第二十七章圓章末測試（二）
總分120分120分鐘
一．選擇題（共8小題，每題 3分）
1．如圖，BC是⊙O的直徑，AD⊥BC，若∠D=36°．則∠BAD的度數(shù)是（ ）
A．72° B．54° C．45° D．36°
2．將 沿弦BC折疊，交直徑AB于點D，若AD=4，DB=5，則BC的長是（ �。�
A．3 B．8 C． D．2
3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且點C、D在AB的異側(cè)，連結(jié)AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，則∠AOD的度數(shù)為（ �。�
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2，連接AO1并延長交⊙O1于點C，則∠ACO2的度數(shù)為（ �。�
A．60° B．45° C．30° D．20°
5．關(guān)于半徑為5的圓，下列說法正確的是（ �。�
A．若有一點到圓心的距離為5，則該點在圓外
B．若有一點在圓外，則該點到圓心的距離不小于5
C．圓上任意兩點之間的線段長度不大于10
D．圓上任意兩點之間的部分可以大于10π
6．如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，聯(lián)結(jié)BC，若∠A=36°，則∠C等于（ �。�
A．36° B．54° C．60° D．27°
7．如圖，PA與⊙O相切于點A，PO的延長線與⊙O交于點C，若⊙O的半徑為3，PA=4．弦AC的長為（ �。�
A．5 B． C． D．
8．如圖，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，如果∠APB=60°，⊙O半徑是3，則劣弧AB的長為（ �。�
A． B．π C．2π D．4π
二．填空題（共6小題，每題3分）
9．在邊長為1的3×3的方格中，點B、O都在格點上，則劣弧BC的長是 _________�。�
10．已知扇形弧長為2π，半徑為3cm，則此扇形所對的圓心角為 _________ 度．
11．已知⊙A的半徑為5，圓心A（3，4），坐標(biāo)原點O與⊙A的位置關(guān)系是 _________�。�
12．如圖，⊙O的半徑OC=5cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A、B兩點，AB=8cm，則l沿OC所在直線向下平移 _________ cm時與⊙O相切．
13．如圖，∠APB=30°，點O是射線PB上的一點，OP=5cm，若以點O為圓心，半徑為1.5cm的⊙O沿BP方向移動，當(dāng)⊙O與PA相切時，圓心O移動的距離為 _________ cm．
14．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點H，若∠D=30°，CH=1cm，則AB= _________ cm．
三．解答題（共10小題）
15．（6分）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中點．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若BC=6 cm，求圖中陰影部分的面積．
16．（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，以AD為直徑的⊙0與AB、AC兩邊分別交于點E、F．連接DE、DF．
（1）求證：BE=CF；
（2）若AD=BC=2 ．求ED的長．
17．（6分）如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與A，C重合），延長BD至E．
（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底邊BC邊上高為1，求△ABC外接圓的周長．
18．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）當(dāng)∠ODB=30°時，求證：BC=OD．
19．（8分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E．
（1）求證：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE•AC，求證：CD=CB．
20．（8分）如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過C作CD⊥AD于D，交AB的延長線于E．
（1）求證：CD為⊙O的切線．
（2）若 = ，求cos∠ DAB．
21．（8分）如圖，AC=BC，∠C=90°，點E在AC上，點F在BC上，CE=CF，連結(jié)AF和BE，點O在BE上，⊙O經(jīng)過點B、F，交BE于點G．
（1）求證：△ACF≌△BCE；
（2）求證：AF是⊙O的切線．
22．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圓，點P在直徑BD的延長線上，且AB=AP．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AB=2 ，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π和根號）
23．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
24．（10分）如圖，已知點A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四邊形ABCD的周長為15．
（1）求此圓的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．
第二十七章圓章末測試（二）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，BC是⊙O的直徑，AD⊥BC，若∠D=36°．則∠BAD的度數(shù)是（ �。�
A． 72° B．54° C．45° D． 36°
考點： 圓周角定理．
分析： 先根據(jù)圓周角定理求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)AD⊥BC求出∠AEB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
解答： 解：∵∠B與∠D是同弧所對的圓周角，∠D=36°，
∴∠B=36°．
∵AD⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAD=90°?36°=54°．
故選B．
點評： 本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等是解答此題的關(guān)鍵．
2．將 沿弦BC折疊，交直徑AB于點D，若AD=4，DB=5，則BC的長是（ �。�
A． 3 B．8 C． D． 2
考點： 圓周角定理；翻折變換（折疊問題）；射影定理．
專題： 計算題．
分析： 若連接CD、AC，則根據(jù)同圓或等圓中，相等的 圓周角所對的弦相等，求得AC=CD；過C作AB的垂線，設(shè)垂足為E，則DE= AD，由此可求出BE的長，進(jìn)而可在Rt△ABC中，根據(jù)射影定理求出BC的長．
解答： 解：連接CA、CD；
根據(jù)折疊的性質(zhì)，知 所對的圓周角等于∠CBD，
又∵ 所對的圓周角是∠CBA，
∵∠CBD=∠CBA，
∴AC=CD（相等的圓周角所對的弦相等）；
∴△CAD是等腰三角形；
過C作CE⊥AB于E．
∵AD=4，則AE=DE=2；
∴BE=BD+DE=7；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根據(jù)射影定理，得：
BC2=BE•AB=7×9=63；
故BC=3 ．
故選A．
點評： 此題考查的是折疊的性質(zhì)、圓周角定理、以及射影定理；能夠根據(jù)圓周角定理來判斷出△ACD是等腰三角形，是解答此題的關(guān)鍵．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且點C、D在AB的異側(cè)，連結(jié)AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，則∠AOD的度數(shù)為（ ）
A． 70° B．60° C．50° D． 40°
考點： 圓的認(rèn)識；平行線的性質(zhì)．
分析： 首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度數(shù)．
解答： 解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180?70°?70°=40°．
故選D．
點評： 此題比較簡單，主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，綜合利用它們即可解決問題．
4．如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2，連接AO1并延長交⊙O1于點C，則∠ACO2的度數(shù)為（ �。�
A． 60 ° B．45° C．30° D． 20°
考點： 相交兩圓的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．
分析： 利用等圓的性質(zhì)進(jìn)而得出△AO1O2是等邊三角形，再利用圓周角定理得出∠ACO2的度數(shù)．
解答： 解：連接O1O2，AO2，
∵等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2，連接AO1并延長交⊙O1于點C，
∴AO1=AO2=O1O2，
∴△AO1O2是等邊三角形，
∴∠AO1O2=60°，
∴∠ACO2的度數(shù)為；30°．
故選：C．
點評： 此題主要考查了相交兩圓的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和圓周角定理等知識，得出△AO1O2是等邊三角形是解題關(guān)鍵．
5．關(guān)于半徑為5的圓，下列說法正確的是（ �。�
A． 若有一點到圓心的距離為5，則該點在圓外
B． 若有一點在圓外，則該點到圓心的距離不小于5
C． 圓上任意兩點之間的線段長度不大于10
D． 圓上任意兩點之間的部分可以大于10π
考點： 點與圓的位置關(guān)系．
分析： 根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進(jìn)而分別判斷得出即可．
解答： 解：A、關(guān)于半徑為5的圓，有一點到圓心的距離為5，則該點在圓上，故此選項錯誤；
B、關(guān)于半徑為5的圓，若有一點在圓外，則該點到圓心的距離大于5，故此選項錯誤；
C、圓上任意兩點之間的線段長度不大于10，此選項正確；
D、圓上任意兩點之間的部分不可以大于10π，故此選項錯誤；
故選：C．
點評： 此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：
①點P在圓外⇔d＞r，②點P在圓上⇔d=r，③點P在圓內(nèi)⇔d＜r．
6．如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，聯(lián)結(jié)BC，若∠A=36°，則∠C等于（ �。�
A． 36° B．54° C．60° D． 27°
考點： 切線的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)題目條件易求∠BOA，根據(jù)圓周角定理求出∠C= ∠BOA，即可求出答案．
解答： ∵AB與⊙O相切于點B，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=36°，
∴∠BOA=54°，
∴由圓周角定理得：∠C= ∠BOA=27°，
故選D．
點評： 本 題考查了三角形內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠BOA度數(shù)．
7．如圖，PA與⊙O相切于點A，PO的延長線與⊙O交于點C，若⊙O的半徑為3，PA=4．弦AC的長為（ �。�
A． 5 B． C． D．
考點： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán) 所有
專題： 壓軸題．
分析： 連接AO，AB，因為PA是切線，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，所以PB=2；BC是直徑，所以∠BAC=90°，∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
進(jìn)而證明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出BA和AC的比值，進(jìn)一步利用勾股定理即可求出AC的長．
解答： 解：連接AO，AB，因為PA是切線，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，
所以PB=2；
∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
因為∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
所以∠PAB=∠CAO，
又因為∠CAO=∠ACO，
所以∠PAB=∠ACO，
又因為∠P是公共角，
所以△PAB∽△PCA，
故 ，
所以 ，
在Rt△BAC中，AB2+（2AB）2=62；
解得：AB= ，
所以AC=
故選：D．
點評： 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等．
8．如圖，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，如果∠APB=60°，⊙O半徑是3，則劣弧AB的長為（ �。�
A． B．π C．2π D． 4π
考點： 弧長的計算；切線的性質(zhì)．
分析： 連接OA，OB，根據(jù)切線的性質(zhì)，以及四邊形的內(nèi)角和定理求得∠AOB的度數(shù)，利用弧長的計算公式即可求解．
解答： 解：連接OA，OB．
則OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的長是： =2π．
故選C．
點評： 本題主要考查了切線的性質(zhì)定理以及弧長的計算公式，正確求得∠AOB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共6小題）
9．在邊長為1的3×3的方格中，點B、O都在格點上，則劣弧BC的長是 ．
考點： 弧長的計算．
分析： 根據(jù)網(wǎng)格得出BO的長，再利用弧長公式計算得出即可．
解答： 解：如圖所示：∠BOC=45°，BO=2 ，
∴劣弧BC的長是： = ．
故答案為： ．
點評： 此題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，熟練記憶弧長公式是解題關(guān)鍵．
10．已知扇形弧長為2π，半徑為3cm，則此扇形所對的圓心角為 120 度．
考點： 弧長的計算．
分析： 直接利用扇形弧長公式代入求出即可．
解答： 解：∵扇形弧長為2π，半徑為3cm，
∴l(xiāng)= =2π，即 =2π，
解得：n=120°，
∴ 此扇形所對的圓心角為：120°．
故答案為：120．
點評： 此題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，正確利用弧長公式是解題關(guān)鍵．
11．已知⊙A的半徑為5，圓心A（3，4），坐標(biāo)原點O與⊙A的位置關(guān)系是 在⊙A上 ．
考點： 點與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
分析： 先根據(jù)兩點間的距離公式計算出OA，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法判斷點O與⊙A的位置關(guān)系．
解答： 解：∵點A的坐標(biāo)為（4，3），
∴OA= =5，
∵半徑為5，
而5=5，
∴點O在⊙A上．
故答案為：在⊙A上．
點評： 本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，當(dāng)點P在圓外⇔d＞r；當(dāng)點P在圓上⇔d=r；當(dāng)點P在圓內(nèi)⇔d＜r．
12．如圖，⊙O的半徑OC=5cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A、B兩點，AB=8cm，則l沿OC所在直線向下平移 2 cm時與⊙O相切．
考點： 直線與圓的位置關(guān)系；垂徑定理．
分析： 根據(jù)直線和圓相切，則只需滿足OH=5．又由垂徑定理構(gòu)造直角三角形可求出此時OH的長，從而計算出平移的距離．
解答： 解：∵直線和圓相切時，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，HA= =4，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5?3=2cm．故答案為：2．
點評： 本題考查垂徑定理及直線和圓的位置關(guān)系．注意：直線和圓相切，則應(yīng)滿足d=R．
13．如圖，∠APB=30°，點O是射線PB上的一點，OP=5cm，若以點O為圓心，半徑為1.5cm的⊙O沿BP方向移動，當(dāng)⊙O與PA相切時，圓心O移動的距離為 2或8 cm．
考點： 直線與圓的位置關(guān)系．
分析： 首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由切線的性質(zhì)，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的長，繼而求得答案．
解答： 解：①如圖1，當(dāng)⊙O平移到⊙O′位置時，⊙O與PA相切時，且切點為C，
連接O′C，則O′C⊥PA，
即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°，O′C=1.5cm，
∴O′P=2O′C=3cm，
∵OP=5cm，
∴OO′=OP?O′P=2（cm）；
②如圖2：同理可得：O′P=3cm，
∴O′O=8cm．
故答案為：2或8．
點評： 此題考查了切線的性質(zhì)與含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
14．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點H，若∠D=30°，CH=1cm，則AB= 2 cm．
考點： 垂徑定理．
專題： 推理填空題．
分析： 連接AC、BC．利用圓周角定理知∠D=∠B，然后根據(jù)已知條件“CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點H”，利用垂徑定理知BH= AB；最后再由直角三角形CHB的正切函數(shù)求得BH的長度，從而求得AB的長度．
解答： 解：連接AC、BC．
∵∠D=∠B（同弧所對的圓周角相等），∠D=30° ，
∴∠B=30°；
又∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點H，
∴BH= AB；
在Rt△CHB中，∠B=30°，CH=1cm，
∴BH= ，即BH= ；
∴AB=2 cm．
故答案是：2 ．
點評： 本題考查了垂徑定理和直角三角形的性質(zhì)，解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進(jìn)行計算．
三．解答題（共10小題）
15．如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中點．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若BC=6 cm，求圖中陰影部分的面積．
考點： 圓周角定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；扇形面積的計算．
分析： （1）先由C是弧AB的中點可得出 = ，由圓周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形內(nèi)角和定理可知∠ACB=60°，故可得出結(jié)論；
（2）連接BO、OC，過O作OE⊥BC于E，由垂徑定理可得出BE的長，根據(jù)圓周角定理可得出∠BOC的度數(shù)，在Rt△BOE中由銳角三角函數(shù)的定義求出OB的長，根據(jù)S陰影=S扇形?S△BOC即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）△ABC是等邊三角形．
∵C是弧AB的中點，
∴ = ，
∴∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠ BDC=60°
∴∠ACB=60°，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形；
（2）連接BO、OC，過O作OE⊥BC于E，
∵BC=6 cm，
∴BE=EC=3 cm，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，在Rt△BOE中，sin60°= ，
∴OB=6cm，
∴S扇形= =12πcm2，
∵S△BOC= ×6 ×3=9 cm2，
∴S陰影=12π?9 cm2，
答：圖中陰影部分的面積是（12π?9 ）cm2．
點評： 本題考查的是圓周角定理、垂徑定理及扇形的面積等相關(guān)知識，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
16．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，以AD為直徑的⊙0與AB、AC兩邊分別交于點E、F．連接DE、DF．
（1）求證：BE=CF；
（2）若AD=BC=2 ．求ED的長．
考點： 圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．
分析： （1）根據(jù)等腰三角形“三合一”的性質(zhì)推知∠1=∠2．由“直徑所對的圓周角是直角”得到∠AED=∠AFD=90°．則根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）在直角△ABD中利用勾股定理求得斜邊AB的長度，然后根據(jù)面積法來求ED的長度．
解答： （1）證明：如圖，∵在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，
∴∠1=∠2．
又∵AD為直徑，
∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE =DF；
（2）如圖，∵在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，AD=BC=2 ．
∴BD=CD= BC= ．
∴由勾股定理得到AB= =5．
∵由（1）知DE⊥AB，
∴ AD•BD= AB•ED，
∴ED= = =2．
故ED的長為2．
點評： 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理．注意，勾股定理應(yīng)用于直角三角形中．
17．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與A，C重合），延長BD至E．
（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底邊BC邊上高為1，求△ABC外接圓的周長．
考點： 圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．
分析： （1）要證明AD的延長線平分∠CDE，即證明∠EDF=∠CDF，轉(zhuǎn)化為證明∠ADB=∠CDF，再根據(jù)A，B，C，D四點共圓的性質(zhì)，和等腰三角形角之間的關(guān)系即可得到．
（2）求△ABC外接圓的面積，只需解出圓半徑，故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過圓心，再連接OC，根據(jù)角之間的關(guān)系在三角形內(nèi)即可求得圓半徑，可得到外接圓面積．
解答： （1）證明：如圖，設(shè)F為AD延長線上一點，
∵A，B，C，D四點共圓，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF（對頂角相等），
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延長線平分∠CDE．
（2）解：設(shè)O為外接圓圓心，連接AO比延長交BC于H，連接OC，
∵AB=AC，
∴ = ，
∴AH⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB= ∠BAC= ×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
設(shè)圓半徑為r，
則OH=OC•cos30°= r，
∵△ABC中BC邊上的高為1，
∴AH=OA+OH=r+ r=1，
解得：r=2（2? ），
∴△ABC的外接圓的周長為：4π（2? ）．
點評： 此題主要考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外接圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
18．如圖，⊙O是△ABC的 外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）當(dāng)∠ODB=30°時，求證：BC=OD．
考點： 圓周角定理；含30度角的直角三角形；垂徑定理．
專題： 證明題；壓軸題．
分析： （1）由OD⊥AC OD為半徑，根據(jù)垂徑定理，即可得 = ，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可證得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度數(shù)，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度數(shù)，然后由AB是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠ACB=90°，繼而可證得BC=OD．
解答： 證明：（1）∵OD⊥AC OD為半徑，
∴ = ，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°?∠OEA?∠AOD=180°?90°?60°=30°，
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC= AB，
∵OD= AB，
∴BC=OD．
點評： 此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
19．如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E．
（1）求證：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE•AC，求證：CD=CB．
考點： 圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： （1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠B，又由對頂角相等，可證得：△ADE∽△BCE；
（2）由AD2=AE•AC，可得 ，又由∠A是公共角，可證得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直徑，以求得AC⊥BD，由垂徑定理即可證得CD=CB．
解答： 證明：（1）如圖，∵∠A與∠B是 對的圓周角，
∴∠A=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴△ADE∽△BCE；
（2）如圖，
∵AD2=AE•AC，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
即∠AED=90°，
∴直徑AC⊥BD，
∴ = ，
∴CD=CB．
點評： 此題考查了圓周角定理、垂徑定理一相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
20．如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過C作CD⊥AD于D，交AB的延長線于E．
（1）求證：CD為⊙O的切線．
（2）若 = ，求cos∠DAB ．
考點： 切線的判定；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）連接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據(jù)切線的判定判斷即可；
（2）連接BC，可證明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圓的直徑AB，再根據(jù)勾股定理得出CE，即可求出答案．
解答： （1）證明：連接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC為⊙O半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連接BC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵ = ，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴ = ，
= ，
∴BC= ，
由勾股定理得AB= ，
∴OC= ，
∵OC∥AD，
∴ = ，
∴ = ，
解得AE= ，
∴cos∠DAB= = = ．
點評： 本題考查了切線的判定以及角平分線的定義、勾股定理和解直角三角形，是中學(xué)階段的重點內(nèi)容．
21．如圖，AC=BC，∠C=90°，點E在AC上，點F在BC上，CE=CF，連結(jié)AF和BE，點O在BE上，⊙O經(jīng)過點B、F，交BE于點G．
（1）求證：△ACF≌△BCE；
（2）求證：AF是⊙O的切線．
考點： 切線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： （1）利用“SAS”證明△ACF≌△BCE；
（2）連結(jié)OF，如圖，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，由△ACF≌△BCE得到∠A=∠B，則∠B+∠AFC=90°，加上∠B=∠OFB，所以∠OFB+∠AFC=90°，則∠AFO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AF是⊙O的切線．
解答： 證明：（1）在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）連結(jié)OF，如圖，
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A=∠B，
而∠A+∠AFC= 90°，
∴∠B+∠AFC=90°，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切線．
點評： 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．
22．如圖，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圓，點P在直徑BD的延長線上，且AB=AP．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AB=2 ，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π和根號）
考點： 切線的判定；扇形面積的計算．
分析： （1）如圖，連接OA；證明∠OAP=90°，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面積，即可解決問題．
解答： 解：（1）如圖，連接OA；
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°?30°=90°，
∴PA是⊙O的切線．
（2）如圖，過點O作OM⊥AB，則AM=BM= ，
∵tan30°= ，sin30°= ，
∴OM=1，OA=2；
∴ = × ×1= ，
= ，
∴圖中陰影部分的面積= ．
點評： 該題主要考查了切線的判定、扇形的面積公式及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線；靈活運用圓周角定理及其推論、垂徑定理等幾何知識點來分析、判斷、解答．
23．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
考點： 扇形面積的計算；垂徑定理．
分析： （1）在△OCE中，利用三角函數(shù)即可求得CE，OE的長，再根據(jù)垂徑定理即可求得CD的長；
（2）根據(jù)半圓的面積減去△ABC的面積，即可求解．
解答： 解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，
∴OE= OC=1，
∴CE= OC= ，
∵OA⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD= ；
（2）∵S△ABC= AB•EC= ×4× =2 ，
∴ ．
點評： 本題主要考查了垂徑定理以及三角函數(shù)，一些不規(guī)則的圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和或差求解．
24．如圖，已知點A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四邊形ABCD的周長為15．
（1）求此圓的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．
考點： 扇形面積的計算；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．
分析： （1）根據(jù)條件可以證得四邊形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC，根據(jù)四邊形ABCD的周長為15，即可求得BC，即可得到圓的半徑；
（2）根據(jù)S陰影=S扇形AOD?S△AOD即可求解．
解答： 解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠DCB=180°?∠BAD=180°?120°=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠BDC=90°
∴BC是圓的直徑．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°
∴ = = ，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC．
∴BC+ BC=15，
解得：BC=6
故此圓的半徑為3．
（2）設(shè)BC的中點為O，由（1）可知O即為圓心．
連接OA，OD，過O作OE⊥AD于E．
在直角△AOE中，∠AOE=30°
∴OE=OA•cos30°=
S△AOD= ×3× = ．
∴S陰影=S扇形AOD?S△AOD= ? = ? = ．
點評： 本題主要考查了扇形的面積的計算，正確證得四邊形ABCD是等腰梯形，是解題的關(guān)鍵．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/270490.html
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