2018年河南省平頂山九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一．選擇題（每題3分，共30分）
1．（3分）下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（ �。�
A．y= B．3x+2y=0 C．xy? =0 D．y=
2．（3分）方程（m?2）x2? x+ =0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍（ �。�
A．m＞ B．m≤ 且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠2
3．（3分）函數(shù)y=ax?a與y= （a≠0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）已知點A（1，y1），B（ ，y2），C（?2，y3），都在反比例y= 的圖象上，則（ �。�
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y3＞y2
5．（3分）如圖是由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖，組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（ �。�
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
6．（3分）用2、3、4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為（ �。�
A． B． C． D．
7．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某點為位似中心，作出與△AOB的位似比為k的位似△CDE，則位似中心的坐標(biāo)和k的值分別為（ ）
A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），
8．（3分）如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與圖中△ABC相似的是（ �。�
A． B． C． D．
9．（3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點，連接DF，分析下列四個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四邊形CDEF= S△ABF其中正確的結(jié)論有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
10．（3分）在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時另一名同學(xué)測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為4.42米，則樹高為（ ）
A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米
二．填空題（每題3分，共15分）
11．（3分）反比例函數(shù)y= 位于 象限．
12．（3分）如圖是一個上下底密封紙盒的三視圖，請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算這個密封紙盒的體積 �。�
13．（3分）如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．連結(jié)對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACEF，使∠FAC=60°．連結(jié)AE，再以AE為邊作第三個菱形AEGH使∠HAE=60°…按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長是 �。�
14．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平 行，點P（3a，a）是反比例函數(shù)y= （k＞0）的圖象上與正方形的一個交點．若圖中陰影部分的面積等于9，則這個反比例函數(shù)的解析式為 �。�
15．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點E為AD中點，點P為線段AB上一個動點，連接EP，將△APE沿PE折疊得到△FPE，連接CE，CF，當(dāng)△ECF為直角三角形時，AP的長為 �。�
三．解答題（共75分
16．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的邊長為1，△ABC各頂點都在格點上，結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題：
（1）求△ABC的面積；
（2）以O(shè)為位似中心作一個與△ABC位似的△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC的位似比為 2；
（3）直接寫出點A1、B1、C1的坐標(biāo)．
17．（8分）若▱ABCD的對角線AC、BD的長是關(guān)于x的一元二次方程x2?mx+ ? =0的兩個實數(shù)根
（1）當(dāng)m為何值時，▱ABCD是矩形？求出此時矩形的對角線長？
（2）當(dāng)□ABCD的一條對角線AC=2時，求另外一條對角線的長？
18．（9分）如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長交AD于E，交BA的延長線于點F．
（1）求證：△APD≌△CPD；
（2）求證：△APE∽△FPA；
（3）猜想：線段PC，PE，PF之間存在什么關(guān)系？并說明理由．
19．（11分）如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象交反比例函數(shù)y= 的圖象于點A、B，交x軸于點C．
（1）求m的取值范圍．
（2）若點A的坐標(biāo)為（2，?4），且 = ，求m的值和一次函數(shù)表達(dá)式．
（3）在（2）的條件下，連接OA，求△AOC的面積并直接寫出一次函數(shù)函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x范圍．
20．（8分）一個幾何體的三視圖如圖所示．求該幾何體的表面積．
21．（9分）如圖，是小亮晚上在廣場散步的示意圖，圖中線段AB表示站立在廣場上的小亮，線段PO表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈的位置．
（1）在小亮由B處沿BO所在的方向行走到達(dá)O處的過程中，他在地面上的影子長度的變化情況為 ��；
（2）請你在圖中畫出小亮站在AB處的影子；
（3）當(dāng)小亮離開燈桿的距 離OB=4.2m時，身高（AB）為1.6m的小亮的影長為1.6m，問當(dāng)小亮離開燈桿的距離OD=6m時，小亮的影長是多少m？
22．（8分）現(xiàn)有兩組相同的撲克 牌，每組兩張，兩張牌的牌面數(shù)字分別是2和3，從每組牌中各隨機(jī)摸出一張牌，稱為一次試驗．
（1）小紅與小明用一次試驗做游戲，如果摸到的牌面數(shù)字相同小紅獲勝，否則小明獲勝，請用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平？
（2）小麗認(rèn)為：“在一次試驗中，兩張牌的牌面數(shù)字和可能為4、5、6三種情況，所以出現(xiàn)‘和為4’的概率是 ”，她的這種看法是否正確？說明理由．
23．（13分）已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是過點A的直線，過點D作 BD⊥MN于點B，連接CB．
（1）問題發(fā)現(xiàn) 如圖（1），過點C作 CE⊥CB，與MN交于點E，則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關(guān)系為 ，BD、AB、CB之間的數(shù)量關(guān)系為
（2）拓展探究 當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）位置時，BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明．
（3）解決問題 當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖（3）位置時（點C、D在直線MN兩側(cè)），若此時∠BCD=30°，BD=2時，CB= �。�
2018年河南省平頂山九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（每題3分，共30分）
1．（3分）下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（ �。�
A．y= B．3x+2y=0 C．xy? =0 D．y=
【解答】解：A、k≠0時，y= 是反比例函數(shù)，故此選項錯誤；
B、3x+2y=0，可變形為y=? x，不是反比例函數(shù)，故此選項錯誤；
C、xy? =0可變形為y= 是反比例函數(shù)，故此選項正確；
D、y= 不是反比例函數(shù)，故此選項錯誤；
故選：C．
2．（3分）方程（m?2）x2? x+ =0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍（ ）
A．m＞ B．m≤ 且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠2
【解答】解：根據(jù)題意得 ，
解得m≤ 且m≠2．
故選B．
3．（3分）函數(shù)y=ax?a與y= （a≠0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、從反比例函數(shù)圖象得a＞0，則對應(yīng)的一次函數(shù)y=ax?a圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以A選項錯誤；
B、從反比例函數(shù)圖象得a＞0，則對應(yīng)的一次函數(shù)y=ax?a圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以B選項錯誤；
C、從反比例函數(shù)圖象得a＜0，則對應(yīng)的一次函數(shù)y=ax?a圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以C選項錯誤；
D、從反比例函數(shù)圖象得a＜0，則對應(yīng)的一次函數(shù)y=ax?a圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以D選項正確．
故選D．
4．（3分）已知點A（1，y1），B（ ，y2），C（?2，y3），都在反比例y= 的圖象上，則（ �。�
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y3＞y2
【解答】解：∵反比例函數(shù)y=? 中，k=?2＜0，
∴此函數(shù)的圖象在二、四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，
∵1＞0， ＞0，
∴A、B在第四象限，
∴y1＜0，y2＜0，
∵1＜ ，
∴y1＜y2＜0．
∵?2＜0，
∴C在第二象限，
∴y3＞0，
∴y3＞y2＞y1．
故選B．
5．（3分）如圖是由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖，組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（ ）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
【解答】解：由題中所給 出的主視圖知物體共2列，且都是最高兩層；由左視圖知共行，所以小正方體的個數(shù)最少的幾何體為：第一列第一行2個小正方體，第一列第二行2個小正方體，第二列第三行1個小正方體，其余位置沒有小正方體．即組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少為：2+2+1=5個．
故選A．
6．（3分）用2、3、4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵用2，3，4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，等可能的結(jié) 果有：234，243，324，342，423，432；
∵排出的數(shù)是偶數(shù)的有：234、324、342、432；
∴排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為： =
7．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某點為位似中心，作出與△AOB的位似比為k的位似△CDE，則位似中心的坐標(biāo)和k的值分別為（ �。�
A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），
【解答】解：如圖所示：位似中心F的坐標(biāo)為：（2，2），
k的值為： = ．
故選：B．
8．（3分）如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與圖中△ABC相似的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：由勾股定理得：AB= = ，BC=2，AC= = ，
∴AC：BC：AB=1： ： ，
A、三邊之比為1： ：2 ，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；
B、三邊之比：1： ： ，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似；
C、三邊之比為 ： ：3，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；
D、三邊之比為2： ： ，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似．
故選B．
9．（3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點，連接D F，分析下列四個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四邊形CDEF= S△ABF其中正確的結(jié)論有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【解答】解：如圖，過D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC于點F，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ = = ，
∵AE= AD= BC，
∴ = ，
∴CF=2AF，故②正確；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE= BC ，
∴BM=CM，CN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DN垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正確；
∵△AEF∽△CBF，
∴ = = ，
∴S△AEF= S△ABF，S△ABF= S矩形ABCD，
∴S△AEF= S矩形ABCD，
又∵S四邊形CDEF=S△ACD?S△AEF= S矩形ABCD? S矩形ABCD= S矩形ABCD，
∴S四邊形CDEF= S△ABF，故④正確；
故選：A．
10．（3分）在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時另一名同學(xué)測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為4.42米，則樹高為（ �。�
A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米
【解答】解：如圖，∵ = ，
∴EH=0.3×0.6=0.18，
∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8，
∵ = ，
∴AB= =8（米）．
故選B．
二．填空題（每題3分，共15分）
11．（3分）反比例函數(shù)y= 位于 二、四 象限．
【解答】解：∵?m2?3＜0，
∴反比例函數(shù)y= 位于二、四象限，
故答案為：二、四．
12．（3分）如圖是一個上下底密封紙盒的三視圖，請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算這個密封紙盒的體積 450 cm3�。�
【解答】解：由三視圖可知這個幾何體是正六棱柱，
底面的正六邊形的邊長為5，底面積=6× ×（5）2（cm2）
∴正六棱柱的體積=12×6× ×25=450 （cm3）．
故答案為450 cm3
13．（3分）如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．連結(jié)對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACEF，使∠FAC=60°．連結(jié)AE，再以AE為邊作第三個菱形AEGH使∠HAE=60°…按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長是�。� ）n?1�。�
【解答】解：連接DB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴DB= AD=1，
∴BM= ，
∴AM= ，
∴AC= ，
同理可得AE= AC=（ ）2，AG= AE=3=（ ）3，
按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長為（ ）n?1，
故答案為（ ）n?1．
14．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，點P（3a，a）是反比例函數(shù)y= （k＞0）的圖象上與正方形的一個交點．若圖中陰影部分的面積等于9，則這個反比例函數(shù)的解析式為 y= ．
【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
∴陰影部分的面積和正好為正方形面積的 ，設(shè)正方形的邊長為b，則 b2=9，解得b=6，
∵正方形的中心在原點O，
∴直線AB的解析式為：x=3，
∵點P（3a，a）在直線AB上，
∴3a=3，解得a=1，
∴P（3，1），
∵點P在反比例函數(shù)y= （k＞0）的圖象上，
∴k=3，
∴此反比例函數(shù)的解析式為：y= ．
故答案為：y= ．
15．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點E為AD中點，點P為線段AB上一個動點，連接EP，將△APE沿PE折疊得到△FPE，連接CE，CF，當(dāng)△ECF為直角三角形時，AP的長為 或1 ．
【解答】解：如圖所示，當(dāng)∠CFE=90°時，△ECF是直角三角形，
由折疊可得，∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，
∴∠CFP=180°，即點P，F(xiàn)，C在一條直線上，
在Rt△CDE和Rt△CFE中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），
∴CF=CD=4，
設(shè)AP=FP=x，則BP=4?x，CP=x+4，
在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4?x）2+62=（x+4）2，
解得x= ，即AP= ；
如圖所示，當(dāng)∠CEF=90°時，△ECF是直角三角形，
過F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，則∠FQE=∠D=90°，
又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ=∠ECD，
∴△FEQ∽△ECD，
∴ = = ，即 = = ，
解得FQ= ，QE= ，
∴AQ=HF= ，AH= ，
設(shè)AP=FP=x，則HP= ?x，
∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，即（ ?x）2+（ ）2=x2，
解得x=1，即AP=1．
綜上所述，AP的長為1或 ．
三．解答題（共75分
16．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的邊長為1，△ABC各頂點都在格點上，結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題：
（1）求△ABC的面積；
（2）以O(shè)為位似中心作一個與△ABC位似的△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC的位似比為2；
（3）直接寫出點A1、B1、C1的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）△ABC的面積=2×3? ×1×1? ×2×2? ×1×3=2；
（2）如圖，
（3）A1 （?2，4），B1 （?4，2），C1 （0，?2）．
17．（8分）若▱ABCD的對角線AC、BD的長是關(guān)于x的一元二次方程x2?mx+ ? =0的兩個實數(shù)根
（1）當(dāng)m為何值時，▱ABCD是矩形？求出此時矩形的對角線長？
（2）當(dāng)□ABCD的一條對角線AC=2時，求另外一條對角線的長？
【解答】解：（1）四邊形ABCD為矩形，則方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=b2?4ac=（?m）2?4（ ? ）=0，
即m2?2m+1=0，
解得 m=1，
所以當(dāng)m=1時，四邊形ABCD為矩形．
把m=1代入x2?mx+ ? =0，可得： ；
（2）把x=2代入x2?mx+ ? =0，可得： ，
解得：m=2.5，
所以x2?2.5x+1=0，
解得： ，
所以BD=0.5．
18．（9分）如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長交AD于E，交BA的延長線于點F．
（1）求證：△APD≌△CPD；
（2）求證：△APE∽△FPA；
（3）猜想：線段PC，PE，PF之間存在什么關(guān)系？并說明理由．
【解答】（1）證明：∵ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠ADP=∠CDP
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD；
（2）證明：由（1）△APD≌△CPD，
得：∠PAE=∠PCD，
又由DC∥FB得：∠PFA=∠PCD
∴∠PAE=∠PFA
又∵∠APE=∠APF，
∴△APE∽△FPA
（3）解：線段PC、PE、PF之間的關(guān)系是：PC2=PE•PF，
∵△APE∽△FPA，
∴ ，
∴PA2=PE•PF，
又∵PC=PA，
∴PC2=PE•PF．
19．（11分）如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象交反比例函數(shù)y= 的圖象于點A、B，交x軸于點C．
（1）求m的取值范圍．
（2）若點A的坐標(biāo)為（2，?4），且 = ，求m的值和一次函數(shù)表達(dá)式．
（3）在（2）的條件下，連接OA，求△AOC的面積并直接寫出一次函數(shù)函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x范圍．
【解答】解：（1）因為反比例函數(shù)y= 的圖象在第四象限，
所以4?2m＜0，解得m＞2．
（2）因為點A（2，?4）在函數(shù)y= 圖象上，
所以?4=2?m，解得m=6
過點A、B分別作AM⊥OC于點M，BN⊥OC于點N，
所以∠BNC=∠AMC=90°，
又因為∠BCN=∠ACM，
所以△BCN∽△ACM，所以 = ．
因為 = ，所以 = ，即 = ．
因為AM=4，所以BN=1．
所以點B的縱坐標(biāo)是?1．
因為點B在反比例函數(shù)y=? 的圖象上，所以當(dāng)y=?1時，x=8．
所以點B的坐標(biāo)是（8，?1）．
因為一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點A（2，?4）、B（8，?1），
所解得 ，
解得 ：k= ，b=?5
所以一次函數(shù)的解析式是y= x?5；
（3）由函數(shù)圖象可知不等式kx+b＞ 的解集為：0＜x＜2或x＞8，
S△AOC= ×5×10? 5×2=20．
20．（8分）一個幾何體的三視圖如圖所示．求該幾何體的表面積．
【解答】解：2+4+2=8，
1+4+1=6，
（8×6+8×1.5+6×1.5）×2?π×（4÷2）2×2+π×4×1.5
=（48+12+9）×2?π×4×2+6π
=138?2π．
故該幾何體的表面積是138?2π．
21．（9分）如圖，是小亮晚上在廣場散步的示意圖，圖中線段AB表示站立在廣場上的小亮，線段PO表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈的位置．
（1）在小 亮由B處沿BO所在的方向行走到達(dá)O處的過程中，他在地面上的影子長度的變化情況為 變短��；
（2）請你在圖中畫出小亮站在AB處的影子；
（3）當(dāng)小亮離開燈桿的距離OB=4.2m時，身高（AB）為1.6m的小亮的影長為1.6m，問當(dāng)小亮離開燈桿的距離OD=6m時，小亮的影長是多少m？
【解答】解：（1）因為光是沿直線傳播的，所以當(dāng)小亮由B處沿BO所在的方向行走到達(dá)O處的過程中，他在地面上的影子長度的變化情況為變短；
（2）如圖所示，BE即為所求；
（3）先設(shè)OP=x米，則當(dāng)OB=4.2米時，BE=1.6米，
∴ = ，即 = ，
∴x=5.8；
當(dāng)OD=6米時，設(shè)小亮的影長是y米，
∴ = ，
∴ = ，
∴y= ．
即小亮的影長是 米．
22．（8分）現(xiàn)有兩組相同的撲克牌，每組兩張，兩張牌的牌面數(shù)字分別是2和3，從每組牌中各隨機(jī)摸出一張牌，稱為 一次試驗．
（1）小紅與小明用一次試驗做游戲，如果摸到的牌面數(shù)字相同小紅獲勝，否則小明獲勝，請用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平？
（2）小麗認(rèn)為：“在一次試驗中，兩張牌的牌面數(shù)字和可能為4、5、6三種情況，所以出現(xiàn)‘和為4’的概率是 ”，她的這種看法是否正確？說明理由．
【解答】解：（1）根據(jù)題意畫 樹狀圖如下：
數(shù)字相同的情況有2種，
則P（小紅獲勝）=P（數(shù)字相同）= ，
P（小明獲勝）=P（數(shù)字不同）= ，
則這個游戲公平；
（2）不正確，理由如下；
因為“和為4”的情況只出現(xiàn)了1次，
所以和為4的概率為 ，
所以她的這種看法不正確．
23．（13分）已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是過點A的直線， 過點D作 BD⊥MN于點B，連接CB．
（1）問題發(fā)現(xiàn) 如圖（1），過點C作 CE⊥CB，與MN交于點E，則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關(guān)系為 BD=AE ，BD、AB、CB之間的數(shù)量關(guān)系為 BD+AB= CB
（2）拓展探究 當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）位置時，BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明．
（3）解決問題 當(dāng)MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖（3）位置時（點C、D在直線MN兩側(cè)），若此時∠BCD=30°，BD=2時，CB= ? �。�
【解答】解：（1）如圖1，過點C作⊥CB交MN于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°?∠ACB，∠BCD=90°?∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴在四邊形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，
∴∠BAC+∠D=180°，
∵∠CE+∠BAC=180°，
∠CAE =∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE= CB，
∴BE=AE+AB=DB+AB，
∴BD+AB= CB；
故答案為：BD=AE，BD+AB= CB；
（2）BD?AB= CB；
理由：如圖2，過點C作CE⊥CB交MN于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°?∠AFB，∠D=90°?∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE= CB，
∴BE=AE?AB=DB?AB，
∴BD?AB= CB；
（3）如圖3，過點C作CE⊥CB交MN于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°?∠DCE，
∠BCD=90°?∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°?∠AFC，∠D=90°?∠CFD，
∵∠AFB=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE= CB，
∴BE=AB?AE=AB?DB，
∴AB?DB= CB；
∵△BCE為等腰直角三角形，
∴∠BEC=∠CBE=45°，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBH=45°
過點D作DH⊥BC，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD= BH=2，
∴BH=DH= ，
在Rt△CDH中，∠BCD=30°，DH= ，
∴CH= DH= × = ，
∴BC=CH?BH= ? ；
故答案為： ? ．
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