第二十六章二次函數(shù)章末測試（四）
總分120 分120分鐘
一．選擇題（共8小題，每題3分）
1．如圖，Rt△OAB的頂點A（?2，4）在拋物線y=ax2上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為（ �。�
（1題） （2題） （3題）
A． （ ， ） B． （2，2） C． （ ，2） D． （2， ）
2．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ �。�
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一個根
C． a+b+c=0 D． 當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減小
3．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ �。�
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 當(dāng)?1＜x＜3時，y＞0 D． ?
4．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y= 在同一平面直角坐標系中的大致圖象為（ �。�
A． B． C． D．
5．將拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（ �。�
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
6．二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點的坐標滿足下表：
x … ?3 ?2 ?1 0 1 …
y … ?3 ?2 ?3 ?6 ?11 …
則該函數(shù)圖象的頂點坐標為（ ）
A． （?3，?3） B． （?2，?2） C． （?1，?3） D． （0，?6）
7．在同一坐標系內(nèi)，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+8x+b的圖象可能是（ �。�
A． B． C． D．
8．如圖所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，王剛同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）b2?4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a?b＜0；（4）a+b+c＜0，其中錯誤的有（ �。�
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
二．填空題（共6小題，每題3分）
9． 2015年5月26日，中國羽毛球隊蟬聯(lián)蘇迪曼杯團體賽冠軍，成就了首個五連冠霸業(yè)．比賽中羽毛球的某次運動路線可以看作是一條拋物線（如圖）．若不考慮外力因素，羽毛球行進高度y（米）與水平距離x（米）之間滿足關(guān)系 ，則羽毛球飛出的水平距離為 _________ 米．
（9題） （10題）
10．如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A，B兩點，拱橋最高點C到AB的距離為9m，AB=36m，D，E為拱橋底部的兩點，且DE∥AB，點E到直線AB的距離為7m，則DE的長為 _________ m．
11．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（1，2）和（?1，?6）兩點，則a+c= _________�。�
12．如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為（2，0），若拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是 _________�。�
（12題） （13題）
13．如圖，拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），點A的對應(yīng)點為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為 _________�。�
14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+3與y軸交于點A，過點A與x軸平行的直線交拋物線y= 于點B、C，則BC的長值為 _________�。�
三．解答題（共10小題）
15．（6分）已知 是x的二次函數(shù)，求m的值和二次函數(shù)的解析式．
16．（6分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：（1）這個二次函數(shù)的解析式是y= _________ ；
（2）當(dāng)x= _________ 時，y=3；（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x _________ 時，y＞0．
17．（6分）已知拋物線y=?x2+2x+2．
（1）該拋物線的對稱軸是 _________ ，頂點坐標 _________��；
（2）選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖7的直角坐標系內(nèi)描點畫出該拋物線的圖象；
x
y
（3）若該拋物線上兩點A（x1，y1），B（x2，y2）的橫坐標滿足x1＞x2＞1，試比較y1與y2的大小．
18．（8分）如圖，已知拋物y=?x2+bx+c過點C（3，8），與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D（0，5）．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）求該拋物線的頂點M的坐標，并求四邊形ABMD的面積．
19．（8分）如圖，直角△ABC中，∠C=90°， ， ，點P為邊BC上一動點，PD∥AB，PD交AC于點D，連接AP．
（1）求AC、BC的長；
（2）設(shè)PC的長為x，△ADP的面積為y．當(dāng)x為何值時，y最大，并求出最大值 ．
20．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，且CD=3cm．動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，其中點P以1cm/s的速度沿AC向終點C移動；點Q以 cm/s的速度沿CB向終點B移動．過P作PE∥CB交AD于點E，設(shè)動點的運動時間為x秒．
（1）用含x的代數(shù)式表示EP；
（2）當(dāng)Q在線段CD上運動幾秒時，四邊形PEDQ是平行四邊形；
（3）當(dāng)Q在線段BD（不包括點B、點D）上運動時，求四邊形EPDQ面積的最大值．
21（8分）．如圖，拋物線y=a（x?1）2+4與x軸交于點A，B ，與y軸交于點C，過點C作CD∥x軸交拋物線的對稱軸于點D，連接BD，已知點A的坐標為（?1，0）
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求梯形COBD的面積．
22. （8分）某商家獨家銷售具有地方特色的某種商品，每件進價為4 0元．經(jīng)過市場調(diào)查，一周的銷售量y件與銷售單價x（x≥50）元/件的關(guān)系如下表：
銷售單價x（元/件） … 55 60 70 75 …
一周的銷售量y（件） … 450 400 300 250 …
（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式： _________
（2）設(shè)一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)銷售單價在什么范圍內(nèi)變化時，一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大？
（3）雅安地震牽動億萬人民的心，商家決定將商品一周的銷售利潤全部寄往災(zāi)區(qū)，在商家購進該商品的貸款不超過10000元情況下，請你求出該商家最大捐款數(shù)額是多少元？
23（10分）．某公司銷售一種進價為20元/個的計算機，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：
價格x（元/個） … 30 40 50 60 …
銷售量y（萬個） … 5 4 3 2 …
同時，銷售過程中的其他開支（不含造價）總計40萬元．
（1）觀察 并分析表中的y與x之間的對應(yīng)關(guān)系，用所學(xué)過的一次函數(shù)，反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識寫出y（萬個）與x（元/個）的函數(shù)解析式．
（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬個）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？
（3）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應(yīng)定為多少元？
24（10分）．如圖，對稱軸為直線x=?1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（?3，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點．
①若點P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC．求點P的坐標；
②設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．
第二十六章二次函數(shù)章末測試（四）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，Rt△OAB的頂點A（?2，4）在拋物線y=ax2上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為（ �。�
A． （ ， ） B． （2，2） C． （ ，2） D． （2， ）
考點： 二次函數(shù)綜合 題．
專題： 綜合題．
分析： 首先根據(jù)點A在拋物線y=ax2上求得拋物線的解析式和線段OB的長，從而求得點D的坐標，根據(jù)點P的縱坐標和點D的縱坐標相等得到點P的坐標即可；
解 答： 解：∵Rt△OAB的頂點A（?2，4）在拋物線y=ax2上，
∴4=a×（?2）2，
解得：a=1
∴解析式為y=x2，
∵Rt△OAB的頂點A（?2，4），
∴OB=OD=2，
∵Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，
∴CD∥x軸，
∴點D和點P的縱坐標均為2，
∴令y=2，得2=x2，
解得：x=± ，
∵點P在第一象限，
∴點P的坐標為：（ ，2）
故選：C．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，解題過程中首先求得直線的解析式，然后再求得點D的縱坐標，利用點P的縱坐標與點D的縱坐標相等代入函數(shù)的解析式求解即可．
2．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一個根
C． a+b+c=0 D． 當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減小
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)拋物線的開口方向可得a＜0，根據(jù)拋物線對稱軸可得方程ax2+bx+c=0的根為x=?1，x=3；根據(jù)圖象可得x=1時，y＞0；根據(jù)拋物線可直接得到x＜1時，y隨x的增大而增大．
解答： 解：A、因為拋物線開口向下，因此a＜0，故此選項錯誤；
B、根據(jù)對稱軸為x=1，一個交點坐標為（?1，0）可得另一個與x軸的交點坐標為（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一個根，故此選項正確；
C、把x=1代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由圖象可得，y＞0，故此選項錯誤；
D、當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大，故此選項錯誤；
故選：B．
點評： 此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是從拋物線中的得到正確信息．
①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．
當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口； 當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越�。�
②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．
當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）
③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數(shù)．△=b2?4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2?4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2?4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
3．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ �。�
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 當(dāng)?1＜x＜3時，y＞0 D． ?
考點 ： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
專題： 壓軸題；存在型．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系對各選項進行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故本選項錯誤；
B、∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴△=b2?4ac＞0，故本選項錯誤；
C、由函數(shù)圖象可知，當(dāng)?1＜x＜3時，y＜0，故本選項錯誤；
D、∵拋物線與x軸的兩個交點分別是（?1，0），（3，0），∴對稱軸x=? = =1，故本選項正確．
故選D．
點評： 本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，能利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
4．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y= 在同一平面直角坐標系中的大致圖象為（ �。�
A． B． C． D．
考點： 二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向上得到a＞0，再根據(jù)對稱軸確定出b，根據(jù)與y軸的交點確定出c＞0，然后確定出一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的情況，即可得解．
解答： 解：∵二次函數(shù)圖象開口方向向上，
∴a＞0，
∵對稱軸為直線x=? ＞0，
∴b＜0，
∵ 與y軸的正半軸相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的圖象經(jīng)過第一三象限，且與y軸的負半軸相交，
反比例函數(shù)y= 圖象在第一三象限，
只有B選項圖象符合．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的圖形，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、與y軸的交點坐標等確定出a、b、c的情況是解題的關(guān)鍵．
5．將拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（ �。�
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： 先求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式寫出拋物線解析式即可．
解答： 解：拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位后的拋物線頂點坐標為（?2，?1），
所得拋物線為=3（x+2）2?1．
故選C．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，求出平移后的拋物線的頂點坐標是解題的關(guān)鍵．
6．二次函數(shù)y=ax2+ bx+c圖象上部分點的坐標滿足下表：
x … ?3 ?2 ?1 0 1 …
y … ?3 ?2 ?3 ?6 ?11 …
則該函數(shù)圖象的頂點坐標為（ �。�
A． （?3，?3） B． （?2，?2） C． （?1，?3） D． （0，?6）
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的對稱性確定出二次函數(shù)的對稱軸，然后解答即可．
解答： 解：∵x=?3和?1時的函數(shù)值都是?3相等，
∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=?2，
∴頂點坐標為（?2，?2）．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，仔細觀察表格數(shù)據(jù)確定出對稱軸是解題的關(guān)鍵．
7．在同一坐標系內(nèi)，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+8x+b的圖象可能是（ �。�
A． B． C． D．
考點： 二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．
分析： 令x=0，求出兩個函數(shù)圖象在y軸上相交于同一點，再根據(jù)拋物線開口方向向上確定出a＞0，然后確定出一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一三象限，從而得解．
解答： 解：x=0時，兩個函數(shù)的函數(shù)值y=b，
所以，兩個函數(shù)圖象與y軸相交于同一點，故B、D選項錯誤；
由A、C選項可知，拋物線開口方向 向上，
所以，a＞0，
所以，一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過第一三象限，
所以，A選項錯誤，C選項正確．
故選C．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．
8．如圖所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，王剛同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）b 2?4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a?b＜0；（4）a+b+c＜0，其中錯誤的有（ �。�
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
專題： 壓軸題．
分析： 由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．
解答： 解：（1）圖象與x軸有2個交點，依據(jù)根的判別式可知b2?4ac＞0，正確；
（2）圖象與y軸的交點在1的下方，所以c＜1，錯誤；
（3）∵對稱軸在?1的右邊，∴? ＞?1，又a＜0，∴2a?b＜0，正確；
（4）當(dāng)x=1時，y=a+b+c＜0，正確；
故錯誤的有1個．
故選：A．
點評： 本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用．
二．填空題（共6小題）
9．2015年5月26日，中國羽毛球隊蟬聯(lián) 蘇迪曼杯團體賽冠軍，成就了首個五連冠霸業(yè)．比賽中羽毛球的某次運動路線可以看作是一條拋物線（如圖）．若不考慮外力因素，羽毛球行進高度y（米）與水平距離x（米）之間滿足關(guān)系 ，則羽毛球飛出的水平距離為 5 米．
考點： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： 根據(jù)羽毛球飛出的水平距離即為拋物線與x軸正半軸交點到原點的距離，進而求出即可．
解答： 解：當(dāng)y=0時，0=? x2+ x+ ，
解得：x1=?1，x2=5，
故羽毛球飛出的水平距離為5m．
故答案為：5．
點評： 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出圖象與x軸交點坐標是解題關(guān)鍵．
10．如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A，B兩點，拱橋最高點C到AB的距離為9m，AB=36m，D，E為拱橋底部的兩點，且DE∥AB，點E到直線AB的距離為7m，則DE的長為 48 m．
考點： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
專題： 壓軸題．
分析： 首先建立平面直角坐標系，設(shè)AB與y軸交于H，求出OC的長，然后設(shè)設(shè)該拋物線的解析式為：y=ax2+k，根據(jù)題干條件求出a和k的值，再令y=0，求出x的值，即可求出D和E點的坐標，DE的長度即可求出．
解答： 解：如圖所示，建立平面直角坐標系．
設(shè)AB與y軸交于點H，
∵AB=36，
∴AH=BH=18，
由題可知：
OH=7，CH=9，
∴OC=9+7=16，
設(shè)該拋物線的解析式為：y=ax2+k，
∵頂點C（0，16），
∴拋物線y=ax2+16，
代入點（18，7）
∴7=18×18a+16，
∴7=324a+16，
∴324a=?9，
∴a=? ，
∴拋物線：y=? x2+16，
當(dāng)y=0時，0=? x2+16，
∴? x2=?16，
∴x2=16×36=576
∴x=±24，
∴E（24，0），D（?24，0），
∴OE=OD=24，
∴DE=OD+OE=24+24=48，
故答案為48．
點評： 本題主要考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用的知識點，解答本題的關(guān)鍵是正確地建立平面直角坐標系，此題難度一般，是一道非常好的試題．
11．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點（1，2）和（?1，?6）兩點，則a+c= ?2�。�
考點： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
分析： 把兩點的坐標代入二次函數(shù)的解析式，通過①+②，得出2a+2c=?4，即可得出a+c的值．
解答： 解：把點（1，2）和（?1，?6）分別代入y=ax2+bx+c（a≠0）得：
，
①+②得：2a+2c=?4，
則a+c=?2；
故答案為：?2．
點評： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是通過①+②，得到2a+2c的值，再作為一個整體出現(xiàn)，不要單獨去求a，c的值．
12．如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為（2，0），若拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是 ?2＜k＜ �。�
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求出有一個公共點時的k值，即為一個交點時的最大值，再求出拋物線經(jīng)過點B時的k的值，即為一個交點時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可．
解答： 解：由圖可知，∠AOB=45°，
∴直線OA的解析式為y=x，
聯(lián)立 消掉y得，
x2?2x+2k=0，
△=（?2）2?4×1×2k=0，
即k= 時，拋物線與OA有一個交點，
此交點的橫坐標為1，
∵點B的坐標為（2，0），
∴OA=2，
∴點A的坐標為（ ， ），
∴交點在線段AO上；
當(dāng)拋物線經(jīng)過點B（2，0）時， ×4+k=0，
解得k=?2，
∴要使拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，實數(shù)k的取值范圍是?2＜k＜ ．
故答案為：?2＜k＜ ．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式確定交點個數(shù)的方法，根據(jù)圖形求出有一個交點時的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），點A的對應(yīng)點為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為 12�。�
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)平移的性質(zhì)得出四邊形APP′A′是平行四邊形，進而得出AD，PP′的長，求出面積即可．
解答： 解：連接AP，A′P′，過點A作AD⊥PP′于點D，
由題意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四邊形APP′A′是平行四邊形，
∵拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3），平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），
∴PO= =2 ，∠ AOP=45°，
∴PP′=2 ×2=4 ，
∴AD=DO= ×3= ，
∴拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為：4 × =12．
故答案為：12．
點評： 此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換以及平行四邊形面積求法和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出AD，PP′是解題關(guān)鍵．
14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2 +3與y軸交于點A，過點A與x軸平行的直線交拋物線y= 于點B、C，則BC的長值為 6�。�
考點： 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
專題： 壓軸題．
分析： 先由y軸上點的橫坐標為0求出A點坐標為（0，3），再將y=3代入y= ，求出x的值，得出B、C兩點的坐標，進而求出BC的長度．
解答： 解：∵拋物線y=ax2+3與y軸交于點A，
∴A點坐標為（0，3）．
當(dāng)y=3時， =3，
解得x=±3，
∴B點坐標為（?3，3），C點坐標為（3，3），
∴BC=3?（?3）=6．
故答案為6．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩函數(shù)交點坐標的求法，平行于x軸上的兩點之間的距離，比較簡單．
三．解答題（共10小題）
15．已知 是x的二次函數(shù)，求m的值和二次函數(shù)的解析式．
考點： 二次函數(shù)的定義．
專題： 存在型．
分析： 先根據(jù)二次函數(shù)的定義求出m的值，再把m的值代入函數(shù)的解析式即可．
解答： 解：∵ 是x的二次函數(shù)，
∴ ，解得m=3或m=?1，
∴此二次函數(shù)的解析式為：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．
點評： 本題考查的是二次函數(shù)的定義，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．
16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：
（1）這個二次函數(shù)的解析式是y= x2?2x�。�
（2）當(dāng)x= 3或?1 時，y=3；
（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x�。�0或＞2 時，y＞0．
考點： 二次函數(shù)的圖象．
分析： （1）易知頂點為（1，?1）；那么可設(shè)頂點式y(tǒng)=a（x?1）2?1再把（0，0）代入求a．
（2）把y=3代入拋物線解析式即可．
（3）函數(shù)值大于 0，指x軸上方的函數(shù)圖象所對應(yīng)的x的取值．
解答： 解：（1）由圖可知頂點坐標為（1，?1），設(shè)y=a（x?1）2?1，
把點（0，0）代入，得0=a?1，即a=1，
所以y=（x?1）2?1=x2?2x．
（2）當(dāng)y=3時，x2?2x=3，解得x=3或x=?1．
（3）由圖可知，拋物線與x軸兩 交點為（0，0），（2，0），開口向上，
所以當(dāng)x＜0或x＞2時，y＞0．
點評： 本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；會根據(jù)所給的函數(shù)值得到相應(yīng)的自變量的值及取值．
17．已知拋物線y=?x2+2x+2．
（1）該拋物線的對稱軸是 x=1 ，頂點坐標�。�1，3） ；
（2）選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖7的直角坐標系內(nèi)描點畫出該拋物線的圖象；
x
y
（3）若該拋物線上兩點A（x1，y1），B（x2，y2）的橫坐標滿足x1＞x2＞1，試比較y1與y2的大�。�
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
專題： 壓軸題；圖表型．
分析： （1）代入對稱軸公式 和頂點公式（? ， ）即可；（2）盡量讓x選取整數(shù)值，通過解析式可求出對應(yīng)的y的值，填表即可；（3）結(jié)合圖象可知這兩點位于對稱軸右邊，圖象隨著x的增大而減少，因此y1＜y2．
解答： 解：（1）x=1；（1，3）
（2）
x … ?1 0 1 2 3 …
y … ?1 2 3 2 ?1 …
（3）因為在對稱軸x=1右側(cè)，y隨x的增大而減小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2．
點評： 二次函數(shù)是中考考查的必考內(nèi)容之一，本題是綜合考查二次函數(shù)的一些基礎(chǔ)知識，需要考生熟悉二次函數(shù)的相關(guān)基本概念即可解題．
18．如圖，已知拋物y=?x2+bx+c過點C（3，8），與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D（0，5）．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）求該拋物線的頂點M的坐標，并求四邊形ABMD的面積．
考點： 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的圖象；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
專題： 計算題．
分析： （1）將C（3，8），D（0，5）兩點坐標代入y=?x2+bx+c中求b、c即可；
（2）由二次函數(shù)解析式求M點坐標，根據(jù)S四邊形ABMD=S△ADO+S梯形ODMN+S△MNB求面積．
解答： 解：（1）根據(jù)題意，得C=5
?9+3b+c=8（2分）
∴b=4，c=5．（3分）
∴這個二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=?x2+4x+5；
（2）y=?x2+4x+5的頂點坐標為M（2，9），
令y= 0，?x2+4x+5=0得x1=5，x2=?1，
A（?1，0）B（5，0），
∴S四邊形ABMD=S△ADO+S梯形ODMN+S△MNB
= + + =30．
點評： 本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，坐標系中求圖形的面積．關(guān)鍵是根據(jù)已知點的坐標，將四邊形分割為兩個三角形與一個梯形的面積和．
19．如圖，直角△ABC中，∠C=90°， ， ，點P為邊BC上一動點，PD∥AB，PD交AC于點D，連接AP．
（1）求AC、BC的長；
（2）設(shè)PC的長為x，△ADP的面積為y．當(dāng)x為何值時，y最大，并求出最大值．
考點： 二次函數(shù)的最值；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 綜合題；壓軸題．
分析： （1）在Rt△ABC中，根據(jù)∠B的正弦值及斜邊AB的長，可求出AC的長，進而可由勾股定理求得BC的長；
（2）由于PD∥AB，易證得△CPD∽△CBA，根據(jù)相似三角形得出的成比例線段，可求出CD的表達式，也就求出AD的表達式，進而 可以AD為底、PC為高得出△ADP的面積，即可求出關(guān)于y、x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)，可求出y的最大值及對應(yīng)的x的值．
解答： 解：（1）在Rt△ABC中， ， ，
得 ，
∴AC=2，根據(jù)勾股定理得：BC=4；（3分）
（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴ ；
設(shè)PC=x，則 ， ，
∴
∴當(dāng)x=2時，y的最大值是1． （8分）
點評： 此題主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識．
20．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，且CD=3cm．動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，其中點P以1cm/s的速度沿AC向終點C移動；點Q以 cm/s的速度沿CB向終點B移動．過P作PE∥CB交AD于點E，設(shè)動點的運動時間為x秒．
（1）用含x的代數(shù)式表示EP；
（2）當(dāng)Q在線段CD上運動幾秒時，四邊形PEDQ是平行四邊形；
（3）當(dāng)Q在線段BD（不包括點B、點D）上運動時，求四邊形EPDQ面積的最大值．
考點： 二次函數(shù)的最值；平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 壓軸題；動點型．
分析： （1）此題有兩種解法：①由于PE∥CD，易證得△APE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得PE的長，②根據(jù)∠A的正切值求解．
（2）當(dāng)Q在線段CD上運動時，0＜x＜2.4，若四邊形PEDQ是平行四邊形，則PE=DQ1，可用x表示出DQ1的長，聯(lián)立PE的表達式列方程求出x的值．
（3）當(dāng)Q在線段BD上運動時，四邊形EPDQ是梯形，DQ、CP的長易求得，即可根據(jù)梯形的面積公式求得關(guān)于四邊形EPDQ的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到四邊形EPDQ的最大面積．
解答： 解：（1）∵PE∥CB，
∴∠AEP=∠ADC，
又∵∠EAP=∠DAC，
∴△AEP∽△ADC，（2分）
∴ = ，
∴ = ，（3分）
∴ ．（4分）
（2）由四邊形PEDQ1是平行四邊形，可得EP=DQ1．（5分）
即 x=3? x，所以x=1.5．（6分）
∵0＜x＜2.4（7分）
∴當(dāng)Q在線段CD上運動1.5秒時，四邊形PEDQ是平行四邊形．（8分）
（3）S四邊形EPDQ2= （ x+ x?3）•（4?x）（9分）
=?x2+ x?6=?（x? ）2+ ，（10分）
又∵2.4＜x＜4，（12分）
∴當(dāng)x= 時，S取得最大值，最大值為 ．（13分）
點評： 此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、梯形的面積以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用；在求圖形面積的最大或最小值時，通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題進行求解．
21．如圖，拋物線y=a（x?1）2+4與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，過點C作CD∥x軸交拋物線的對稱軸于點D，連接BD，已知點A的坐標為（?1，0）
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求梯形COBD的面積．
考點： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與x軸的交點．
專題： 計算題．
分析： （1）將A坐標代入拋物線解析式，求出a的值，即可確定出解析式；
（2）拋物線解析式令x=0求出y的值，求出OC的長，根據(jù)對稱軸求出CD的長，令y=0求出x的值，確定出OB的長，利用梯形面積公式即可求出梯形COBD的面積．
解答： 解：（1）將A（?1，0）代入y=a（x?1）2+4中，得：0=4a+4，
解得：a=?1，
則拋物線解析式為y=?（x?1）2+4；
（2）對于拋物線解析式，令x=0，得到y(tǒng)=3，即OC=3，
∵拋物線解析式為y=?（x?1）2+4的對稱軸為直線x=1，
∴CD=1，
∵A（?1，0），
∴B（3，0），即OB=3，
則S梯形OCDB= =6．
點評： 此題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)與x軸的交點，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
22．某商家獨家銷售具有地方特色的某種商品，每件進價為40元．經(jīng)過市場調(diào)查，一周的銷售量y件與銷售單價x（x≥50）元/件的關(guān)系如下表：
銷售單價x（元/件） … 55 60 70 75 …
一周的銷售量y（件） … 450 400 300 250 …
（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式： y=?10x+1000
（2）設(shè)一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)銷售單價在什么范圍內(nèi)變化時，一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大？
（3）雅安地震牽動億萬人民的心，商家決定將商品一周的銷售利潤全部寄往災(zāi)區(qū)，在商家購進該商品的貸款不超過10000元情況下，請你求出該商家最大捐款數(shù)額是多少元？
考點： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
專題： 壓軸題．
分析： （1）設(shè)y=kx+b，把點的坐標代入解析式，求出k、b的值，即可得出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)利潤=（售價?進價）×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式，繼而確定銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大的銷售單價的范圍；
（3）根據(jù)購進該商品的貸款不超過10000元，求出進貨量，然后求最大銷售額即可．
解答： 解：（1）設(shè)y=kx+b，
由題意得， ，
解得： ，
則函數(shù)關(guān)系式為：y=?10x+1000；
（2）由題意得，S=（x?40）y=（x?40）（?10x+1000）
=?10x2+1400x?40000=?10（x?70）2+9000，
∵?10＜0，
∴函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為x=70，
∴當(dāng)50≤x≤70時，銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大；
（3）當(dāng)購進該商品的貸款為10000元時，
y= =250（件），
此時x=75，
∴35×250=8750，
即該商家最大捐款數(shù)額是8750元．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實際問題．
23．某公司銷售一種進價為20元/個的計算機，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：
價格x（元/個） … 30 40 50 60 …
銷售量y（萬個） … 5 4 3 2 …
同時，銷售過程中的其他開支（不含造價）總計40萬元．
（1）觀察并分析表中的y與x之間的對應(yīng)關(guān)系，用所學(xué)過的一次函數(shù)，反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識寫出y（萬個）與x（元/個）的函數(shù)解析式．
（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬個）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？
（3）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應(yīng)定為多少元？
考點： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
專題： 壓軸題．
分析： （1）根據(jù)數(shù)據(jù)得出y與x是一次函數(shù)關(guān)系，進而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)z=（x?20）y?40得出z與x的函數(shù)關(guān)系式，求出即可；
（3）首先求出40=? （x?50）2+50時x的值，進而得出x（元/個）的取值 范圍．
解答： 解：（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得出：y與x是一次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)解析式為：y=ax+b，
則 ，
解得： ，
故函數(shù)解析式為：y=? x+8；
（2）根據(jù)題意得出：
z=（x?20）y?40
=（x?20）（? x+8）?40
=? x2+10x?200，
=? （x2?100x）?200
=? [（x?50）2?2500]?200
=? （x?50）2+50，
故銷售價格定為50元/個時凈得利潤最大，最大值是50萬元．
（3）當(dāng)公司要求凈得利潤為40萬元時，即? （x?50）2+50=40，解得：x 1=40，x2=60．
如上圖，通過觀察函數(shù)y=? （x?50）2+50的圖象，可知按照公司要求使凈得利潤不低于40萬元，則銷售價格的取值范圍為：40≤x≤60．
而y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=? x+8，y隨x的增大而減少，
因此，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應(yīng)定為40元/個．
點評 ： 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值問題等知識，根據(jù)已知得出y與x的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
24．如圖，對稱軸為直線x=?1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（?3，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點．
①若點P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC．求點P的坐標；
②設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．
考點： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 壓軸題．
分析： （1）由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=?1，交x軸于A、B兩點，其中A點的坐標為（?3，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，即可求得B點的坐標；
（2）①a=1時，先由對稱軸為直線x=?1，求出b的值，再 將B（1，0）代入，求出二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x?3，得到C點坐標，然后設(shè)P點坐標為（x，x2+2x?3），根據(jù)S△POC=4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；
②先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解 析式為y=?x?3，再設(shè)Q點坐標為（x，?x?3），則D點坐標為（x，x2+2x?3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值．
解答： 解：（1）∵對稱軸為直線x=?1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，
∴A、B兩點關(guān)于直線x=?1對稱，
∵點A的坐標為（?3，0），
∴點B的坐標為（1，0）；
（2）①a=1時，∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=?1，
∴ =?1，解得b=2．
將B（1，0）代入y=x2+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=?3．
則二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x?3，
∴拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，?3），OC=3．
設(shè)P點坐標為（x，x2+2x?3），
∵S△POC=4S△BOC，
∴ ×3×|x|=4× ×3×1，
∴|x|=4，x=±4．
當(dāng)x=4時，x2+2x?3=16+8?3=21；
當(dāng)x=?4時，x2+2x?3=16?8?3=5．
所以點P的坐標為（4，21）或（?4，5）；
②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，將A（?3，0），C（0，?3）代入，
得 ，解得 ，
即直線AC的解析式為y=?x?3．
設(shè)Q點坐標為（x，?x?3）（?3≤x≤0），則D點坐標為（x，x2+2x?3），
QD=（?x?3）?（x2+2x?3）=?x2?3x=?（x+ ）2+ ，
∴當(dāng)x=? 時，QD有最大值 ．
點評： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/290786.html
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