江西省吉安一中2013-2014學(xué)年度上學(xué)期高二第二次段考數(shù)學(xué)試卷（理科）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（每小題5分，共50分）1. 在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖是全等的矩形如圖所示，則這個幾何體可以為：①斜三棱柱；②四棱柱；③圓柱其中真命題的個數(shù)是A. 0B. 1C. 2D. 32. 雙曲線與拋物線有一個公共焦點(diǎn)F，過點(diǎn)F且垂直于實(shí)軸的弦長為，則雙曲線的離心率等于A. B. C. D. 3. 關(guān)于直線及平面，下列命題中正確的是A. 若∥，則∥B. 若∥∥，則∥C. 若∥，則D. 若∥，則的直線都可以用方程表示B. 經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C. 經(jīng)過任意兩個不同點(diǎn)的直線都可用方程表示D. 不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示5. 入射光線在直線上，經(jīng)過軸反射到直線上，再經(jīng)過y軸反射到直線上，則直線的方程為A. B. C. D. 6. 若向量a在y軸上的坐標(biāo)為0，其他坐標(biāo)不為0，那么與向量a平行的坐標(biāo)平面是A. xOy平面B. xOz平面C. yOz平面D. 以上都有可能7. 已知雙曲線C：的焦距為10，點(diǎn)在C的漸近線上，則C的方程為A. B. C. D. 8. 對于常數(shù)，“”是“方程的曲線是橢圓”的A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件9. 已知圓C：及直線當(dāng)直線被C截得的弦長為時，則A. B. C. D. 10. 如圖所示，已知球O為棱長為1的正方體的內(nèi)切球，則平面截球O的截面面積為A. B. C. D. 二、填空題（每小題5分，共25分）11. 橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是。若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為__________。12. 已知拋物線方程，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________。13. 已知正三棱錐，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_________。14. 已知命題“存在，使得成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________。15. 下列命題中正確的是_________。①如果冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，則或；②定義域?yàn)镽的函數(shù)一定可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和；③已知直線兩兩異面，則與同時相交的直線有無數(shù)條；④方程表示經(jīng)過點(diǎn)的直線；⑤方程表示的曲線不可能是橢圓。三、解答題16. （12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，。（Ⅰ）求異面直線PA與BC所成角的正切值；（Ⅱ）證明平面PDC⊥平面ABCD。17.（12分）已知命題p：方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；命題q：雙曲線的離心率；若“”為真，“”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。18.（12分）已知與曲線相切的直線交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且。（1）求證：曲線C與直線相切的條件是；（2）求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程。19. （12分）如圖，已知三棱錐O－ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且，E是OC的中點(diǎn)。（1）求O點(diǎn)到面ABC的距離；（2）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；（3）求二面角的余弦值。20.（13分） 已知拋物線的焦點(diǎn)F以及橢圓（）的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O：上。（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩不同點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，已知，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由。21.（14分）已知橢圓，離心率為的橢圓經(jīng)過點(diǎn)。（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的一個焦點(diǎn)且互相垂直的直線分別與橢圓交于A，B和C，D，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由。【試題答案】一、選擇題：1. B2. A3. C4. C5. B6. B7. A8. B9. C10. A二、填空題： 11. 12. 13. 14. 或15. ①②③三、解答題：16. （12分）解：（1）如圖在四棱錐中，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以AD＝BC，且AD∥BC，又因?yàn)锳D⊥PD，故∠PAD或其補(bǔ)角是異面直線PA與BC所成的角。在Rt△PDA中，tan∠PAD＝，所以異面直線PA與BC所成角的正切值為2。（2）證明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，，因此AD⊥平面PDC，而平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD。17. 解： p真q假，則空集；p假q真，則故m的取值范圍為18. 解：（1）略（2）19. 解：（1）取BC的中點(diǎn)D，連AD、OD∵OB＝OC，則OD⊥BC、AD⊥BC，∴BC⊥面OAD，過O點(diǎn)作OH⊥AD于H，則OH⊥面ABC，OH的長就是所要求的距離�！逴A⊥OB、OA⊥OC，∴OA⊥面OBC，則OA⊥OD。，在直角三角形OAD中，有。（另解：由知，。）（2）取OA的中點(diǎn)M，連EM、BM，則EM∥AC，∠BEM是異面直線BE與AC所成的角。求得：，。cos∠BEM＝。（3）連結(jié)CH并延長交AB于F，連結(jié)OF、EF。∵OC⊥面OAB，∴OC⊥AB。又∵OH⊥面ABC，∴CF⊥AB，EF⊥AB，則∠EFC就是所求二面角的平面角，作EG⊥CF于G，則，在直角三角形OAB中，，在直角三角形OEF中，，Sin∠EFG＝（或表示為）方法二：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。20. 解析：（1）；（2）－1試題分析：（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程確定等量關(guān)系，求解拋物線方程；根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和右定點(diǎn)也在圓上，確定橢圓方程；（2）利用已知的向量關(guān)系式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出，然后通過直線與拋物線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理進(jìn)行化簡并求值。試題解析：（1）由拋物線的焦點(diǎn)在圓O：上得：拋物線3分同理由橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O：上可解得：。得橢圓。6分（2）是定值，且定值為－1。設(shè)直線AB的方程為，則。聯(lián)立方程組，消去y得：，，且，9分由得：，整理得：，13分21. 解：（1）設(shè)橢圓方程為，則，即，由此得，故橢圓方程是，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，故橢圓方程是。4分（2）問題等價于，即是否是定值問題。橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，不妨取焦點(diǎn)（2，0），（i）當(dāng)直線AB的斜率存在且不等于零時，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程是，代入橢圓方程并整理得。設(shè)，則。根據(jù)弦長公式，8分以代換k，得所以即10分（ii）當(dāng)直線AB的斜率不存在或等于零時，一個是長軸長度，一個是通徑長度，此時，即。綜上所述，故存在實(shí)數(shù)，使得。14分 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源www.gkstk.com江西省吉安一中2013-2014學(xué)年高二12月第二次段考數(shù)學(xué)理試題（WORD版）
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