高二數(shù)學（理科）月考測試題

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的。
1、復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點在第三象限內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D. 或
2、 且 ,則乘積 等于 ( )
A． B． C． D．
3、有五條線段長度分別為 ，從這 條線段中任取 條，則所取 條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為（ ）
A. B. C. D.
4、已知 ，則 等于（ ）
A B) —1 C 2 D 1
5、在長為12c的線段 上任取一點 ，并以線段 為邊作正方形，則這個正方形的面積介于 與 之間的概率為（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6、從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有 （ ）
A.280種 B.240種 C.180種 D.96種
7、設(shè) 為曲線 : 上的點且曲線C在點 處的切線的傾斜角的取值范圍為 ，則點 的橫坐標的取值范圍( )
A B C D
8、若 為 的各位數(shù)字之和，如 則 ,記 則 （ ）
A 3 B 5 C 8 D 11

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．
9、某家庭電話，打進的電話響第一聲時被接的概率為 ，響第二聲時被接的概率為 ，響第三聲時被接的概率為 ，響第四聲時被接的概率為 ，則電話在響前四聲內(nèi)被接的概率為 。
10、已知 ，則 = (最后結(jié)果)。
11、某單位有7個連在一起的停車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4
個空車位連在一起，則不同的停放方法有 種。
12關(guān)于二項式 ，有下列命題：
①該二項展開式中非常數(shù)項的系數(shù)之和是1；②該二項展開式中第六項為 ；③該二 項展開式中系數(shù)最大的項為第1002項；④當 時， 除以 的余數(shù)是 。其中所有正確命題的序號是 。
13、直線 與曲線 圍成圖形的面積為 ，則 的值為 。
14、將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側(cè)面和底面分別叫直角三棱錐的“直角面和斜面”；過三棱錐頂點及斜面任兩邊中點的截面均稱為斜面的“中面”.已知直角三角形具有性質(zhì)：“斜邊的中線長等于斜邊邊長的一半”.仿照此性質(zhì)寫出直角三棱錐具有的性質(zhì)： 。
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出字說明、證明過程和演算步驟．
15、（本題滿分12分）
某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽取 名學生，將其數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六段 ， … 后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：
(Ⅰ)求分數(shù)在 內(nèi)的頻率，并補全
這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在分數(shù)段為
的學生中抽取一個容量為 的樣本，
將該樣本看成一個總體，從中任取 人，
求至多有 人在分數(shù)段 的概率.

16、（本題滿分13分）
從4名男生,3名女生中選出三名代表,(1)不同的選法共有多少種?(2)至少有一名女生的
不同的選法共有多少種?(3)代表中男、女生都要有的不同的選法共有多少種?

17、（本題滿分13分）
已知數(shù)列 滿足 , ,
（Ⅰ）計算出 、 、 ;
（Ⅱ）猜想數(shù)列 通項公式 ,并用數(shù)學歸納法進行證明.

18、（本題滿分14分）
設(shè)關(guān)于 的一元二次方程
（1）若 是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)， 是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實數(shù)根的概率；
（2）若 是從區(qū)間 任取的一個數(shù)， 是從區(qū)間 任取的一個數(shù)，求上述方程有實數(shù)根的概率.

19、（本題滿分14分）
已知函數(shù) 在 取得極值。
（Ⅰ）確定 的值并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（Ⅱ）若關(guān)于 的方程 至多有兩個零點，求實數(shù) 的取值范圍。

20．（本題滿分14分）
,函數(shù)
（Ⅰ）若 在區(qū)間 上是增函數(shù)，求 的取值范圍;
（Ⅱ）求 在區(qū)間 上最大值。

測試題答案
一、選擇題：
題號12345678
選項CBBDABAB
, -8128 , 24, ○1,○4, 2 , 在直角三棱錐中，斜面的“中面”的面積等于斜面面積的

15、解：（Ⅰ）分數(shù)在 內(nèi)的頻率為：

，故 ，
如圖所示： -----------------------6分
（求頻率3分，作圖3分）

（Ⅱ）由題意， 分數(shù)段的人數(shù)為： 人；
分數(shù)段的人數(shù)為： 人；----------------8分 ∵在 的學生中抽取一個容量為 的樣本，∴ 分數(shù)段抽取2人，分別記為 ； 分數(shù)段抽取4人，分別記為 ；設(shè)從樣本中任取 人，至多有1人在分數(shù)段 為事件 ，則基本事件空間包含的基本事件有： 、 、 、 、 、……、 共15種，
則事件 包含的基本事件有：
、 、 、 、 、 、 、 、 共9種，
∴ ． ---1216、解：（1）即從7名學生中選出三名代表，共有選法 種；---------------------4分
（2）至少有一名女生的不同選法共有 種； ---------------------9分
（3）男、女生都要有的不同的選法共有 種。 ---------------------13分

17、解：（Ⅰ） , ,
-------------------------3分；
（Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首項為5公差為6的等差數(shù)列
∴猜想數(shù)列 通項公式： ---------------------5分
用數(shù)學歸納法證明如下：
①當 時，由題意可知 ，命題成立.------6分
②假設(shè)當 時命題成立， 即 ，----7分
那么，當 時，
也就說，當 時命題也成立----------------------------------------------12分
綜上所述，數(shù)列 的通項公式為 ---------------------------13分
18、解：設(shè)事件 為“方程 有實數(shù)根”.
當 時，因為方程 有實數(shù)根，
則 ----------------2分（1）基本事件共12個，如下：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）其中第一個數(shù)表示 的取值，第二個數(shù)表示 的取值， ---------------6分事件 包含9個基本事件，事件 發(fā)生的概率為 ----------------8分（2）實驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為 ，
構(gòu)成事件 的區(qū)域為 ----------------12分所以所求的概率為： ----------------14分19、解（Ⅰ）因為 ，
所以 ---------------------------------2分
因為函數(shù) 在 時有極值 ， 所以 ，即
得 ---------------------------------------3 分
所以 所以
令， 得， 或 ----------4分
當 變化時 ， 變化如下表：

單調(diào)遞增?極大值單調(diào)遞減?極小值單調(diào)遞增?

所以 的單調(diào)增區(qū)間為 ， ；
的單調(diào)減區(qū)間為 。------------------------------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當 時， 有極大值，并且極大值為
當 時， 有極小值，并且極小值為 ---------------10分
結(jié)合函數(shù) 的圖象，要使關(guān)于 的方程 至多有兩個零點，
則 的取值范圍為 。------------------------------------14分
20、解：(Ⅰ) 由 ∴ ----------------2分
要使 在區(qū)間 上是增函數(shù)， 當且僅當 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
即 --------------------------------------------------------------------------4分
在 上單調(diào)遞減。 在 上的最小值是
的取值范圍是 ----------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）由(Ⅰ) 知，當 時， 在區(qū)間 上是增函數(shù)，
此時， 在區(qū)間 上的最大值是 -------------------8分
當 時，令 ；解得，
時， ， ；
在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減；---------12分
此時， 在 上最大值是 。----------------13分
綜上所述：當 時， 在區(qū)間 上的最大值是 ；
當 時， 在區(qū)間 上的最大值是 。------14分

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