第27章相似
一、選擇題
1.如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中項(xiàng)，那么c=（ ）
A. B. C. D.
2.已知△ABC∽△DEF，面積比為9：4，則△ABC與△DEF的對(duì)應(yīng)邊之比為（ ）
A. 3：4 B. 2：3 C. 9：16 D. 3：2
3.已知△ABC∽△A′B′C′，sinA=m，sinA′=n，則m和n的大小關(guān)系為（ �。�
A. m＜n B. m＞n C. m=n D. 無(wú)法確定
4.已知△ABC∽△DEF，且相似比為2：3，則△ABC與△DEF的對(duì)應(yīng)高之比為（ �。�
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4
5.三角尺在燈泡 的照射下在墻上形成的影子如圖所示。若OA=20cm，OA′=50cm ， 則這個(gè)三角尺的周長(zhǎng)與它在墻上形成的影子的周長(zhǎng)的比是（ ）
A. 5：2 B. 2：5 C. 4：25 D. 25：4
6.如圖，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，則△ADE與△ABC的相似比是（ ）．
A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 3：2
7.如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖中三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（ ）
A. B. C. D.
8.如圖，直線l1∥l2∥l3 ， 直線AC分別交l1、l2、l3與點(diǎn)A、B、C，直線DF分別交l1、l2、l3與點(diǎn)D、E、F，AC與DF相交于點(diǎn)H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么 的值等于（ ）
A. B. C. D.
9.如圖，矩形AEHC是由三個(gè)全等矩形拼成的，AH與BE、BF、DF、DG、CG分別交于點(diǎn)P、Q、K、M、N，設(shè)△BPQ, △DKM, △CNH 的面積依次為S1 ， S2 ， S3。若S1+ S3=20，則S2的值為 ( )
A. 8 B. 10 C. 12 D.
10.如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，CD=6，BD=4，則AB的長(zhǎng)為（ �。�
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
11.如圖，∠1=∠2，則下列各式不能說(shuō)明△ABC∽△ADE的是（ ）
A. ∠D=∠B B. ∠E=∠C C. D.
12.如圖，小李打網(wǎng)球時(shí)，球恰好打過(guò)網(wǎng)，且落在離網(wǎng)4m的位置上，則球拍擊球的高度h為（）
A. 0.6m B. 1.2m C. 1.3m D. 1.4m
二、填空題
13.在一張復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)多邊形的一條邊由原圖中的2cm變成了6cm，這次復(fù)印的放縮比例是________ ．
14.已知線段a=2cm，b=8cm，那么線段a和b的比例中項(xiàng)為________ cm．
15. 已知△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B為位似中心，畫出與△ABC相似（與圖形同向），且相似比是3的三角形，它的三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 ________．
16.如圖，直線l1∥l2∥l3 ， 直線AC分別交l1、l2、l3于點(diǎn)A、B、C；過(guò)點(diǎn)B的直線DE分別交l1、l3于點(diǎn)D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，則線段BE的長(zhǎng)為________ ．
17.如圖，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D為AC上一點(diǎn)，DC= AC．在AB上取一點(diǎn)E得△ADE．若圖中兩個(gè)三角形相似，則DE的長(zhǎng)是________ ．
18.在比例尺為1：6000的地圖上，圖上尺寸為1cm×2cm的矩形操場(chǎng)，實(shí)際尺寸為________．
19.已知△ABC中的三邊a=2，b=4，c=3，ha ， hb ， hc分別為a，b，c上的高，則ha：hb：hc=________．
20.有一張矩形風(fēng)景畫，長(zhǎng)為90cm，寬為60cm，現(xiàn)對(duì)該風(fēng)景畫進(jìn)行裝裱，得到一個(gè)新的矩形，要求其長(zhǎng)、寬之比與原風(fēng)景畫的長(zhǎng)、寬之比相同，且面積比原風(fēng)景畫的面積大44%．若裝裱后的矩形的上、下邊襯的寬都為acm，左、右邊襯的寬都為bcm，那么ab=________ cm2
21.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=6，則AE=________．
22. 勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉．生活中到處可見黃金分割的美．如圖，線段AB=1，點(diǎn)P1是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP1＜BP1），點(diǎn)P2是線段AP1的黃金分割點(diǎn)（AP2＜P1P2），點(diǎn)P3是線段AP2的黃金分割點(diǎn)（AP3＜P2P3），…，依此類推，則APn的長(zhǎng)度是________．
三、解答題（共3題；共15分）
23.如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G
（1）求證：△AMF∽△BGM；
（2）連接FG，如果α=45°，AB=4 ， BG=3，求FG的長(zhǎng)．
24.如圖，學(xué)校旗桿附近有一斜坡，小明準(zhǔn)備測(cè)量旗桿AB的高度，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)斜坡正對(duì)著太陽(yáng)時(shí)，旗桿AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此時(shí)小明測(cè)得水平地面上的影子長(zhǎng)BC=20米，斜坡坡面上的影子CD=8米，太陽(yáng)光AD與水平地面BC成30°角，斜坡CD與水平地面BC成45°的角，求旗桿AB的高度．（ =1.732， =1.414， =2.449，精確到1米）．
25.又到了一年中的春游季節(jié)．某班學(xué)生利用周末去參觀“三軍會(huì)師紀(jì)念塔”．下面是兩位同學(xué)的一段對(duì)話：
甲：我站在此處看塔頂仰角為60°；
乙：我站在此處看塔頂仰角為30°；
甲：我們的身高都是1.6m；
乙：我們相距36m．
請(qǐng)你根據(jù)兩位同學(xué)的對(duì)話，計(jì)算紀(jì)念塔的高度．（精確到1米）
26. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且 ．
（1）求證：△ADF∽△ACG；
（2）若 ，求 的值．
27. 如圖①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B?A?C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x s時(shí)，△PBC的面積為y cm2 ． 已知y與x的函數(shù)圖象如圖②所示．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）試判斷△DOE的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，△DOE與△ABC相似？
參考答案
一、選擇題
C D C A B B B D A D D D
二、填空題
13. 1：3
14. 4
15. （?6，0）、（3，3）、（0，?3）
16. 3
17. 6或8
18. 60m×120m
19. 6：3：4
20. 54
21. 2
22.
三、解答題
23. 證明：（1）∵∠DME=∠A=∠B=α，
∴∠AMF+∠BMG=180°?α，
∵∠A+∠AMF+∠AFM=180°，
∴∠AMF+∠AFM=180°?α，
∴∠AFM=∠BMG，
∴△AMF∽△BGM；
（2）解：當(dāng)α=45°時(shí)，可得AC⊥BC且AC=BC，
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴AM=BM=2 ，
∵△AMF∽△BGM，
∴ ，
∴AF= = = ，AC=BC=4 •cos45°=4，
∴CF=AC?AF=4? = ，CG=BC?BG=4?3=1，
∴FG= = = ．
24. 解：延長(zhǎng)AD交BC于E點(diǎn)，則∠AEB=30°，
作DQ⊥BC于Q，
在Rt△DCQ中，∠DCQ=45°，DC=8，
∴DQ=QC=8sin45°=8× =4 ，
在Rt△DQE中，QE= ≈9.8（米）
∴BE=BC+CQ+QE≈35.5（米）
在Rt△ABE中，AB=BEtan30°≈20（米）
答：旗桿的高度約為20米．
25. 解：如圖，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，
在Rt△AHF中，∵tan∠AFH= ，
∴FH= ，
在Rt△ADH中，∵tan∠ADH= ，
∴DH= ，
而DH?FH=DF，
∴ ? =36，即 ? =36，
∴AH=18 ，
∴AB=AH+BH=18 +1.6≈33（m）．
答：紀(jì)念塔的高度約為33m．
26. （1）證明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵ ，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ =1．
27. （1）解：△DOE是等腰三角形． 理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，
∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，
∴AM= × = a，AC=AB= a，
∴S△ABC= BC•AM= a2 ，
∴P在邊AB上時(shí)，
y= •S△ABC= ax，
P在邊AC上時(shí)，
y= •S△ABC= a2? ax，
作DF⊥OE于F，
∵AB=AC，點(diǎn)P以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)P在邊AB和AC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，
∴點(diǎn)F是OE的中點(diǎn)，
∴DF是OE的垂直平分線，
∴DO=DE，
∴△DOE是等腰三角形
（2）解：由題意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°， ∴AM= × = a，
∴AB= a，
∴D（ a， a2），
∵DO=DE，AB=AC，
∴當(dāng)且僅當(dāng)∠DOE=∠ABC時(shí)，△DOE∽△ABC，
在Rt△DOF中，tan∠DOF= = = a，
由 a=tan30°= ，得a= ，
∴當(dāng)a= 時(shí)，△DOE∽△ABC．
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