同步檢測(cè)訓(xùn)練
一、
1.不在3x+2y>3表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是( )
A.(0,0) B.(1,1)
C.(0,2) D.(2,0)
解析:∵3×0+2×0>3不成立,∴選A.
答案:A
2.不等式x+2y-6<0表示的區(qū)域在直線x+2y-6=0的( )
A.右上方 B.左上方
C.右下方 D.左下方
解析:直線x+2y-6=0過點(diǎn)(6,0)和點(diǎn)(0,3),又0+2×0-6<0,故選D.
答案:D
3.不等式組y>xx+y≤1y≤3表示的區(qū)域?yàn)镈,點(diǎn)P1(0,-2),點(diǎn)P2(0,0),則( )
A.P1?D,P2?D B.P1?D,P2∈D
C.P1∈D,P2?D D.P1∈D,P2∈D
解析:∵0<-2不成立,∴P1?D,又∵0>0不成立,
∴P2?D,故選A.
答案:A
4.右圖中的陰影部分表示的區(qū)域可用不等式組表示為( )
A.y≤2,2x+y-4≥0
B.0≤y≤2,x≤0,2x+y-4≥0
C.0≤y≤2,x≤0,2x-y+4≥0
D.0≤y≤2,2x-y+4≤0,x≤0
解析:由圖知0≤y≤2x≤02x-y+4≥0,故選C.
答案:C
5.不等式(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的平面區(qū)域是( )
解析:原不等式等價(jià)于:
x-2y+1>0x+y-3<0或x-2y+1<0,x+y-3>0.,故選C.
答案:C
6.如下圖所示,不等式x(y-x-1)>0表示的平面區(qū)域是( )
解析:由x(y-x-1)>0
?x>0,y-x-1>0或x<0,y-x-1<0.
則表示y軸與直線y-x-1=0的對(duì)頂區(qū)域,故選B.
答案:B
7.不等式3x+2y+c≤8表示的平面區(qū)域總包含點(diǎn)(0,1),(1,1),則c的取值范圍是( )
A.(-∞,-8]∪[3,+∞) B.[-10,3]
C.(-∞,-13)∪[8,+∞) D.[-8,3]
解析:由不等式3x+2y+c≤8表示的平面區(qū)域總包含點(diǎn)(0,1),(1,1)得2+c≤8,5+c≤8,解得-10≤c≤3,故選B.
答案:B
8.不等式組?x-2?2+?y+2?2≤4,y-k?x-2?+2≤0表示的平面區(qū)域面積是( )
A.2π B.4π
C.2π-33 D.與k值有關(guān)
解析:不等式(x-2)2+(y+2)2≤4表示的平面區(qū)域是圓(x-2)2+(y+2)2=4的邊界及內(nèi)部點(diǎn)的集合,不等式y(tǒng)-k(x-2)+2≤0表示的平面區(qū)域是過定點(diǎn)(2,-2)的直線及y-k(x-2)+2=0的下方點(diǎn)的集合,其相交部分是一個(gè)半圓,所以S=12×π×22=2π,故選A.
答案:A
9.若二次函數(shù)y=ax2+bx+a與x軸無交點(diǎn),則點(diǎn)(a,b)在aOb平面上的區(qū)域(不含邊界)為( )
解析:若a>0時(shí),二次函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn),
∴Δ=b2-4a2<0,
∴b+2a>0,b-2a<0.
若a<0時(shí)二次函數(shù)與x軸無交點(diǎn),
∴Δ=b2-4a2<0,
∴b-2a>0,b+2a<0.故選D.
答案:D
10.如果點(diǎn)P在平面區(qū)域2x-y+2≥0x+y-2≤02y-1≥0上,Q點(diǎn)在曲線x2+(y+2)2=1上,那么PQ的最小值為( )
A.32 B.45-1
C.2-2 D.2-1
解析:如下圖所示,點(diǎn)P取點(diǎn)(0,12),Q取點(diǎn)(0,-1)時(shí),PQ有最小值為32.故選A.
答案:A
二、題
11.原點(diǎn)和點(diǎn)(1,1)在直線x+y-a=0的兩側(cè),則a的取值范圍是________.
解析:設(shè)F(x,y)=x+y-a,
由題意知F(0,0)?F(1,1)<0,
即-a(2-a)<0,
∴0答案:(0,2)
12.已知點(diǎn)P(1,-2)及其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)均在不等式2x+by+1>0表示的平面區(qū)域內(nèi),則b的取值范圍是________.
解析:由題意得,點(diǎn)P(1,-2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(-1,2),∴2×1-2b+1>02×?-1?+2b+1>0
解得:12答案:(12,32)
13.不等式組x-y+2≤0,x≥0,3x+y-6≤0表示的平面區(qū)域的面積是________.
解析:做出相應(yīng)的平面區(qū)域如下圖陰影部分:
S△ABC=12?AB?xc=12?4?1=2.
答案:2
14.以原點(diǎn)為圓心的圓全部在區(qū)域x-3y+6≥0,x-y+2≥0的內(nèi)部,則圓的面積的最大值為________.
解析:根據(jù)條件畫出平面區(qū)域如下圖中陰影所示,要使以原點(diǎn)為圓心的圓的面積最大,則圓與直線x-y+2=0相切.此時(shí)半徑r=0-0+22=2,此時(shí)圓面積為S=π(2)2=2π.
答案:2π
三、解答題
15.畫出不等式組2x-y+2≥0,x+2y<6,x≥0,y≥0表示的平面區(qū)域.
解析:不等式2x-y+2≥0表示直線2x-y+2=0及右下方的點(diǎn)的集合;不等式x+2y<6表示直線x+2y-6=0左下方的點(diǎn)的集合;不等式x≥0表示y軸及y軸右方的點(diǎn)的集合;y≥0表示x軸及x軸上方的點(diǎn)的集合.所以不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿缦聢D所示的陰影部分.
16.畫出不等式組y-2x≤0,x+2y+3>0,5x+3y-5<0所表示的平面區(qū)域,并求平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn).
解析:不等式y(tǒng)-2x≤0表示直線y-2x=0的右下方區(qū)域(含邊界),x+2y+3>0表示直線x+2y+3=0右上方區(qū)域(不含邊界),5x+3y-5<0表示直線5x+3y-5=0左下方區(qū)域(不含邊界),所以不等式組表示的平面區(qū)域是上述三區(qū)域的公共部分,如下圖所示的△ABC區(qū)域.
可求得A(-35,-65),B(511,1011),C(197,-207),所以△ABC區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)滿足-35
經(jīng)檢驗(yàn),共有四個(gè)整點(diǎn)(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).
17.設(shè)滿足y≥x-a的點(diǎn)(x,y)的集合為A,滿足y≤-x+b的點(diǎn)(x,y)的集合為B,其中a,b為正數(shù),且A∩B≠?.
(1)a,b之間有什么關(guān)系?
(2)求A∩B表示的圖形的面積.
解析:(1)作函數(shù)y=x-a及y=-x+b的圖像,畫出y≥x-a及y≤-x+b表示的區(qū)域,
如下圖,可知,若A∩B≠?,則b≥a.
(2)當(dāng)b>a時(shí),A∩B表示一矩形區(qū)域,各邊所在直線方程分別為x-y-a=0,x-y+b=0,x+y-a=0,x+y-b=0.
矩形兩邊長(zhǎng)分別為d1=a+b2,d2=a-b2.
∴S矩形=d1?d2=a+b2?a-b2=12(b2-a2),
∴所求面積S=12(b2-a2).
18.不等式組y≤2,x≤y≤x+1表示的幾何圖形的面積是多少?
解析:原不等式組可化為
y≤2,x≥0,x≤y≤x+1,①或x<0,y≤2,-x≤y≤-x+1.②
故原不等式組的圖像由不等式組①和②表示的兩圖像組合而成,如圖,易知矩形OABC面積為2×2=4,故△OAB的面積為2,其內(nèi)部等腰梯形面積為2-12×1×1=32,所以所求不等式組所表示的圖形面積為2×32=3.
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