2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料
專題三 數(shù)列(教師版)
【考綱解讀】
1.理解數(shù)列的概念,了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義,了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).
2.理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,并能運(yùn)用公式解答簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
3.理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1.等差(比)數(shù)列的基本知識(shí)是必考內(nèi)容,這類問(wèn)題既有選擇題、填空題,也有解答題;難度易、中、難三類皆有.
2.數(shù)列中an與Sn之間的互化關(guān)系也是高考的一個(gè)熱點(diǎn).
3.函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法在解決問(wèn)題中常常用到,解答試題時(shí)要注意靈活應(yīng)用.
4.解答題的難度有逐年增大的趨勢(shì),還有一些新穎題型,如與導(dǎo)數(shù)和極限相結(jié)合等.
因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意:
1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù),學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來(lái)解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.
2.運(yùn)用方程的思想解等差(比)數(shù)列,是常見題型,解決此類問(wèn)題需要抓住基本量a1、d(或q),掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié),常通過(guò)“設(shè)而不求,整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算.
3.分類討論的思想在本章尤為突出.學(xué)習(xí)時(shí)考慮問(wèn)題要全面,如等比數(shù)列求和要注意q=1和q≠1兩種情況等等.
4.等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的,數(shù)列也不例外.如an與Sn的轉(zhuǎn)化;將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差(比)數(shù)列來(lái)解決等.復(fù)習(xí)時(shí),要及時(shí)總結(jié)歸納.
5.深刻理解等差(比)數(shù)列的定義,能正確使用定義和等差(比)數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵.
6.解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法.如觀察法、類比法、錯(cuò)位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,定能達(dá)到事半功倍的效果.
7.?dāng)?shù)列應(yīng)用題將是命題的熱點(diǎn),這類題關(guān)鍵在于建模及數(shù)列的一些相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用.
【要點(diǎn)梳理】
1.證明數(shù)列 是等差數(shù)列的兩種基本方法:(1)定義法: 為常數(shù);(2)等差中項(xiàng)法: .
2.證明數(shù)列 是等比數(shù)列的兩種基本方法:(1)定義法: (非零常數(shù));(2)等差中項(xiàng)法: .
3.常用性質(zhì):(1)等差數(shù)列 中,若 ,則 ;
(2)等比數(shù)列 中,若 ,則 .
4.求和:
(1)等差等比數(shù)列,用其前n項(xiàng)和求出;
(2)掌握幾種常見的求和方法:錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、倒序相加法;
(3)掌握等差等比數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì).
【考點(diǎn)在線】
考點(diǎn)1 等差等比數(shù)列的概念及性質(zhì)
在等差、等比數(shù)列中,已知五個(gè)元素 或 , 中的任意三個(gè),運(yùn)用方程的思想,便可求出其余兩個(gè),即“知三求二”。本著化多為少的原則,解題時(shí)需抓住首項(xiàng) 和公差(或公比 )。另外注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用.例如
(1)等差數(shù)列 中,若 ,則 ;等比數(shù)列 中,若 ,則 .
(2)等差數(shù)列 中, 成等差數(shù)列。其中 是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;等比數(shù)列 中( ), 成等比數(shù)列。其中 是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;
(3)在等差數(shù)列 中,項(xiàng)數(shù)n成等差的項(xiàng) 也稱等差數(shù)列.
(4)在等差數(shù)列 中, ; .
在復(fù)習(xí)時(shí),要注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價(jià)形式.注意方程思想、整體思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
例1. (2011年高考重慶卷理科11)在等差數(shù)列 中, ,則
.
【答案】74
【解析】 ,故
【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì).
【備考提示】:熟練掌握等差等比數(shù)列的概念與性質(zhì)是解答好本類題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)2 數(shù)列的遞推關(guān)系式的理解與應(yīng)用
在解答給出的遞推關(guān)系式的數(shù)列問(wèn)題時(shí),要對(duì)其關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?,轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行解題。如“逐差法”若 且 ;我們可把各個(gè)差列出來(lái)進(jìn)行求和,可得到數(shù)列 的通項(xiàng).
再看“逐商法”即 且 ,可把各個(gè)商列出來(lái)求積。
另外可以變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列,利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題.
例2.(2011年高考四川卷文科9)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),則a6=( )
(A)3 ×44 (B)3 × 44+1
(C) 44 (D)44+1
【答案】A
【解析】由題意,得a2=3a1=3.當(dāng)n ≥1時(shí),an+1 =3Sn(n ≥1) ①,所以an+2 =3Sn+1 ②,
②-①得an+2 = 4an+1 ,故從第二項(xiàng)起數(shù)列等比數(shù)列,則a6=3 ×44.
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查 與 的關(guān)系: ,數(shù)列前n項(xiàng)和 和通項(xiàng) 是數(shù)列中兩個(gè)重要的量,在運(yùn)用它們的關(guān)系式 時(shí),一定要注意條件 ,求通項(xiàng)時(shí)一定要驗(yàn)證 是否適合。解決含 與 的式子問(wèn)題時(shí),通常轉(zhuǎn)化為只含 或者轉(zhuǎn)化為只 的式子.
【備考提示】:遞推數(shù)列也是高考的內(nèi)容之一,要熟練此類題的解法,這是高考的熱點(diǎn).
練習(xí)2.(2011年高考遼寧卷文科5)若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n,則公比為( )[Z
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
【答案】B
【解析】設(shè)公比是q,根據(jù)題意a1a2=16 ①,a2a3=162 ②,②÷①,得q2=16 .因?yàn)閍12q=16>0, a12>0,則q>0,q=4.
考點(diǎn)3 數(shù)列的通項(xiàng)公式 與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要深刻理解,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 ( ),因此可以改寫為 是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù),當(dāng) 時(shí), .
例3.(2011年高考江蘇卷13)設(shè) ,其中 成公比為q的等比數(shù)列, 成公差為1的等差數(shù)列,則q的最小值是 .
【答案】
【解析】由題意: ,
【答案】A
【解析】通過(guò) ,設(shè)公比為 ,將該式轉(zhuǎn)化為 ,解得 =-2,帶入所求式可知答案選A,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
考點(diǎn)4. 數(shù)列求和
例4. (山東省濟(jì)南市2011年2月高三質(zhì)量調(diào)研理科20題)
已知 為等比數(shù)列, ; 為等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和, .
(1) 求 和 的通項(xiàng)公式;
(2) 設(shè) ,求 .
【解析】(1) 設(shè) 的公比為 ,由 ,得 所以
設(shè) 的公差為 ,由 得 ,
所以
(2)
①
②
②-①得:
所以
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.
【備考提示】:熟練數(shù)列的求和方法等基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵.
練習(xí)4. (2010年高考山東卷文科18)
已知等差數(shù)列 滿足: , . 的前n項(xiàng)和為 .
(Ⅰ)求 及 ;(Ⅱ)令 ( ),求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 .
【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列 的公差為d,因?yàn)?, ,所以有
考點(diǎn)5 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
解綜合題要總攬全局,尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件,在后面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用.
例5.(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不為0的等差數(shù)列 的首項(xiàng) ( ),設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為 ,且 , , 成等比數(shù)列(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式及 (Ⅱ)記 , ,當(dāng) 時(shí),試比較 與 的大小.[
當(dāng) 時(shí), 即 ;
所以當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), .
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和等基本知識(shí),考查邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
【備考提示】:熟練掌握等差等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解決本類問(wèn)題的關(guān)鍵.
練習(xí)5.(2011年高考天津卷文科20)
已知數(shù)列 與 滿足 , ,且 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)設(shè) , ,證明 是等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè) 為 的前n項(xiàng)和,證明 .
【解析】(Ⅰ)由 ,可得
, ,
當(dāng)n=1時(shí), 由 ,得 ;
當(dāng)n=2時(shí), 可得 .
(Ⅱ)證明:對(duì)任意 , --------①
---------------②
②-①得: ,即 ,于是 ,所以 是等比數(shù)列.
(Ⅲ)證明: ,由(Ⅱ)知,當(dāng) 且 時(shí),
=2+3(2+ )=2+ ,故對(duì)任意 , ,
由①得 所以 , ,
因此, ,于是 ,
故 = ,
所以 .
【易錯(cuò)專區(qū)】
問(wèn)題:已知 ,求 時(shí),易忽視 的情況
例. (2010年高考上海卷文科21)
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,且 ,
(1)證明: 是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式,并求出使得 成立的最小正整數(shù) .
【考題回放】
1.(2011年高考安徽卷文科7)若數(shù)列 的通項(xiàng)公式是 ,則 ( )
(A) 15 (B) 12 (C ) (D)
【答案】A
【解析】法一:分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論;
法二: ,故 .故選A.
2. (2011年高考江西卷文科5)設(shè){ }為等差數(shù)列,公差d = -2, 為其前n項(xiàng)和.若 ,則 =( )
A.18 B.20 C.22 D.24
【答案】B
【解析】 .
3. (2011年高考江西卷理科5)已知數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和 滿足: ,且 =1.那么 =( )
A.1 B.9 C.10 D.55
【答案】A
【解析】因?yàn)?,所以令 ,可得 ;令 ,可得 ;同理可得 , , ,
,所以 = ,故選A.
4. (2011年高考四川卷理科8)數(shù)列 的首項(xiàng)為 , 為等差數(shù)列且 .若則 , ,則 ( )
(A)0 (B)3 (C)8 (D)11
【答案】B
【解析】由已知知 由疊加法 .
5.( 2010年高考全國(guó)Ⅰ卷文科4)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{ }, =5, =10,則 =( )
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
【答案】A
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知 , 10,所以 ,所以 .
6.(2010年高考全國(guó)卷Ⅱ文科6)如果等差數(shù)列 中, + + =12,那么 + +???…+ =( )
(A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【答案】C
【解析】∵ ,∴
7.(2009年高考安徽卷理科第5題)已知 為等差數(shù)列, + + =105, =99,以 表示 的前 項(xiàng)和,則使得 達(dá)到最大值的 是高. ( )
【解析】設(shè)公比為 ,由已知得 ,即 ,因?yàn)榈缺葦?shù)列 的公比為正數(shù),所以 ,故 ,選B
9.(2009年高考湖南卷文科第3題)設(shè) 是等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和,已知 , ,則 等于( )
A.13 B.35 C.49 D. 63
【答案】C
【解析】 故選C.
或由 ,
所以 故選C.
10. (2009年高考福建卷理科第3題)等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ,且 =6, =4, 則公差d等于( )
A.1 B C.- 2 D 3
【答案】C
【解析】∵ 且 .故選C
11.(2009年高考江西卷理科第8題)數(shù)列 的通項(xiàng) ,其前 項(xiàng)和為 ,則 為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于 以3 為周期,故
故選A
12.(2011年高考湖北卷文科9)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自下而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為( )
A. 1升B. 升C. 升D. 升
【答案】D
【解析】設(shè)9節(jié)竹子的容積從上往下依次為a1,a2,……a9,公差為d,則有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,聯(lián)立解得: ,所以選B.
13. (2011年高考湖南卷理科12)設(shè) 是等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和,且 , ,則 .
【答案】25
【解析】 因?yàn)?, ,所以 ,則 .故填25
14. (2011年高考廣東卷理科11)等差數(shù)列 前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若 ,則 .
【答案】10
【解析】由題得 .
【解析】 則
于是 令 得 ,則 , 時(shí)遞增,令 得 ,則 , 時(shí)遞減,故 是最大項(xiàng),即 .
17. (2011年高考江西卷文科21) (本小題滿分14分)
(1)已知兩個(gè)等比數(shù)列 ,滿足 ,
若數(shù)列 唯一,求 的值;
(2)是否存在兩個(gè)等比數(shù)列 ,使得 成公差 為
的等差數(shù)列?若存在,求 的通項(xiàng)公式;若 存在,說(shuō)明理由.
【解析】(1) 要唯一, 當(dāng)公比 時(shí),由 且 ,
, 最少有一個(gè)根(有兩個(gè)根時(shí),保證僅有一個(gè)正根)
,此時(shí)滿足條件的a有無(wú)數(shù)多個(gè),不符合。
當(dāng)公比 時(shí),等比數(shù)列 首項(xiàng)為a,其余各項(xiàng)均為常數(shù)0,唯一,此時(shí)由 ,可推得 符合
綜上: 。
(2)假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列 ,則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得: ,整理得:
要使該式成立,則 = 或 此時(shí)數(shù)列 , 公差為0與題意不符,所以不存在這樣的等比數(shù)列 .
18. (2011年高考福建卷文科17)(本小題滿分12分)
已知等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=-3.
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk=-35,求k的值.
【解析】(I)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為 ,則 ,由 , 可得 ,解得
,從而 .
(II)由(I)可知 ,所以 ,由Sk=-35,可得 ,
即 ,解得 或 ,又 ,故 .
19.(2011年高考湖南卷文科20)(本題滿分13分)
某企業(yè)在第1年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)元的設(shè)備M,M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少,從第2年到第6年,每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬(wàn)元;從第7年開始,每年初M的價(jià)值為上年初的75%.
(I)求第n年初M的價(jià)值 的表達(dá)式;
(II)設(shè) 若 大于80萬(wàn)元,則M繼續(xù)使用,否則須在第n年初對(duì)M更新,證明:須在第9年初對(duì)M更新.
【解析】(I)當(dāng) 時(shí),數(shù)列 是首項(xiàng)為120,公差為 的等差數(shù)列.
因?yàn)?是遞減數(shù)列,所以 是遞減數(shù)列,又
所以須在第9年初對(duì)M更新.
20. (2011年高考四川卷文科20)(本小題共12分)
已知? ?是以 為首項(xiàng),q為公比的等比數(shù)列, 為它的前 項(xiàng)和.
(Ⅰ)當(dāng) 成等差數(shù)列時(shí),求q的值;
(Ⅱ)當(dāng) , , 成等差數(shù)列時(shí),求證:對(duì)任意自然數(shù) 也成等差數(shù)列.
【解析】(Ⅰ)當(dāng) 時(shí), ,因?yàn)?成等差數(shù)列,所以 ,解得 ,因?yàn)?,故 ;
當(dāng) 時(shí), ,由 成等差數(shù)列得 ,得 ,即 , .
21.(2010年高考天津卷文科22)(本小題滿分14分)
在數(shù)列 中, =0,且對(duì)任意k , 成等差數(shù)列,其公差為2k.
(Ⅰ)證明 成等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)記 ,證明 .
【解析】(I)證明:由題設(shè)可知, , , , , .從而 ,所以 , , 成等比數(shù)列.
(II)解:由題設(shè)可得
所以
.
由 ,得 ,從而 .
所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 或?qū)憺?, 。
(III)證明:由(II)可知 , ,
以下分兩種情況進(jìn)行討論:
(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2m
若 ,則 ,
若 ,則
.
所以 ,從而
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè) 。
所以 ,從而
綜合(1)和(2)可知,對(duì)任意 有
22.(2010年高考北京卷文科16)(本小題共13分)
已知 為等差數(shù)列,且 , 。
(Ⅰ)求 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若等差數(shù)列 滿足 , ,求 的前n項(xiàng)和公式
【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列 的公差 。
23.(2010年高考江西卷文科22)(本小題滿分14分)
正實(shí)數(shù)數(shù)列 中, , ,且 成等差數(shù)列.
(1)證明數(shù)列 中有無(wú)窮多項(xiàng)為無(wú)理數(shù);
(2)當(dāng) 為何值時(shí), 為整數(shù),并求出使 的所有整數(shù)項(xiàng)的和.
【解析】證明:(1)由已知有: ,從而 ,
方法一:取 ,則 .
用反證法證明這些 都是無(wú)理數(shù).
假設(shè) 為有理數(shù),則 必為正整數(shù),且 ,
故 . ,與 矛盾,
所以 都是無(wú)理數(shù),即數(shù)列 中有無(wú)窮多項(xiàng)為無(wú)理數(shù);
方法二:因?yàn)?,當(dāng) 得末位數(shù)字是3,4,8,9時(shí), 的末位數(shù)字是3和7,它不是整數(shù)的平方,也不是既約分?jǐn)?shù)的平方,故此時(shí) 不是有理數(shù),因這種 有無(wú)窮多,故這種無(wú)理項(xiàng) 也有無(wú)窮多.
(2)要使 為整數(shù),由 可知: 同為偶數(shù),且其中一個(gè)必為3的倍數(shù),所以有 或 當(dāng) 時(shí),有 又 必為偶數(shù),所以 滿足
即 時(shí), 為整數(shù);同理 有
也滿足
即 時(shí), 為整數(shù);顯然 和 是數(shù)列中的不同項(xiàng);所以當(dāng) 和 時(shí), 為整數(shù);由 有 ,
由 有 .
設(shè) 中滿足 的所有整數(shù)項(xiàng)的和為 ,則
.
24. (2010年高考浙江卷文科19)(本題滿分14分)設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足 +15=0.
(Ⅰ)若 =5,求 及a1;(Ⅱ)求d的取值范圍.
【解析】(Ⅰ)解:由題意知S6= =-3,
A6=S6-S5=-8所以 解得a1=7,所以S6= -3,a1=7
(Ⅱ)解:因?yàn)镾5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
【解析】通過(guò) ,設(shè)公比為 ,將該式轉(zhuǎn)化為 ,解得 =-2,帶入所求式可知答案選A,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
2.(2010年高考安徽卷文科5)設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和 ,則 的值為( )
(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64
【答案】A
【解析】 .
3.(2010年高考山東卷文科7)設(shè) 是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列,則“ ”是“數(shù)列 是遞增數(shù)列”的( )
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若已知 ,則設(shè)數(shù)列 的公比為 ,因?yàn)?,所以有 ,解得 又 ,所以數(shù)列 是遞增數(shù)列;反之,若數(shù)列 是遞增數(shù)列,則公比 且 ,所以 ,即 ,所以 是數(shù)列 是遞增數(shù)列的充分必要條件。
4.(2010年高考江西卷文科7)等比數(shù)列 中, , , ,則
A. B. C. D.
5.(2010年高考遼寧卷文科3)設(shè) 為等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和,已知 , ,則公比 ( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
【答案】B
【解析】?jī)墒较鄿p得, , .
6.(2010年高考廣東卷文科4)已知數(shù)列{ }為等比數(shù)列, 是它的前n項(xiàng)和,若 ,
且 與 的等差中項(xiàng)為 ,則S5=w( )
A.35 B.33 C.31 D.29
7.(2010年高考重慶卷文科2)在等差數(shù)列 中, ,則 的值為( )
(A)5 (B)6
(C)8 (D)10
【答案】A
【解析】由角標(biāo)性質(zhì)得 ,所以 =5.
8.(2010年高考湖北卷文科7)已知等比數(shù)列{ }中,各項(xiàng)都是正數(shù),且 , 成等差數(shù)列,則 ( )
A. B. C. D
【答案】C
二.填空題:
13.(2009年高考北京卷文科第10題)若數(shù)列 滿足: ,則
;前8項(xiàng)的和 .(用數(shù)字作答)
【答案】255
【解析】 ,
易知 .
14.(2010年高考遼寧卷文科14)設(shè) 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和,若 ,則 。
【答案】15
【解析】由 ,解得 ,
15.(浙江省溫州市2011年高三第一次適應(yīng)性測(cè)試?yán)砜?已知數(shù)列 是公比為 的等比數(shù)列,集合 ,從 中選出4個(gè)不同的數(shù),使這4個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,這樣得到4個(gè)數(shù)的不同的等比數(shù)列共有 .
【答案】
【解析】以公比為 的等比數(shù)列有 … 共 組;
以公比為 的等比數(shù)列有 … 共 組;
以公比為 的等比數(shù)列有 共 組.
再考慮公比分別為 的情形,可得得到4個(gè)數(shù)的不同的等比數(shù)列共有 個(gè).
三.解答題:
17.(2009年高考山東卷理科第20題)(本小題滿分12分)
等比數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為 ,已知對(duì)任意的 ,點(diǎn) ,均在函數(shù) 的圖像上.
(Ⅰ)求r的值;
(文科)(Ⅱ)當(dāng)b=2時(shí),記 ,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 .
(理科)(Ⅱ)當(dāng)b=2時(shí),記 ,證明:對(duì)任意的 ,不等式 成立
【解析】(Ⅰ) 由題意知: ,
當(dāng) 時(shí), ,
由于 且 所以當(dāng) 時(shí), { }是以 為公比的等比數(shù)列,
又 , , 即 解得 .
(理科) (Ⅱ)∵ ,∴當(dāng) 時(shí), ,
又當(dāng) 時(shí), ,適合上式,∴ , ,
∴ ,
下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明不等式:
證明:(1)當(dāng) 時(shí),左邊= 右邊,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng) 時(shí),不等式成立,即 ,
則當(dāng) 時(shí),
不等式左邊=
所以當(dāng) 時(shí),不等式也成立,
綜上(1)(2)可知:當(dāng) 時(shí),不等式 恒成立,
所以對(duì)任意的 ,不等式 成立.
(文科)(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,所以 = ,
,
+ ,
兩式相減得:
,
故 = .
(Ⅱ)因?yàn)?, …10分
所以
. …14分
19.(天津市南開中學(xué)2011年3月高三月考文科)已知數(shù)列 的前以項(xiàng)和為 且對(duì)于任意的 恒有 設(shè)
(1)求證:數(shù)列 是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 和
(3)若 證明:
【解析】 (1)當(dāng)n=l時(shí), 得
當(dāng) 時(shí), 兩式相減得:
是以 為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.……………………4分
(2)由(1)得
……………………………………8分
由 為正項(xiàng)數(shù)列,所以 也為正項(xiàng)數(shù)列,
從而 所以數(shù)列 遞減,
所以 …12分
另證:由
所以
20.(天津市紅橋區(qū)2011屆高三一模文科)(本題滿分14分)
設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,且 ;數(shù)列 為等差數(shù)列,且 。
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)若 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和,求證: 。
【解析】(1)由 ,
(2)數(shù)列 為等差數(shù)列,公差
從而
從而
21. (山東省濟(jì)南市2011年2月高三質(zhì)量調(diào)研文科)
已知{an}是遞增的等差數(shù)列,滿足a2?a4=3,a1+a5=4.
(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式;
(2) 設(shè)數(shù)列{bn}對(duì)n∈N*均有 成立,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
22. (山東省青島市2011年3月高考第一次模擬理科)已知數(shù)列 滿足 ,且 , 為 的前 項(xiàng)和.
(Ⅰ)求證:數(shù)列 是等比數(shù)列,并求 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)如果對(duì)任意 ,不等式 恒成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【解析】(Ⅰ) 對(duì)任意 ,都有 ,所以
則 成等比數(shù)列,首項(xiàng)為 ,公比為 …………2分
所以 , …………4分
(Ⅱ) 因?yàn)?
所以 …………6分
因?yàn)椴坏仁?,化簡(jiǎn)得 對(duì)任意 恒成立…………7分
設(shè) ,則 …………8分
當(dāng) , , 為單調(diào)遞減數(shù)列,當(dāng) , , 為單調(diào)遞增數(shù)列
,所以, 時(shí), 取得最大值 …………11分
所以, 要使 對(duì)任意 恒成立, …………12分
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