-寶安中學(xué)高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)第一屆 “王子杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題命題:許世清 審題:周曉蘭 蔡毅 陳少晗本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,第Ⅰ卷為1-8題,共40分,第Ⅱ卷為9-17題,共80分。全卷共計(jì)120分?荚嚂r(shí)間為90分鐘。注意事項(xiàng):1、答第Ⅰ卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題紙上。2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答題紙上。3、考試結(jié)束,監(jiān)考人員將答題紙收回。 第Ⅰ卷 (本卷共計(jì)40 分)一.選擇題:(每小題只有一個(gè)選項(xiàng),每小題5分,共計(jì)40分)1.命題“”的逆否命題是或則 B若且則C 若則或 D若則且2.等比數(shù)列中,已知,,則=A 1 B 2 C 3 D 43.條件,條件,則的A、充要條件 B、既不充分也不必要條件 C、必要不充分條件 D、充分不必要條件4.在△ABC中,已知,那么△ABC一定是 A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形 5.設(shè)雙曲線以橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn),其準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn),則雙曲線的漸近線的斜率為 A. B. C. D. B. C. D.7.橢圓的準(zhǔn)線方程是A B C D 8.已知,,且,,,則的最小值為A、 B、 C、 D、第Ⅱ卷 (本卷共計(jì)80分)二、填空題:(每小題5分,共計(jì)20分)9.在等差數(shù)列中,公差=1,=8,則= 10.若直線l過拋物線(a>0)的焦點(diǎn),并且與y軸垂直,若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4,則a=_______的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式”,給出了如下一種解法:解析:由的解集為,得的解集為, 即關(guān)于的不等式的解集為.參考上述解法,若關(guān)于的不等式的解集為,則關(guān)于的不等式的解集為 ;12.已知方程表示的曲線是拋物線,則實(shí)數(shù)k的值等于 三、解答題:(每題12分,共計(jì)60分)13. 在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知a+b=5,c=,且(1)求角C的大。唬2)求△ABC的面積..定義在上對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。. 設(shè)函數(shù),對(duì)于正數(shù)數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)是否存在等比數(shù)列,使得對(duì)一切正整數(shù)都成立?若存在,請(qǐng)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說明理由..已知點(diǎn),直線:,為平面上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,且.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)已知圓過定點(diǎn),圓心在軌跡上運(yùn)動(dòng),且圓與軸交于、兩點(diǎn),設(shè),,求的最大值. 11. 12. 解答題:13. 解:∵A+B+C=180° 由 …………1分 ∴ ………………3分 整理,得 …………4分 解得: ……5分 ∵ ∴C=60° ………………6分(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即7=a2+b2-2ab …………7分∴=25-3ab 10分∴ …………12分 【解】 (1)由根與系數(shù)的關(guān)系解得:a=3.所以不等式變?yōu)椋?x2-x-3>0,解集為: (-∞, -1), +∞.……………………6分 (2)由題意知:x2+bx+3-b≥0,,設(shè),…………11分所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),,故.…………12分15. 解:要使原不等式恒成立,只要恒成立由恒成立得由恒成立故所求a的取值范圍是16. 解:(1)由, , 得 ① , ②即 , ………分即 ,即 ∵>,∴ ,即數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列,……分由①得,,解得,因此 ,數(shù)列的通項(xiàng)公式為. ………分(2)假設(shè)存在等比數(shù)列,使得對(duì)一切正整數(shù)都有 ③ 當(dāng)時(shí),有 ④③-④,得 , 由得, ………………1分又滿足條件,因此,存在等比數(shù)列,使得對(duì)一切正整數(shù)都成立. …………………分 (1)解:設(shè),則,∵,∴. 即,即,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程. (2)解:設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為,則. ①圓的半徑為. 圓的方程為.令,則,整理得,. ②由①、②解得,. 不妨設(shè),,∴,.∴ , ③ 當(dāng)時(shí),由③得,. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)時(shí),由③得,. 故當(dāng)時(shí),的最大值為. 1QPF0yx廣東省寶安中學(xué)高二第一屆“王子杯”競(jìng)賽數(shù)學(xué)(理)試題
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