2019高二數(shù)學(xué)上冊期末試卷[1]

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

一、選擇題:本大題共12小題,每小題3分,共36分,在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求的.
1.命題“a=0,則ab=0”的逆否命題是(  )
A.若ab=0,則a=0 B.若a≠0,則ab≠0 C.若ab=0,則a≠0 D.若ab≠0,則a≠0
2.橢圓 + =1的長軸長是( 。
A.2 B.3 C.4 D.6
3.已知函數(shù)f(x)=x2+sinx,則f′(0)=( 。
A.0 B.?1 C.1 D.3
4.“a>1”是“a2<1”的( 。
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.雙曲線 =1的漸近線方程是( 。
A.y=±2x B.y=±4x C.y=± x D.y=± x
6.已知y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( 。

A.f(x)在(?3,?1)上先增后減 B.x=?2是函數(shù)f(x)極小值點(diǎn)
C.f(x)在(?1,1)上是增函數(shù) D.x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)
7.已知雙曲線的離心率e= ,點(diǎn)(0,5)為其一個(gè)焦點(diǎn),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( 。
A. ? =1 B. ? =1
C. ? =1 D. ? =1
8.函數(shù)f(x)=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為( 。
A.(?∞, ) B.(0, ) C.(?∞,e) D.(e,+∞)
9.若方程 + =1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(  )
A.(?∞,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞)
10.已知命題p:∀x∈(0,+∞),2x>3x,命題q:∃x0∈(0,+∞),x >x ,則下列命題中的真命題是( 。
A.p∧q B.p∨(?q) C.(?p)∧(?q) D.(?p)∧q
11.f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(?3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是(  )
A.(?∞,?3)∪(0,3) B.(?∞,?3)∪(3,+∞) C.(?3,0)∪(3,+∞) D.(?3,0)∪(0,3)
12.過點(diǎn)M(2,?1)作斜率為 的直線與橢圓 + =1(a>b>0)相交于A,B兩個(gè)不同點(diǎn),若M是AB的中點(diǎn),則該橢圓的離心率e=( 。
A. B. C. D.
 
二、填空題:本大題共4個(gè)小題,每小題4分.、共16分.
13.拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為      .
14.已知命題p:∃x0∈R,3 =5,則?p為     。
15.已知曲線f(x)=xex在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線與直線y=x+1平行,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為     。
16.已知f(x)=ax3+3x2?1存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是     。
 
三、解答題:本大題共7小題,共48分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知命題p:函數(shù)y=kx是增函數(shù),q:方程 +y2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,若p∧(?q)為真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
18.已知函數(shù)f(x)=2x3?6x2+m在[?2,2]上的最大值為3,求f(x)在[?2,2]上的最小值.
19.已知點(diǎn)P(1,?2)在拋物線C:y2=2px(p>0)上.
(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)若過拋物線C焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A,B兩個(gè)不同點(diǎn),求|AB|的最小值.
20.已知函數(shù)f(x)=x? ?2alnx(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x= 處取得極值,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求證:當(dāng)a≤1時(shí),不等式f(x)≥0在[1,+∞)恒成立.
21.已知函數(shù)f(x)=x? ?2alnx(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x= 處取得極值,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若不等式f(x)≥0在[1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
22.已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率e= ,點(diǎn)P(? ,1)在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點(diǎn)A,B是橢圓C上關(guān)于直線y=kx+1對稱的兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
23.已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率e= ,原點(diǎn)到直線 + =1的距離為 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點(diǎn)A,B是橢圓C上關(guān)于直線y=kx+1對稱的兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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2018-2019學(xué)年山西省太原市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)
參考答案與試題解析
 
一、選擇題:本大題共12小題,每小題3分,共36分,在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求的.
1.命題“a=0,則ab=0”的逆否命題是(  )
A.若ab=0,則a=0 B.若a≠0,則ab≠0 C.若ab=0,則a≠0 D.若ab≠0,則a≠0
【考點(diǎn)】四種命題間的逆否關(guān)系.
【分析】根據(jù)互為逆否的兩命題是條件和結(jié)論先逆后否來解答.
【解答】解:因?yàn)樵}是“a=0,則ab=0”,
所以其逆否命題為“若ab≠0,則a≠0”,
故選D.
 
2.橢圓 + =1的長軸長是( 。
A.2 B.3 C.4 D.6
【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】直接利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解實(shí)軸長即可.
【解答】解:橢圓 + =1的實(shí)軸長是:2a=6.
故選:D.
 
3.已知函數(shù)f(x)=x2+sinx,則f′(0)=( 。
A.0 B.?1 C.1 D.3
【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用代入法進(jìn)行求解即可.
【解答】解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=2x+cosx,
則f′(0)=cos0=1,
故選:C.
 
4.“a>1”是“a2<1”的(  )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】由a2<1解得?1<a<1,即可判斷出結(jié)論.
【解答】解:由a2<1解得?1<a<1,
∴“a>1”是“a2<1”的既不充分也不必要條件.
故選:D.
 
5.雙曲線 =1的漸近線方程是( 。
A.y=±2x B.y=±4x C.y=± x D.y=± x
【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【分析】利用雙曲線的簡單性質(zhì)直接求解.
【解答】解:雙曲線 =1的漸近線方為 ,
整理,得y= .
故選:C.
 
6.已知y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( 。

A.f(x)在(?3,?1)上先增后減 B.x=?2是函數(shù)f(x)極小值點(diǎn)
C.f(x)在(?1,1)上是增函數(shù) D.x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
【分析】本小題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用;根據(jù)導(dǎo)數(shù)值與0的關(guān)系判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【解答】解:由圖象得:?3<x<?2時(shí),f′(x)>0,?2<x<?1時(shí),f′(x)<0,
∴f(x)在(?3,?2)遞增,在(?2,?1)遞減,
故選:A.
 
7.已知雙曲線的離心率e= ,點(diǎn)(0,5)為其一個(gè)焦點(diǎn),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( 。
A. ? =1 B. ? =1
C. ? =1 D. ? =1
【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì).
【分析】設(shè)雙曲線的方程為 ? =1(a,b>0),運(yùn)用離心率公式和a,b,c的關(guān)系,解方程可得a=3,b=4,進(jìn)而得到所求雙曲線的方程.
【解答】解:設(shè)雙曲線的方程為 ? =1(a,b>0),
由題意可得e= = ,c=5,
可得a=3,b= =4,
即有雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ? =1.
故選:D.
 
8.函數(shù)f(x)=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為( 。
A.(?∞, ) B.(0, ) C.(?∞,e) D.(e,+∞)
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
【分析】求出函數(shù)的定義域,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)小于等于0求出x的范圍,寫出區(qū)間形式即得到函數(shù)y=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間.
【解答】解:函數(shù)的定義域?yàn)閤>0
∵y′=lnx+1
令lnx+1<0得0<x< ,
∴函數(shù)y=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是( 0, ),
故選:B.
 
9.若方程 + =1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( 。
A.(?∞,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞)
【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】由題意可得m?1>3?m>0,解不等式即可得到所求范圍.
【解答】解:方程 + =1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,
可得m?1>3?m>0,
解得2<m<3.
故選:C.
 
10.已知命題p:∀x∈(0,+∞),2x>3x,命題q:∃x0∈(0

,+∞),x >x ,則下列命題中的真命題是( 。
A.p∧q B.p∨(?q) C.(?p)∧(?q) D.(?p)∧q
【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假.
【分析】根據(jù)∀x∈(0,+∞),2x<3x,是真命題,再根據(jù)復(fù)合命題之間的判定方法即可判斷出真假.
【解答】解:命題p:∀x∈(0,+∞),2x>3x,是假命題,例如取x=2不成立;
命題q:∵∀x∈(0,+∞),2x<3x,因此命題q是假命題,
∴只有(?p)∧(?q)是真命題.
故選:C.
 
11.f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(?3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是( 。
A.(?∞,?3)∪(0,3) B.(?∞,?3)∪(3,+∞) C.(?3,0)∪(3,+∞) D.(?3,0)∪(0,3)
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;函數(shù)奇偶性的性質(zhì).
【分析】構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)g(x),利用已知可判斷出其奇偶性和單調(diào)性,進(jìn)而即可得出不等式的解集.
【解答】解:令h(x)=f(x)g(x),則h(?x)=f(?x)g(?x)=?f(x)g(x)=?h(x),因此函數(shù)h(x)在R上是奇函數(shù).
①∵當(dāng)x<0時(shí),h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,∴h(x)在x<0時(shí)單調(diào)遞增,
故函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增.
∵h(yuǎn)(?3)=f(?3)g(?3)=0,
∴h(x)=f(x)g(x)<0=h(?3),
∴x<?3.
②當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)h(x)在R上是奇函數(shù),可知:h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且h(3)=?h(?3)=0,
∴h(x)<0,的解集為(0,3).
∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(?∞,?3)∪(0,3).
故選:A
 
12.過點(diǎn)M(2,?1)作斜率為 的直線與橢圓 + =1(a>b>0)相交于A,B兩個(gè)不同點(diǎn),若M是AB的中點(diǎn),則該橢圓的離心率e=( 。
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】利用點(diǎn)差法,結(jié)合M是線段AB的中點(diǎn),斜率為 = = ,即可求出橢圓的離心率.
【解答】解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=?2,
A,B兩個(gè)不同點(diǎn)代入橢圓方程,可得 + =1, + =1,
作差整理可得 + =0,
∵斜率為 = = ,
∴a=2b,
∴c= = b,
∴e= = .
故選:C.
 
二、填空題:本大題共4個(gè)小題,每小題4分.、共16分.
13.拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為。0,1)。
【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).
【分析】由拋物線x2=4y的焦點(diǎn)在y軸上,開口向上,且2p=4,即可得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解:拋物線x2=4y的焦點(diǎn)在y軸上,開口向上,且2p=4,∴
∴拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)
故答案為:(0,1)
 
14.已知命題p:∃x0∈R,3 =5,則?p為 ∀x∈R,3x≠5。
【考點(diǎn)】命題的否定.
【分析】由特稱命題的否定方法可得結(jié)論.
【解答】解:由特稱命題的否定可知:
?p:∀x∈R,3x≠5,
故答案為:∀x∈R,3x≠5.
 
15.已知曲線f(x)=xex在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線與直線y=x+1平行,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為。0,0)。
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.
【分析】求出f(x)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由兩直線平行的條件:斜率相等,可得x0為x+1=e?x的解,運(yùn)用單調(diào)性可得方程的解,進(jìn)而得到P的坐標(biāo).
【解答】解:f(x)=xex的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=(x+1)ex,
可得切線的斜率為(x0+1)ex0,
由切線與直線y=x+1平行,可得
(x0+1)ex0=1,
即有x0為x+1=e?x的解,
由y=x+1?e?x,在R上遞增,且x=0時(shí),y=0.
即有x0=0,
則P的坐標(biāo)為(0,0).
故答案為:(0,0).
 
16.已知f(x)=ax3+3x2?1存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。?∞,?2)。
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.
【分析】討論a的取值范圍,求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值,根據(jù)函數(shù)極值和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【解答】解:(i)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=?3x2+1,令f(x)=0,解得x= ,函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),舍去.
(ii)當(dāng)a≠0時(shí),f′(x)=3ax2+6x=3ax(x+ ),令f′(x)=0,解得x=0或? .
①當(dāng)a<0時(shí),? >0,當(dāng)x>? 或x<0,f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)0<x<? 時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
∴故x=? 是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).

∵函數(shù)f(x)=ax3+3x2?1存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0<0,則f(? )=? + ?1= ?1<0,
即a2>4得a>2(舍)或a<?2.
②當(dāng)a>0時(shí),? <0,當(dāng)x<? 或x>0時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)? <x<0時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
∴x=? 是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).
∵f(0)=?1<0,
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上存在一個(gè)零點(diǎn),此時(shí)不滿足條件.
綜上可得:實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?∞,?2).
故答案為:(?∞,?2).

 
三、解答題:本大題共7小題,共48分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知命題p:函數(shù)y=kx是增函數(shù),q:方程 +y2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,若p∧(?q)為真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假.
【分析】命題p:函數(shù)y=kx是增函數(shù),利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得k>0.命題q:方程 +y2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,可得k>1.由于p∧(?q)為真命題,可得p為真命題,q為假命題.即可得出.
【解答】解:命題p:函數(shù)y=kx是增函數(shù),∴k>0.
命題q:方程 +y2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,∴k>1.
∵p∧(?q)為真命題,∴p為真命題,q為假命題.
∴ ,解得0<k≤1.
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是0<k≤1.
 
18.已知函數(shù)f(x)=2x3?6x2+m在[?2,2]上的最大值為3,求f(x)在[?2,2]上的最小值.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】求導(dǎo)并判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù),從而確定單調(diào)區(qū)間;由最大值建立方程求出m的值,進(jìn)而求出最小值.
【解答】解:f′(x)=6x2?12x,令f′(x)=0,則x=0或x=2,
x (?∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f(x) 正 0 負(fù) 0 正
f(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
∴f(x)在[?2,0]上單調(diào)遞增,在(0,2]上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(0)=m=3,
即f(x)=2x3?6x2+3,
又∵f(?2)=?37,f(2)=?5,
∴f(x)min=f(?2)=?37.
 
19.已知點(diǎn)P(1,?2)在拋物線C:y2=2px(p>0)上.
(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)若過拋物線C焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A,B兩個(gè)不同點(diǎn),求|AB|的最小值.
【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)P(1,?2)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,可得p值,即可求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)直線l的方程為:x+my?1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my?4=0,利用韋達(dá)定理和拋物線的定義知|AB|=4(m2+1)≥4,由此能求出|AB|的最小值.
【解答】解:∵點(diǎn)P(1,?2)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,
∴2p=4,解得:p=2,
∴拋物線C的方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為x=?1;
(2)設(shè)直線l的方程為:x+my?1=0,
代入y2=4x,整理得,y2+4my?4=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1,y2是上述關(guān)于y的方程的兩個(gè)不同實(shí)根,所以y1+y2=?4m
根據(jù)拋物線的定義知:|AB|=x1+x2+2=(1?my1)+(1?my2)=4(m2+1)
∴|AB|=4(m2+1)≥4,
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí),|AB|有最小值4.
 
20.已知函數(shù)f(x)=x? ?2alnx(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x= 處取得極值,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求證:當(dāng)a≤1時(shí),不等式f(x)≥0在[1,+∞)恒成立.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.
【分

析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f′( )=0,解出驗(yàn)證即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過a的范圍,確定導(dǎo)函數(shù)的符號,求出函數(shù)f(x)的單調(diào)性,從而判斷f(x)的范圍.
【解答】解:(1)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=1+ ? ,
∴f′( )=1+4(2a?1)?4a=0,解得:a= ,
∴a= 時(shí),f′(x)= ,
∴f(x)在(0, )遞增,在( ,1)遞減,
f(x)在x= 處取得極值,
故a= 符合題意;
(2)f′(x)=1+ ? = ,
當(dāng)a≤1時(shí),則2a?1≤1,
∴f′(x)>0在(1,+∞)恒成立,
函數(shù)f(x)遞增,
∴f(x)≥f(1)=2(1?a)≥0.
 
21.已知函數(shù)f(x)=x? ?2alnx(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x= 處取得極值,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若不等式f(x)≥0在[1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.
【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f′( )=0,解出驗(yàn)證即可;
(2)依題意有:fmin(x,)≥0從而求出f(x)的導(dǎo)數(shù),令f′(x)=0,得:x1=2a?1,x2=1,通過討論①當(dāng)2a?1≤1即a≤1時(shí)②當(dāng)2a?1>1即a>1時(shí),進(jìn)而求出a的范圍
【解答】解:(1)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=1+ ? ,
∴f′( )=1+4(2a?1)?4a=0,解得:a= ,
∴a= 時(shí),f′(x)= ,
∴f(x)在(0, )遞增,在( ,1)遞減,
f(x)在x= 處取得極值,
故a= 符合題意;
(2)依題意有:fmin(x,)≥0
f′(x)= ,
令f′(x)=0,
得:x1=2a?1,x2=1,
①當(dāng)2a?1≤1即a≤1時(shí),
函數(shù)f'(x)≥0在[1,+∞)恒成立,
則f(x)在[1,+∞)單調(diào)遞增,
于是fmin(x)=f(1)=2?2a≥0,
解得:a≤1;
②當(dāng)2a?1>1即a>1時(shí),
函數(shù)f(x)在[1,2a?1]單調(diào)遞減,在[2a?1,+∞)單調(diào)遞增,
于是fmin(x)=f(2a?1)<f(1)=2?2a<0,不合題意,
綜上所述:實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤1.
 
22.已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率e= ,點(diǎn)P(? ,1)在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點(diǎn)A,B是橢圓C上關(guān)于直線y=kx+1對稱的兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程,結(jié)合b2=a2?c2,即可求得橢圓C的方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y1≠y2,BA的中點(diǎn)(x0,y0),直線y=kx+1且k≠0,恒過(0,1),點(diǎn)B,A在橢圓上,化簡可得y0= =?1,AB的中點(diǎn)在y=kx+1上,解得x0,利用 ,可得x=± ,推出k的不等式,得到結(jié)果.
【解答】解:(1)由已知e= = ,即c2= a2,b2=a2?c2= a2,
將P(? ,1)代入橢圓方程,可得 + =1,
∴a=2,b= ,∴a2=4,∴b2=2,
∴橢圓C的方程為: + =1;
(2)橢圓C上存在點(diǎn)B,A關(guān)于直線y=kx+1對稱,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y1≠y2
AB的中點(diǎn)(x0,y0),直線y=kx+1且k≠0,恒過(0,1),
則x12+(y1?1)2=x22+(y2?1)2,
點(diǎn)B,A在橢圓上,
∴x12=4?2y12,x22=4?2y22,∴4?2y12+(y1?1)2=4?2y22+(y2?1)2,
化簡可得:y12?y22=?2(y1?y2),即y1+y2=?2,
∴y0= =?1,
又因?yàn)锳B的中點(diǎn)在y=kx+1上,所以y0=kx0+1,x0=? ,
由 ,可得x=± ,
∴0<? < ,或? <? <0,
即k<? 或k> .
則k的取值范圍是(?∞,? )∪( ,+∞).
 
23.已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率e= ,原點(diǎn)到直線 + =1的距離為 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點(diǎn)A,B是橢圓C上關(guān)于直線y=kx+1對稱的兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)離心率公式和點(diǎn)到直線的距離公式,結(jié)

合b2=a2?c2,即可求得橢圓C的方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y1≠y2,BA的中點(diǎn)(x0,y0),直線y=kx+1且k≠0,恒過(0,1),點(diǎn)B,A在橢圓上,化簡可得y0= =?1,AB的中點(diǎn)在y=kx+1上,解得x0,利用 ,可得x=± ,推出k的不等式,得到結(jié)果.
【解答】解:(1)由已知e= = ,即c2= a2,b2=a2?c2= a2,
原點(diǎn)到直線 + =1的距離為 ,
即有 = ,
∴a=2,b= ,∴a2=4,∴b2=2,
∴橢圓C的方程為: + =1;
(2)橢圓C上存在點(diǎn)B,A關(guān)于直線y=kx+1對稱,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y1≠y2
AB的中點(diǎn)(x0,y0),直線y=kx+1且k≠0,恒過(0,1),
則x12+(y1?1)2=x22+(y2?1)2,
點(diǎn)B,A在橢圓上,
∴x12=4?2y12,x22=4?2y22,∴4?2y12+(y1?1)2=4?2y22+(y2?1)2,
化簡可得:y12?y22=?2(y1?y2),即y1+y2=?2,
∴y0= =?1,
又因?yàn)锳B的中點(diǎn)在y=kx+1上,所以y0=kx0+1,x0=? ,
由 ,可得x=± ,
∴0<? < ,或? <? <0,
即k<? 或k> .
則k的取值范圍是(?∞,? )∪( ,+∞)


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