專題六：概率與統計、推理與證明、算法初步、復數
第五講 算法初步、復數
【最新考綱透析】
1．算法的含義、程序框圖
（1）了解算法的含義，了解算法的思想；
（2）理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環(huán)。
2．基本算法語句
理解幾種基本算法語句的含義
3．復數的概念
（1）理解復數的基本概念；
（2）理解復數相等的充要條件；
（3）了解復數的代數表示法及其幾何意義。
4．復數的四則運算
（1）了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義；
（2）會進行復數代數形式的四則運算。
【核心要點突破】
要點考向1：程序（算法）框圖
考情聚焦：1．程序（算法）框圖是新課標新增內容，也是近幾年高考的熱點之一；
2．多以選擇題、填空題的形式考查，屬容易題。
考向鏈接：1．解答有關程序（算法）框圖問題，首先要讀懂程序（算法）框圖，要熟練掌握程序（算法）框圖的三個基本結構；
2．循環(huán)結構常常用在一些有規(guī)律的科學計算中，如累加求和，累乘求積，多次輸入等。利用循環(huán)結構表示算法：第一要選擇準確的表示累計的變量，第二要注意在哪一步結束循環(huán)。解答循環(huán)結構的程序（算法）框圖，最好的方法是執(zhí)行完整每一次循環(huán)，防止執(zhí)行程序不徹底，造成錯誤。
例1：（2010?湖南高考理科?Ｔ4）如圖是求 的值的程序框圖，則正整數 ．
【命題立意】從自然語言過渡到框圖語言，能訓練學生開闊的視 野和更為嚴謹的邏輯思維能力.
【思路點撥】框圖→循環(huán)結構→當循環(huán)
【規(guī)范解答】i=1, s=s+i2=12；i=2,s=12+22；…；i=100,s= ,∴n=100
【答案】100
【方法技巧】框圖→結構→注意關節(jié)點：條件結構的條件，循環(huán)結構的分類，是當循環(huán)還是直到型循環(huán).
簡單隨機抽樣方法更好.
要點考向2：復數的相關概念及復數的幾何意義
考情聚焦：1．復數的相關概念及復數的幾何意義是高考重點考查的內容；
2．以選擇題或填空題的形式呈現，屬容易題。
考向鏈接：1．與復數的相關概念和復數的幾何意義有關的問題，一般是先變形分離出實部和虛部，把復數的非代數形式化為代數形式。然后根據條件，列方程或方程組；
2．與復數z的模z和共軛復數 有關的問題，一般都要先設出復數z的代數形式 ，供稿條件，用待定系數法解決。
例2：已知復數
(1)求 ； （2）當 時，求a的取值范圍.
解析：（1）
（2）
要點考向3：復數的運算
考情聚焦：1．復數的運算是高考每年必考的內容，常與復數的相關概念和復數的幾何意義結合起來考查；
2．以選擇題、填空題的形式呈現，屬容易題。
例3：如果復數 為純虛數，則實數 的值為（ ）
（A）０ �。˙）１ （C）－１ �。―）０或１
【解析】選A.
注：1．熟練掌握復數的加減乘除四則運算法則是解決此類問題的關鍵；
2．在有關復數z的等式中，可設出 ，用待定系 數法求解，也可把z看作自變量直接求解；
3．熟記一些 常見的運算結果可提高運算速度，
【高考真題探究】
1．（2010?陜西高考理科?Ｔ6）右圖是求樣本 平均數 的程序框圖，圖中空白框中應填入的內容為（ ）
(A) S=S+x n (B) S=S+
(C) S=S+ n (D) S=S+
【命題立意】本題考查框圖的識別，屬保分題。
【思路點撥】讀懂框圖是解決本題的關鍵
【規(guī)范解答】選A 由題意及框圖知：先求和，
再求 ，故空白框中應填S=S+x n
【方法技巧】關于算法初步的命題類型與解題方法技巧
算法初步肯定要考，但不難，都局限于（ 讀懂）框圖．算法語句考的可能性不大，這是因為，同一種算法，同一種框圖，所使用的語言不同，算法語 句就不同．考查由算法步驟畫出框圖的可能性也不大，根據同一算法步驟，可以畫出不同的框圖，批改很麻煩，甚至可能造成評分不公．因而算法的復習重點應放在讀懂框圖，尤其是條件結構、循環(huán)結構．
2．（2010?遼寧高考理科?Ｔ4）)如果執(zhí)行右面的程序框圖，輸入正整數n，m，滿足n≥m，那么輸出的P等于
（A）
(B)
(C)
(D)
【命題立意】本題考查考生的讀圖、識圖能力。
【思路點撥】寫出輸出的p的表達式，觀察判斷。
【規(guī)范解答】選D。由于n≥ m，所以輸出的p=1×(n-m+1) ×(n-m+2) ×(n-m+3) ×……×(n-m+m)
= ( n-m+1) ×(n-m+2) ×(n-m+3) ×……× n
=
【方法技巧】正確寫出表達式，務必仔細認真。
3．（2010?天津高考理科?Ｔ4）閱讀右邊的程序框圖，若輸出s的值為-7，則判斷框內可填寫 ( )
(A)i＜3? （B）i＜4? （C）i＜5? （D）i＜6?
【命題立意】考查流程圖中循環(huán)結構的應用。
【思路點撥】按流程圖進行計算判斷。
【規(guī)范解答】選D，共執(zhí)行3次運算：
所以應填i＜6。
【方法技巧】應用循環(huán)結構解決問題時，要注意兩個變量i和s的初始值，及計數變量到底是什么，它遞加的值是多大，由輸出的結果來判斷對應的判斷條件應是多少。
4．（2010?湖南高考文科?Ｔ１） 復數 等于
A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i
命題立意：以分式結構可以考查學生對復數的除法的掌握。
思路點撥：分子分母同乘以1+i.
規(guī)范解答： = = =1+i.∴選A.
方法技巧：分母實數化常常分子分母同乘以分母的共軛復數.
5．（2010 海南高考 理科T2）已知復數 ， 是 的共軛復數，則 = ( )
（A） （B） （C）1 （D）2
【命題立意】本題主要考查復數的四則運算性質以及共軛復數的概念.解答本題的關鍵是準確應用相關的公式進行計算.
【思路點撥】先求出復數 ，再求 .
【規(guī)范解答】選A. ，
= .所以， = ，故選A.
6．（2010?北京高考理科?Ｔ9）在復平面內，復數 對應的點的坐標為 。
【命題立意】：本題考查復數的除法與復數的幾何表示。
【思路點撥】分子分母同乘以分母的共軛復數，可計算出 。
【規(guī)范解答】（-1,1）。 ，在復平面上對應的點為 。
【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1．已知 （ ）
A． B． C． D．
2． 是虛數單位，若 ，則 （ ）
. ． ． ．
3.若某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的B等于( )
(A)7(B)15 (C)31(D)63
4.如圖流程圖中,語句“S=S×n”將被執(zhí)行的次數是( )
(A)4(B)5(C)6(D)7
5．已知 ，其中i是虛數單位，那么實數a等于 （ ）
A．3 B． C．-3 D．-
6.執(zhí)行如圖的程序，如果輸出的x=256,那么可以在判斷框內填入( )
(A)i≥3？ (B)i≥4？
(C)i≤3？ (D)i≤4？
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．復數 .
8．已經復數 滿足 （i是虛數單位），則復數 的模是
9．如圖，是一程序框圖，則輸出結果為K=______,S=_____________.
(說明，M=N是賦值語句，也可以寫成M←N，或M：=N)
三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）
10．已知復數 ， ， ,
求：（1）求 的值;
（2）若 ,且 ,求 的值.
11.某市居民用水原價為2.25元/立方米,從2008年1月1日
起實行階梯式計價:
其中p是用水總量的一次函數,已知用水總量40立方米時p=3.0元/立方米,用水總量50立方米時p=3.5元/立方米.
(1)寫出水價調整后居民每月水費總額y與用水量x的函數關系式;每月用水量在什么范圍內,水價調整后居民同等用水的水費比調整前增加?
(2)用一個流程圖描述水價調整后計算水費的主要步驟.
12.(探究創(chuàng)新題)設等比數列z1,z2,z3,…，zn,…其中z1=1,z2=a+bi,z3=a-bi(a,b∈R且b＞0)，
(1 )求a，b的值;
(2)試求使z1+z2+…+zn=0的最小自然數n.
參考答案
1．【解析】選D.
2．【解析】選A.
3．【解析】選D.運行程序框圖
A=1,A≤5第一次執(zhí)行循環(huán)體
B=2×1+1=3,A=2,此時A≤5;
第二次執(zhí)行循環(huán)體
B=2×3+1=7,A=3,此時A≤5;
第三次執(zhí)行循環(huán)體
B=2×7+1=15,A=4,此時A≤5;
第四次執(zhí)行循環(huán)體
B=2×15+1=31,A=5,此時A≤5;
第五次執(zhí)行循環(huán)體
B=2×31+1=63,A=6,此時A＞5;
輸出63.
4．【解析】選B.由程序框圖知
S=1×2×3×…×n.
又1 ×2×3×4×5=120＜200,
1×2 ×3×4×5×6=720＞200.
故語句“S=S×n”被執(zhí)行了5次.
5．答案：A
6．【解析】選B.運行程序框圖x=22,i=2,此時需第二次執(zhí)行循環(huán)體：x=24,i=3，此時需第三次執(zhí)行循環(huán)體：x=28=256，i=4，此時需結束循環(huán)，故判斷框內應填 i≥4.
7．【解析】
答案：
8．【解析】
答案：
9．
10．解析：（１）∵ ，
∵ ，
，
∴cos(α β)= .
（２）∵ ,∴0<α-β<π,由（1）得cos (α β)= ,
∴sin(α β)= . 又sinβ= ,∴cosβ= .
∴ sinα=sin［(α β)+β］
=sin(α β)cosβ+cos(α β)sinβ
= × ．
11．【解析】(1)由待定系數法求得
p=0.05x+1(x>30).
依題意:x≤20時,y=1.8x.
20
x>30時,y=1.8×20+2.4×(30-20)+p×(x-30)
=0.05x2-0.5x+30.
所以,水價調整后居民每月水費總額y(元)與用水
量x(立方米)的函數關系式是
用水量為30立方米時,水價調整前水費為2.25×30=67.5(元),
水價調整后水費為f(30)=60(元),水價
調整前水費更高.設用水量為x(x>30)立方米時,
水價調整后水費更高,依題意得
0.05x2-0.5x+30>2.25x，
解得x>40或x<15(舍去),即每月用水量超過40立方米時,水價調整后居民同等用水的水費比調整前增加.
(2)流程圖是:
12．
【備課資源】
4.已知i是虛數單位,實數x,y滿足(x+i)i+y=1+2i,則x-y的值為( )
(A)-1(B)0(C)1(D)2
【解析】選B.∵(x+i)i+y=1+2i.
∴(-1+y)+xi=1+2i.
∴x-y=0.
5.設i為虛數單位,則1+ i+i2+i3+…+i10=( )
(A)i(B)-i(C)2i(D)-2i
【解析】選A.1+i+i2+i3+…+i10=1+i+i2=i.
6.復數(3+i)m-(2+i)對應的點在直線x+y=1上,則實數m的值是_____.
【解析】∵(3+i)m-(2+i)=(3m- 2)+(m- 1)i,
∴(3m-2)+(m-1)=1.∴m=1.
答案:1
7.運行如圖所示的程序流程圖則輸出i的值為________.
【解析】運行程序：P=1,P＜100.
第一次執(zhí)行循環(huán)體:
i=3,P=3,此時P＜100.
第二次執(zhí)行循環(huán)體:
i=5,P=15,此時P＜100.
第三次執(zhí)行循環(huán)體:
i=7,P=105,此時P＞100.
輸出7.
答案：7
8.右面框圖表示的程序所輸出的結果是_____.
【解析】運行程序：
i=12,i≥10.
第一次執(zhí)行循環(huán)體：
s=1×12=12,i=11，此時i≥10.
第二次執(zhí)行循環(huán)體：
s=12×11=132,i=10,此時i≥10.
第三次執(zhí)行循環(huán)體：
s=132×10=1 320，i=9,此時i＜10.
輸出1 320.
答案：1 320
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