26.1.1二次函數(shù)的定義
一．選擇題（共8小題）
1．在下列y關(guān)于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（ �。�
A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x
2．下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（ �。�
A．xy+x2=2 B．x2?2y+2=0 C． y= D．y2?x=0
3．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（ �。�
A．y= B．y=2（x+1）（x?3） C．y=3x?2 D．y=
4．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（ ）
A．y=2x+1 B．y=?2x+1 C．y=x2+2 D．y= x?2
5．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（ ）
A．y=2x?3 B．y=（x+1）2?x2 C．y=2x2?7x D．y= ?
6．已知函數(shù)①y=5x?4，②t= x2?6x，③y=2x3?8x2+3，④y= x2?1，⑤y= +2，其中二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ �。�
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列四個(gè)函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（ �。�
A． B．y=ax2+bx+c C．y=x2?（x+7）2 D．y=（x+1）（2x?1）
8．已知函數(shù) y=（m+2） 是二次函數(shù)，則m等于（ �。�
A．±2 B．2 C．?2 D．±1
二．填空題（共6小題）
9．若y=（m+1） 是二次函數(shù)，則m的值為 _________�。�
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函數(shù)，那么a的取值范圍是 _________�。�
11．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c為常數(shù)），請(qǐng)你通過(guò)變形把它寫(xiě)成你所熟悉的一個(gè)函數(shù)表達(dá)式的形式．則函數(shù)表達(dá)式為 _________ ，成立的條件是 _________ ，是 _________ 函數(shù)．
12．已知y=（a+2）x2+x?3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則常數(shù)a應(yīng)滿足的條件是 _________ ．
13．二次函數(shù)y=3x2+5的二次項(xiàng)系數(shù)是 _________ ，一次項(xiàng)系數(shù)是 _________�。�
14．已知y=（k+2） 是二次函數(shù)，則k的值為 _________�。�
三．解答題（共8小題）
15．已知函數(shù)y=（m2?m）x2+mx?2（m為常數(shù)），根據(jù)下列條件求m的值：
（1）y是x的一次函數(shù)；
（2）y是x的二次函數(shù)．
16．已知函數(shù)y=（m?1） +5x?3是二次函數(shù)，求m的值．
17．已知函數(shù)y=?（m+2）xm2?2（m為常數(shù)），求當(dāng)m為何值時(shí)：
（1）y是x的一次函數(shù)？
（2）y是x的二次函數(shù)？并求出此時(shí)縱坐標(biāo)為?8的點(diǎn)的坐標(biāo)．
18．函數(shù)y=（kx?1）（x?3），當(dāng)k為何值時(shí)，y是x的一次函數(shù)？當(dāng)k為何值時(shí)，y是x的二次函數(shù)？
19．已知函數(shù)y=m• ，m2+m是不大于2的正整數(shù)，m取何值時(shí)，它的圖象開(kāi)口向上？當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大？當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而減少？當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)有最小值？
20．己知y=（m+1 ） +m是關(guān)于x的二次函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小．求：
（1）m的值．
（2）求函數(shù)的最值．
21．已知 是x的二次函數(shù)，求出它的解析式．
22．如果函數(shù)y=（m?3） +mx+1是二次函數(shù)，求m的值．
26.1.1二次函數(shù)的定義
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．在下列y關(guān)于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（ ）
A． y=x2 B．y= C．y=kx2 D． y=k2x
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義形如y=ax2+bx+c （ a≠0）是 二次函數(shù)．
解答： 解：A、是二次函數(shù)，故A符合提議；
B、是分式方程，故B錯(cuò)誤；
C、k=0時(shí)，不 是函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
D、k=0是常函數(shù)，故D錯(cuò)誤；
故選：A．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查二次函數(shù)的定義，形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函數(shù)．
2．下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（ �。�
A． xy+x2=2 B．x2?2y+2=0 C．y= D． y2?x= 0
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 整理成一般形式后，根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可．
解答： 解：A、整理為y= + ，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、x2?2y+2=0變形，得y= x2+1，是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)正確；
C、分母中含自變量，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、y的指數(shù)是2，不是函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y?ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．
3．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（ �。�
A． y= B．y=2（x+1）（x?3） C．y=3x?2 D． y=
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)反比例函數(shù)的定義，二次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
解答： 解：A、y= 是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、y=2（x+1）（x?3）=2x2?4x?6，是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)正確；
C、y=3x?2是一次 函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、y= =x+ ，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義．
4．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（ �。�
A． y=2x+1 B．y=?2x+1 C．y=x2+2 D ． y= x?2
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 直接根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可．
解答： 解：A、y=2x+1，是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、y=?2x+1，是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、y=x2+2是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)正確；
D、y= x?2，是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了二次函數(shù)的定義， 根據(jù)定義直接判斷是解題關(guān)鍵．
5．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（ ）
A． y=2x?3 B．y=（x+1）2?x2 C．y=2x2?7x D． y=?
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)．二次函數(shù)可以表示為y=ax2+bx+c（a不為0）．
解答： 解：A、函數(shù)y=2x?3是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由原方程，得y=2x+1，屬于一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、函數(shù)y=2x2?7x符號(hào)二次函數(shù)的定義；故本選項(xiàng)正確；
D、y=? 不是整式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的定義條件是：a、b、c為常數(shù)，a≠0，自變量最高次數(shù)為2．
6．已知函數(shù) ①y=5x?4，②t= x2?6x，③y=2x3?8x2+3，④y= x2?1，⑤y= +2，其中二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ �。�
A． 1 B．2 C．3 D． 4
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 首先去掉不是整式的函數(shù)，再利用二次函數(shù)的定義條件判定即可．
解答： 解：①y=5x?4，③y=2x3?8x2+3，⑤y= +2不符合二次函數(shù)解析式，
②t= x2?6x，④y= x2?1符合二次函數(shù)解析式，有兩個(gè)．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查二次函數(shù)的定義．
7．下列四個(gè)函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（ �。�
A． B．y=ax2+bx+c C．y=x2?（x+7）2 D． y=（x+1）（2x?1）
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
專題： 推理填空題．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義解答．
解答： 解：A、未知數(shù)的最高次數(shù)不是2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、二次項(xiàng)系數(shù)a=0時(shí)，y=ax2+bx+c不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∵y=x2?（x+7）2=?14x?49，即y=?14x?49，沒(méi)有二次項(xiàng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由原方程得，y=2x2?x?1，符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要 考查了二次函數(shù)的定義．二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)．二次函數(shù)可以表示為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．
8．已知函數(shù) y=（m+2） 是二次函數(shù)，則m等于（ �。�
A． ±2 B．2 C．?2 D． ±1
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
專題： 計(jì)算題．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義，令m2?2=2，且m+2≠0，即可求出m的取值范圍．
解答： 解：∵y=（m+2） 是二次函數(shù)，
∴m2?2=2，且m+2≠0，
∴m=2，
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義，要注意，二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．
二．填空題（共6小題）
9．若y=（m+1） 是二次函數(shù)，則m的值為 7�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義列出關(guān)于m的方程，求出m的值即可．
解答： 解：∵y=（m+1） 是二次函 數(shù)，
∴m2?6m?5=2，
∴m=7或m=?1（舍去）．
故答案為：7．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是根據(jù)定義列出方程，在解題時(shí)要注意m+1≠0．
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函數(shù)，那么a的取值范圍是 a≠?1�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義條件列出不等式求解即可．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的定義可得a+1≠0，
即a≠?1．
故a的取值范圍是a≠?1．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查二次函數(shù)的定義．
11．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c為常數(shù)），請(qǐng)你通過(guò)變形把它寫(xiě)成你所熟悉的一個(gè)函數(shù)表達(dá)式的形式．則函數(shù)表達(dá)式為 y=? x2? x ，成立的條件是 a≠0，c≠0 ，是 二次 函數(shù)．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
專題： 壓軸題．
分析： 函數(shù)通常情況下是用x表示y．注意分母不為0，二次項(xiàng)的系數(shù)不為0．
解答： 解：整理得函數(shù)表達(dá)式為y=? x2? x，成立的條件是a≠0，c≠0，是二次函數(shù)．
故答案為：y=? x2? x；a≠0，c≠0；二次．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查常用的用一個(gè)字母表示出另一字母的函數(shù)，注意自變量的取值，及二次項(xiàng)系數(shù)的取值．
12．已知y=（a+2）x2+x?3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則常數(shù)a應(yīng)滿足的條件是 a≠?2�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)形如y=ax2+bx+c （a是不等于零的常數(shù)）是二次函數(shù)，可得答案．
解答： 解：由y=（a+2）x2+x?3是關(guān)于x的二次函數(shù)，得
a+2≠0．
解得a≠?2，
故 答案為：a≠?2．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義，利用了二次函數(shù)的定義．
13．二次函數(shù)y=3x2+5的二次項(xiàng)系數(shù)是 3 ，一次項(xiàng)系數(shù)是 0�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義解答即可．
解答： 解：二次函數(shù)y=3x2+5的二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是0．
故答案為：3；0．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查二次函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵，要注意沒(méi)有一次項(xiàng)，所以一次項(xiàng)系數(shù)看做是0．
14．已知y=（k+2） 是二次函數(shù)，則k的值為 1�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 利用二次函數(shù)的定義列方程求解即可．
解答： 解：∵y=（k+2） 是二次函數(shù)，
∴k2+k=2且≠0，解得k=1，
故答案為：1．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共8小題）
15．已知函數(shù)y=（m2?m）x2+mx?2（m為常數(shù)），根據(jù)下列條件求m的值：
（1）y是x的一次函數(shù)；
（2）y是x的二次函數(shù)．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義；一次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)一次函和二次函數(shù)的定義可以解答．
解答： 解：（1）y是x的一次函數(shù)，則可以知道，m2?m=1，解之得：m=1，或m=0，又因?yàn)閙≠0， 所以，m=1．
（2）y是x的二次函數(shù)，只須m2?m≠0，
∴m≠1和m≠0．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一元二次方程的定義，熟記概念是解答本題的關(guān)鍵．
16．已知函數(shù)y=（m?1） +5x?3是二次函數(shù)，求m的值．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)是y=ax2+bx+c的形式，可得答案．
解答： 解：y=（m?1） +5x?3是二次函數(shù)，得
，
解得m=?1．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)，注意二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零，二次項(xiàng)的次數(shù)是2．
17．已知函數(shù)y=?（m+2）xm2?2（m為常數(shù)），求當(dāng)m為何值時(shí)：
（1）y是x的一次函數(shù) ？
（2）y是x的二次函數(shù)？并求出此時(shí)縱坐標(biāo)為?8的點(diǎn)的坐標(biāo)．
考點(diǎn)： 二 次函數(shù)的定義；一次函數(shù)的定義．
分析： （1）根據(jù)形如y=kx（k≠0，k是常數(shù)）是一次函數(shù)，可得一次函數(shù)；
（2）根據(jù)形如y=ax2（a是常數(shù)，且a≠0）是二次函數(shù)，可得答案，根據(jù)函數(shù)值，可得自變量的值，可得符合條件的點(diǎn)．
解答： 解：（1）由y=?（m+2）xm2?2（m為常數(shù)），y是x的一次函數(shù)，得
，
解得m= ，
當(dāng)m= 時(shí)，y是x的一次函數(shù)；
（2）y=?（m+2）xm2?2（m為常數(shù)），是二次函數(shù) ，得
，
解得m=2，m=?2（不符合題意的要舍去），
當(dāng)m=2時(shí)，y是x的二次函數(shù)，
當(dāng)y=?8時(shí)，?8=?4x2，
解得x= ，
故縱坐標(biāo)為? 8的點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo)是（ ，0）．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義，利用了二次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義，注意二次項(xiàng)的系數(shù)不能為零．
18．函數(shù)y=（kx?1）（x?3），當(dāng)k為何值時(shí)，y是x的一次函數(shù)？當(dāng)k為何值時(shí)，y是x的二次函數(shù)？
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義；二次函數(shù)的圖象．
分析： 利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義分別分析得出即可．
解答： 解：∵y=（kx?1）（x?3）=kx2?3kx?x+3=kx2?（3k+1）x+3，
∴k= 0時(shí)，y是x的一次函數(shù)，
k≠0時(shí)，y是x的二次函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了二次函數(shù)與一函數(shù)的定義，正確把握有關(guān) 定義是解題關(guān)鍵．
19．已知函數(shù)y=m• ，m2+m是不大于2的正整數(shù)，m取何值時(shí)，它的圖象開(kāi)口向上？當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大？當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而減少？當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)有最小值？
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義；二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得m的值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)圖象的增減性，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得答案．
解答： 解：由y=m• ，m2+m是不大于2的正整數(shù)，得
當(dāng)m2+m=2時(shí)．解得m=?2=或m=1；
當(dāng)m2+m=1時(shí)，解得m= ，或m= ，
當(dāng)m=1時(shí)，y=m• 的圖象開(kāi)口向上；
當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；
當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減少；
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最小值，y最小=0．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義，利用了二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)：a＞0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減�。粚�(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大；頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最小值．
20．己知y=（m+1） +m是關(guān)于x的二次函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減�。螅�
（1）m的值．
（2）求函數(shù)的最值．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： （1）根據(jù)y=（m+1） +m是關(guān)于x的二次函數(shù)，可得m2=2，再由當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，可得m+1＜0，從而得出m的值；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出函數(shù)的最值．
解答： 解：（1）∵y=（m+1） +m是關(guān)于x的二次函數(shù)，
∴m2=2，解得m= ，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴m+1＜0，m=? ，m= （不符合題意，舍）；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y最大=m=? ．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義，利用了二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)．
21．已知 是x的二次函數(shù)，求出它的解析式．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式求解即可．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的定義可得：m2?2m?1=2，且m2?m≠0，
解得，m=3或m=?1；
當(dāng)m=3時(shí)，y=6x2+9；
當(dāng)m=?1時(shí)，y=2x2? 4x+1；
綜上所述，該二次函數(shù)的解析式為：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查二次函數(shù)的定義．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．
22．如果函數(shù)y=（m?3） +mx+1是二次函數(shù)，求m的值．
考點(diǎn) ： 二次函數(shù)的定義．
專題： 計(jì)算題．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，即可答題．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的定義：m2?3m+2=2，且m?3≠0，
解得：m=0．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是對(duì)二次函數(shù)定義的掌握．
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