(推薦時間：30分鐘)
1．已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.
(1)設a＝1，求函數(shù)f(x)的極值；
(2)若a>14，且當x∈[1,4a]時，f′(x)≤12a恒成立，試確定a的取值范圍．
2．(2011?湖北)設函數(shù)f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b為常數(shù)，已知曲線y＝f(x)與y＝g(x)在點(2,0)處有相同的切線l.
(1)求a、b的值，并寫出切線l的方程；
(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三個互不相同的實根0、x1、x2，其中x1
答案
1．解 (1)當a＝1時，對函數(shù)f(x)求導數(shù)，得f′(x)＝3x2－6x－9.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
列表討論f(x)、f′(x)的變化情況：
x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x) ?
極大值6
極小值－26
所以f(x)的極大值是f(－1)＝6，極小值是f(3)＝－26.
(2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的圖象是一條開口向上的拋物線，關于直線x＝a對稱．
若14
由f′(x)≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，
于是有f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤12a.
由f′(1)≥－12a，得－13≤a≤1；
由f′(4a)≤12a，得0≤a≤45.
所以a∈14，1∩－13，1∩0，45，
即a∈14，45.
若a>1，則f′(a)＝12a2>12a，故當x∈[1,4a]時f′(x)≤12a不恒成立．
所以使f′(x)≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范圍是14，45.
2．解 (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3.
由于曲線y＝f(x)與y＝g(x)在點(2,0)處有相同的切線，
故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，
由此得8＋8a＋2b＋a＝0，12＋8a＋b＝1， 解得a＝－2，b＝5.
所以切線l的方程為x－y－2＝0.
(2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2，
所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x.
依題意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三個互不相同的實根0、x1、x2，故x1、x2是方程x2－3x＋2－m＝0的兩相異的實根，所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－14.
又對任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)
由根與系數(shù)的關系得x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0.故0
所以f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0.
又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，
所以函數(shù)f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]上的最大值為0.
于是當m<0時，對任意的x∈[x1，x2]，
f(x)＋g(x)
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/54007.html
相關閱讀：第十二章立體幾何(高中數(shù)學競賽標準教材)