a2時(shí),arccos ,θ∈[0,π],則sinθ最大值為1。
12.解 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),若AB斜率不為0,設(shè)為k,直線AB方程為y=k(x+c),代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得
(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. ①
則x1,x2為方程①的兩根,由韋達(dá)定理得


因?yàn)閥1y2=k2(x1+c)(x2+c),再由②,③得
所以 =x1x2+y1y2= ,O點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi),等價(jià) <0,即k2(a2c2-b4)-a2b2<0對(duì)任意k∈R成立,等價(jià)于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以0若斜率不存在,問(wèn)題等價(jià)于 即 ,綜上
13.解 (1)由雙曲線方程得 ,所以F1( ,0),拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 ,拋物線

把①代入C1方程得

Δ=64a2>0,所以方程②必有兩個(gè)不同實(shí)根,設(shè)為x1,x2,由韋達(dá)定理得x1x2=-a2<0,所以②必有一個(gè)負(fù)根設(shè)為x1,把x1代入①得y2= ,所以 (因?yàn)閤1≠0),所以C1,C2總有兩個(gè)不同交點(diǎn)。
(2)設(shè)過(guò)F1( ,0)的直線AB為my=(x+ a),由 得y2+4 may-12a2=0,因?yàn)棣?48m2a2+48a2>0,設(shè)y1,y2分別為A,B的縱坐標(biāo),則y1+y2= ,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB= y1-y2?OF1= a? a? ,當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí),SΔAOB的面積取最小值;當(dāng)m→+∞時(shí),SΔAOB→+∞,無(wú)最大值。所以存在過(guò)F的直線x= 使ΔAOB面積有最小值6a2.
聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1.m>5.由已知得 ,說(shuō)明(x,y)到定點(diǎn)(0,-1)與到定直線x-2y+3=0的距離比為常數(shù) ,由橢圓定義 <1,所以m>5.
2. 因?yàn)閎=PQ=PF+QF= ,所以 。所以SΔOPQ= absinθ= .
3. 。設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(r1cosθ,r1sinθ),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(-r2sinθ,r2cosθ),因?yàn)镻,Q在橢圓上,可得 ,RtΔOPQ斜邊上的高為 ≤OF=c. 所以a2b2≤c2(a2+b2),解得 ≤e<1.
4.以O(shè)為圓心,a為半徑的圓。延長(zhǎng)F1M交PF2延長(zhǎng)線于N,則 F2N,而F2N=PN-PF2=PF1-PF2=2a,所以O(shè)M=a.
5.t∈(0,1]時(shí)ATmin= ,t>1時(shí)ATmin=t-2.由題設(shè)kAB?kAC=- ,設(shè)A(x,y),則 (x≠0),整理得 =1(x≠0),所以AT2=(x-t)2+y2=(x-t)2+ (x-2t)2+2-t2.因?yàn)閤≤2,所以當(dāng)t∈(0,1]時(shí)取x=2t,AT取最小值 。當(dāng)t>1時(shí),取x=2,AT取最小值t-2.
6. 設(shè)點(diǎn)M(x0,y0) ,直線AB傾斜角為θ,并設(shè)A(x0- ), B(x0+ ),因?yàn)锳,B在拋物線上,所以


由①,②得 2x0cosθ=sinθ. ③
所以
因?yàn)閘2<1,所以函數(shù)f(x)= .在(0,1]在遞減,
所以 。當(dāng)cosθ=1即l平行于x軸時(shí),距離取最小值
7. 設(shè) ,由A,M,M1共線得y1= ,同理B,M,M2共線得 ,設(shè)(x,y)是直線M1M2上的點(diǎn),則y1y2=y(y1+y2)-2px,將以上三式中消去y1,y2得
y02(2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.
當(dāng)x=a,y= 時(shí)上式恒成立,即定點(diǎn)為
8. 。由題設(shè) 且a2+2b2≤15,解得5≤b2≤6.
所以a+b≥ (t=b2-4∈[1,2]),而
,又t≤2可得上式成立。
9.解 設(shè)A(2cosθ, ), B(2cosα, sinα),C(2cosβ, sinβ),這里α≠β,則過(guò)A,B的直線為lAB: ,由于直線AB過(guò)點(diǎn)F1(-1,0),代入有 (sinθ-sinα)?(1+2cosθ)=2 sinθ(cosθ-cosα),即2sin(α-θ)=sinθ-sinα=2 ? ,故 ,即 ? 。又lBD: ?(x+2)= ,同理得 。lCE: (x-2)=
?(x-2).
兩直線方程聯(lián)立,得P點(diǎn)坐標(biāo)為 ,消去 得點(diǎn)P(x,y)在橢圓 上(除去點(diǎn)(-2,0),(2,0)).
10.解 (1)由 消去y得x2+2a2x+2a2m-a2=0,①設(shè)f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2,問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需討論以下三種情況:
10.Δ=0,得 ,此時(shí)xp=-a2,當(dāng)且僅當(dāng)-a<-a2(2)ΔOAP的面積 因?yàn)?0,從而 時(shí)取值最大,此時(shí) ,故 ;當(dāng) 時(shí),xp=-a2,yp= ,此時(shí) 以下比較 與 的大小。令 ,得 ,故當(dāng)011.解:設(shè)A,B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A1(x2,y2),B1(x1,y1),則AA1中點(diǎn) 在l上,
所以 y2=k(x2-1) ①
又l AA1,所以

由①,②得

同理,由BB1中點(diǎn) 在l上,且l BB1,解得
設(shè)拋物線方程為y2=2px,將A1,B1坐標(biāo)代入并消去p得k2-k-1=0.
所以 ,由題設(shè)k>0,所以 ,從而
所以直線l的方程為 ,拋物線C的方程為
聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1.以A為原點(diǎn),直線AC為x軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB),則直線DF的方程為

直線BC的方程為 ②
c×①-f×②得
(c-f)x+ ③
③表示一條直線,它過(guò)原點(diǎn),也過(guò)DF與BC的交點(diǎn)G,因而③就是直線AG的方程。
同理
,直線AE的方程為
(c-f)x+ ④
③,④的斜率互為相反數(shù),所以∠GAC=∠EAC。
2.證明 假設(shè)這樣的閉折線存在,不妨設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)是其中一個(gè)頂點(diǎn),記它為A0,其他頂點(diǎn)坐標(biāo)為: ,…, ,其中 都是既約分?jǐn)?shù),并記An+1=A0.若p與q奇偶性相同,則記p≡q,否則記p≠q,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。
bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n),ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。
當(dāng)k=1時(shí),由 ,得 ,因?yàn)閍1,b1互質(zhì),所以d1被b1整除,反之亦然(即b1被d1整除)。
因此b1=±d1,從而 不可能都是偶數(shù)(否則b1也是偶數(shù),與互質(zhì)矛盾);不可能都是奇數(shù),因?yàn)閮蓚(gè)奇數(shù)的平方和模8余2不是4的倍數(shù),也不可能是完全平方數(shù),因此,a1≠c1,b1≡d1≡1,并且a1+c1≠0=a0+c0.
設(shè)結(jié)論對(duì)k=1,2,…,m-1≤n都成立,令
這里 是既約分?jǐn)?shù),因?yàn)槊恳欢蔚拈L(zhǎng)為1,所以 =1,與k=1情況類(lèi)似:a≡c,d≡b≡1,又因?yàn)?,分?jǐn)?shù) 既約,所以bm是bbm-1的一個(gè)因子,bm≡1.
同理可知dm≡1,又am≡abm-1+bam-1(同理cm≡cdm-1+dcm-1).
因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1.
所以am+cm≠am-1+cm-1,結(jié)論成立,于是在頂點(diǎn)數(shù)n+1為奇數(shù)時(shí),an+1+cn+1≠a0+c0,故折線不可能是閉的。
3.證明 (1)由已知B0P0=B0Q0,并由圓弧P0Q0和Q0P0,Q0P1和P1Q1,P1Q1和Q1P1分別相內(nèi)切于點(diǎn)Q0,P1,Q1,得C1B0+B0Q0=C1P1,B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+ ,四式相加,利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0,以及 。在B0P0或其延長(zhǎng)線上,有B0P0=B0 ,從而可知點(diǎn) 與點(diǎn)P0重合。由于圓弧Q1P0的圓心C0,圓弧P0Q0的圓心B0以及P0在同一直線上,所以圓弧Q1P0和P0Q0相內(nèi)切于點(diǎn)P0。
(2)現(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)P0和P1引上述相應(yīng)相切圓弧的公切線P0T和P1T交于點(diǎn)T。又過(guò)點(diǎn)Q1引相應(yīng)相切圓弧的公切線R1S1,分別交P0T和P1T于點(diǎn)R1和S1,連接P0Q1和P1Q1,得等腰ΔP0Q1R1和ΔP1Q1S1,由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入上式后,即得∠P0Q1P1=π- (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).
同理得∠P0Q0P1=π- (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0),所以P0,Q0,Q1,P1共圓。
4.證明 引理:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)處的切線斜率是2ax0+b.
引理的證明:設(shè)(x0,y0)處的切線方程為y-y0=k(x-x0),代入拋物線方程得
ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. ①

故①可化簡(jiǎn)成 (x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0, ②
因?yàn)棰谥挥幸粋(gè)實(shí)根,所以k=2ax0+b.引理得證。
設(shè)P(x0,y0)為任一正交點(diǎn),則它是由線y=x?tan ?x2與y=x?tan ?x2的交點(diǎn),則兩條切線的斜率分別為(由引理)

又由題設(shè)k1k2=-1,所以

又因?yàn)镻(x0,y0)在兩條拋物線上,所以 代入③式得
(※)
又因?yàn)閠anα1,tanα2是方程 ?t2-t+ =0的兩根,所以
tanα1+tanα2= ④
tanα1?tanα2= 。 ⑤
把④,⑤代入(※)式得
,即
5.證明 以C為原點(diǎn),CB所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)∠ADC=θ,PD=r.各點(diǎn)坐標(biāo)分別為D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ),B(x0,0),P(x1-rcosθ,rsinθ).
則lAB方程為 ,即x1x+x0?cotθ?y-x1x0=0,因?yàn)閘AB與圓相切,可得x1? = x0x1?cotθ-x1x0,約去x1,再兩邊平方得
,所以 ?x1. ①
又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上,所以(rcos )2+(x1-rsin )2= ,化簡(jiǎn)得r=2x1sin . ②
要證DP=AP+AE 2DP=AD+AE 2r= +x1tan -x1 1+sin -cos =4sin cos . ③
又因?yàn)?,所以
因?yàn)?=(x1-x0-rcosθ,rsinθ), =(x1-rcosθ,rsinθ),
所以 (x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0. ④
把②代入④化簡(jiǎn)得

由①得x0=x1?
代入⑤并約去x1,化簡(jiǎn)得4sin22 -3sin2 =0,因?yàn)閟in2 ≠0,所以sin2 = ,又因?yàn)閟in = =cos ,所以sin -cos >0.
所以sin -cos = ,所以1+sin -cos = =4sin cos ,即③成立。所以DP=AP+AE。
6.證明 設(shè)BC=d,CD=b,BD=c,則AC=CQ= ,取BC中點(diǎn)M,則AM BC,以M為原點(diǎn),直線BC為x軸建立直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為 , , , , ,因?yàn)?,所以點(diǎn) ,所以
因?yàn)?<∠DRC< ,0<∠ASQ<π,所以只需證tan∠ASQ=tan2∠DRC,即 ,化簡(jiǎn)得9d2-9c2-9b2=0即d2=b2+c2,顯然成立。所以命題得證。

本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/58169.html

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