2018年四川省成都市青羊區(qū)中考數(shù)學(xué)二診試卷
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.(3分)?8的絕對(duì)值是( 。
A.?8 B.8 C.? D.
2.(3分)如圖,正三棱柱的主視圖為( 。
A. B. C. D.
3.(3分)成都第三繞城高速公路,主線起于蒲江境內(nèi)的城雅高速公路,途經(jīng)成都市14個(gè)區(qū)縣,閉合于起點(diǎn),串聯(lián)起整個(gè)成都經(jīng)濟(jì)區(qū).項(xiàng)目全長(zhǎng)459公里,設(shè)計(jì)速度120公里/小時(shí),總投資119000000元,用科學(xué)記數(shù)法表示總投資為( )
A.119×106 B.1.19×107 C.1.19×108 D.1.19×109
4.(3分)某班派9名同學(xué)參加紅五月歌詠比賽,他們的身高分別是(單位:厘米):167,159,161,159,163,157,170,159,165.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( 。
A.159,163 B.157,161 C.159,159 D.159,161
5.(3分)如圖,在▱ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,添加下列條件不能判定▱ABCD是菱形的只有( 。
A.AC⊥BD B.AB=BC C.AC=BD D.∠1=∠2
6.(3分)將拋物線y=?2x2+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的拋物線解析式為( 。
A.y=?2(x+1)2 B.y=?2(x+1)2+2 C.y=?2(x?1)2+2 D.y=?2(x?1)2+1
7.(3分)如圖,將矩形紙片ABCD沿BD折疊,得到△BC′D,C′D與AB交于點(diǎn)E.若∠1=35°,則∠2的度數(shù)為( 。
A.20° B.30° C.35° D.55°
8.(3分)如圖,已知直線a∥b∥c,分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,則BF的長(zhǎng)為( 。
A. B. C.6 D.
9.(3分)已知:如圖,在⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,則∠ADC的度數(shù)為( )
A.30° B.35° C.45° D.70°
10.(3分)一次函數(shù)y=?3x+b和y=kx+1的圖象如圖所示,其交點(diǎn)為P(3,4),則不等式kx+1≥?3x+b的解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填寫在答題卡上)
11.(4分)分解因式:mn2?2mn+m= 。
12.(4分)如圖,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn)D,若BD=BC,則∠A= 度.
13.(4分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(2,?1)、(3,0),以原點(diǎn)O為位似中心,把線段AB放大,點(diǎn)B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(6,0),則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 。
14.(4分)如圖,PA與⊙O相切,切點(diǎn)為A,PO交⊙O于點(diǎn)C,點(diǎn)B是優(yōu)弧CBA上一點(diǎn),若∠ABC=32°,則∠P的度數(shù)為 。
三、解答題(本大題共6小題,共計(jì)54分)
15.(12分)(1)計(jì)算|? |+ ×( )?1?2cos45°?(π?1)0
(2)解分式方程: ?3=
16.(6分)先化簡(jiǎn),再求代數(shù)式 ? ÷ 的值,其中a= ?2.
17.(8分)某校舉辦“漢字聽寫”大賽,現(xiàn)要從A、B兩位男生和C、D兩位女生中,選派學(xué)生代表本班參加大賽.
(1)如果隨機(jī)選派一位學(xué)生參賽,那么四人中選派到男生B的概率是 ;
(2)如果隨機(jī)選派兩位學(xué)生參賽,求四人中恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率.
18.(8分)如圖,在教學(xué)樓距地面8米高的窗口中C處,測(cè)得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°,旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°,升旗時(shí),國(guó)旗上端懸掛在距地面2米處.若國(guó)旗隨國(guó)歌聲冉冉升起,并在國(guó)歌播放40秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端,則國(guó)旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升?
(參考數(shù) 據(jù)sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
19.(10分)如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限交于點(diǎn)A(8,6),與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,且OA=OB.
(1)求函數(shù)y=kx+b和y= 的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)C(0,10),試在該一次函數(shù)圖象上確定一點(diǎn)M,使得MB=MC,求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
20.(10分)如圖,點(diǎn)A、B、C、D是直徑為AB的⊙O上的四個(gè)點(diǎn),CD=BC,AC與BD交于點(diǎn)E.
(1)求證:DC2=CE•AC;
(2)若AE=2EC,求 之值;
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)C作⊙O的切線,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,若S△ACH=9 ,求EC之長(zhǎng).
四、填空題(本大題共5小題,每小題4分,共計(jì)20分)
21.(4分)若 +b2+2b+1=0,則|a2+ ?|b|= 。
22.(4分)今年5月份有關(guān)部門對(duì)計(jì)劃去上海迪士尼樂園的部分市民的前往方式進(jìn)行調(diào)查,圖1和圖2是收集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中提供的信息,那么本次調(diào)查的對(duì)象中選擇公交前往的人數(shù)是 .
23.(4分)在一條筆直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B兩地之間,甲,乙兩車分別從A,B兩地出發(fā),沿這條公路勻速行駛至C地停止.從甲車出發(fā)至甲車到達(dá)C地的過程,甲、乙兩車各自與C地的距離y(km)與甲車行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖表示,當(dāng)甲車出發(fā) h時(shí),兩車相距350km.
24.(4分)如圖所示,⊙O是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,4為半徑的圓,點(diǎn)P的坐標(biāo)為( , ),弦AB經(jīng)過點(diǎn)P,則圖中陰影部分面積的最小值= 。
25.(4分)如圖,已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.另一組對(duì)邊AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,若cos∠ABC=cos∠ADC= ,CD=5,CF=ED=n,則AD的長(zhǎng)為 。ㄓ煤琻的式子表示).
五、解答題(本大題共3小題,共計(jì)30分)
2 6.(8分)某商店經(jīng)銷一種空氣凈化器,每臺(tái)凈化器的成本價(jià)為200元,經(jīng)過一段時(shí)間的銷售發(fā)現(xiàn),每月的銷售量y(臺(tái))與銷售單價(jià)x(元)的關(guān)系為y=?2x+800.
(1)該商店每月的利潤(rùn)為W元,寫出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若要使每月的利潤(rùn)為20000元,銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?
(3)商店要求銷售單價(jià)不低于280元,也不高于350元,求該商店每月的最高利潤(rùn)和最低利潤(rùn)分別為多少?
27.(10分)在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,M是AD邊的中點(diǎn),P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),PM的延長(zhǎng)線交射線CD于Q點(diǎn),MN⊥PQ交射線BC于N點(diǎn).
(1)若點(diǎn)N在BC邊上時(shí),如圖:
①求證:∠NPQ=∠PQN;
②請(qǐng)問 是否為定值?若是定值,求出該定值;若不是,請(qǐng)舉反例說明;
(2)當(dāng)△PBN與△NCQ的面積相等時(shí),求AP的值.
28.(12分)已知點(diǎn)A(?2,2),B(8,12)在拋物線y=ax2+bx上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,m)(m>4),直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G,過點(diǎn)G作x軸的垂線,垂足為H,設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E.連接FH、AE,求 之值(用含m的代數(shù)式表示)
(3)如圖2,直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度,同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā),沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí),QM=3PM,求t的值.
2018年四川省成都市青羊區(qū)中考數(shù)學(xué)二診試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.(3分)?8的絕對(duì)值是( )
A.?8 B.8 C.? D.
【解答】解:?8的絕對(duì)值是8.
故選:B.
2.(3分)如圖,正三棱柱的主視圖為( 。
A. B. C. D.
【解答】解:正三棱柱的主視圖是矩形,主視圖中間有豎著的實(shí)線.
故選:B.
3.(3分)成都第三繞城高速公路,主線起于蒲江境內(nèi)的城雅高速公路,途經(jīng)成都市14 個(gè)區(qū)縣,閉合于起點(diǎn),串聯(lián)起整個(gè)成都經(jīng)濟(jì)區(qū).項(xiàng)目全長(zhǎng)459公里,設(shè)計(jì)速度120公里/小時(shí),總投資119000000元,用科學(xué)記數(shù)法表示總投資為( 。
A.119×106 B.1.19×107 C.1.19×108 D.1.19×109
【解答】解:將119000000用科學(xué)記數(shù)法表示為:1.19×108.
故選:C.
4.(3分)某班派9名同學(xué)參加紅五月歌詠比賽,他們的身高分別是(單位:厘米):167,159,161,159,163,157,170,159,165.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.159,163 B.157,161 C.159,159 D.159,161
【解答】解:這組數(shù)據(jù)按順序排列為:157,159,159,159,161,163,165,167,170,
故眾數(shù)為:159,
中位數(shù)為:161.
故選:D.
5.(3分)如圖,在▱ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,添加下列條件不能判定▱ABCD是菱形的只有( 。
A.AC⊥BD B.AB=BC C.AC=BD D.∠1=∠2
【解答】解:A、正確.對(duì)角線垂直的平行四邊形的菱形.
B、正確.鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
C、錯(cuò)誤.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形,不一定是菱形.
D、正確.可以證明平行四邊形ABCD的鄰邊相等,即可判定是菱形.
故選:C.
6.(3分)將拋物線y=?2x2+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的拋物線解析式為( 。
A.y=?2(x+1)2 B.y=?2(x+1)2+2 C.y=?2(x?1)2+2 D.y=?2(x?1)2+1
【解答】解:∵拋物線y=?2x2+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,
∴平移后解析式為:y=?2(x?1)2+1,
∴再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的拋物線解析式為:y=?2(x?1)2+2.
故選:C.
7.(3分)如圖,將矩形紙片ABCD沿BD折疊,得到△BC′D,C′D與AB交于點(diǎn)E.若∠1=35°,則∠2的度數(shù)為( )
A.20° B.30° C.35° D.55°
【解答】解:∵∠1=35°,CD∥AB,
∴∠ABD=35°,∠DBC=55°,
由折疊可得∠DBC'=∠DBC=55°,
∴∠2=∠DBC'?∠DBA=55°?35°=20°,
故選:A.
8.(3分)如圖,已知直線a∥b∥c,分別交直線m、n于點(diǎn)A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3 ,則BF的長(zhǎng)為( )
A. B. C.6 D.
【解答】解:∵a∥b∥c,
∴ ,
∵AC=4,CE=6,BD=3,
∴ ,
解得:DF= ,
∴BF=BD+DF=3+ = .
故選:B.
9.(3分)已知:如圖,在⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,則∠ADC的度數(shù)為( 。
A.30° B.35° C.45° D.70°
【解答】解:∵OA⊥BC,∠AOB=70°,
∴ = ,
∴∠ADC= ∠AOB=35°.
故選:B.
10.(3分)一次函數(shù)y=?3x+b和y=kx+1的圖象如圖所示,其交點(diǎn)為P(3,4),則不等式kx+1≥?3x+b的解集在數(shù)軸上表示正確的是( 。
A. B. C. D.
【解答】解:∵一次函數(shù)y=?3x+b和y=kx+1的圖象交點(diǎn)為P(3,4),
∴當(dāng)x≥3時(shí),kx+1≥?3x+b,
∴不等式kx+1≥?3x+b的解集為x≥3,
在數(shù)軸上表示為:
故選:B.
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填寫在答題卡上)
11.(4分)分解因式:mn2?2mn+m= m(n?1)2。
【解答】解:原式=m(n2?2n+1)=m(n?1)2,
故答案為:m(n?1)2
12.(4分)如圖,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn)D,若BD=BC,則∠A= 36 度.
【解答】解:設(shè)∠ABD=x°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=x°,
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=2x°,
又∵BD=BC,
∴∠BDC=∠C=2x°,
又∵∠BDC=∠A+∠ABD,即2x°=∠A+x°,
∴∠A=x°,
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180,
解得x=36,
∴∠A=36°,
故答案為36.
13.(4分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(2,?1)、(3,0),以原點(diǎn)O為位似中心,把線段AB放大,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(6,0),則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為。4,?2)。
【解答】解:∵以原點(diǎn)O為位似中心,B(3,0)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(6,0),
∴相似比為2,
∵A(2,?1),
∴點(diǎn)A′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為:(4,?2),
故答案為:(4,?2).
14.(4分)如圖,PA與⊙O相切,切點(diǎn)為A,PO交⊙O于點(diǎn)C,點(diǎn)B是優(yōu)弧CBA上一點(diǎn),若∠ABC=32°,則∠P的度數(shù)為 26°。
【解答】解:連接OA.
∴∠PAO=90°,
∵∠O=2∠B=64°,
∴∠P=90°?64°=26°.
故答案為:26°.
三、解答題(本大題共6小題,共計(jì)54分)
15.(12分)(1)計(jì)算|? |+ ×( )?1?2cos45°?(π?1)0
(2)解分式方程: ?3=
【解答】解:(1)原式= +3×2?2× ?1=5;
(2)去分母得:1?3x+6=1?x,
解得:x=3,
經(jīng)檢驗(yàn)x=3是分式方程的解.
16.(6分)先化簡(jiǎn),再求代數(shù)式 ? ÷ 的值,其中a= ?2.
【解答】解: ? ÷
=
=
=
= ,
當(dāng)a= ?2時(shí),原式= .
17.(8分)某校舉辦“漢字聽寫”大賽,現(xiàn)要從A、B兩位男生和C、D兩位女生中,選派學(xué)生代表本班參加大賽.
(1)如果隨機(jī)選派一位學(xué)生參賽,那么四人中選派到男生B的概率是 ;
(2)如果隨機(jī)選派兩位學(xué)生參賽,求四人中恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率.
【解答】解:(1)∵從A、B兩位男生和D、D兩位女生中,選派學(xué)生代表本班參加大賽,
∴四人中選派到男生B的概率是 :
故答案為: ;
(2)畫樹狀圖得:
∵共有12種等可能的結(jié)果,恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的有8種情況,
.∴P(一男一女)= = .
18.(8分)如圖,在教學(xué)樓距地面8米高的窗口中C處,測(cè)得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°,旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°,升旗時(shí),國(guó)旗上端懸掛在距地面2米處.若國(guó)旗隨國(guó)歌聲冉冉升起,并在國(guó)歌播放40秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端,則國(guó)旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升?
(參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
【解答】解:在Rt△BCD中,BD=8米,∠BCD=45°,則BD=CD=8米.
在Rt△ACD中,CD=8米,∠ACD=37°,則AD=CD•tan37°≈8×0.75=6(米).
所以,AB=AD+BD=14米,
整個(gè)過程中旗子上升高度是:14?2=12(米),
因?yàn)楹臅r(shí)40s,
所以上升速度v=12÷40=0.3(米/秒).
答:國(guó)旗應(yīng)以0.3米/秒的速度勻速上升.
19.(10分)如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限交于點(diǎn)A(8,6),與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,且OA=OB.
(1)求函數(shù)y=kx+b和y= 的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)C(0,10),試在該一次函數(shù)圖象上確定一點(diǎn)M,使得MB=MC,求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
【解答】解:(1)把點(diǎn)A(8,6)代入函數(shù)y= 得:a=8×6=48,
∴y= .
OA= =10,
∵OA=OB,
∴OB=10,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,?10),
把B(0,?10),A(8,6)代入y=kx+b得:
解得:
∴y=2x?10;
(2)∵點(diǎn)M在一次函數(shù)y=2x?10上,
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,2x?10),
∵M(jìn)B=MC,
∴ =
解得:x=5,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,0).
20.(10分)如圖,點(diǎn)A、B、C、D是直徑為AB的⊙O上的四個(gè)點(diǎn),CD=BC,AC與BD交于點(diǎn)E.
(1)求證:DC2=CE•AC;
(2)若AE=2EC,求 之值;
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)C作⊙O的切線,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,若S△ACH=9 ,求EC之長(zhǎng).
【解答】解:(1)如圖1,
∵CD=BC,
∴ ,
∴∠BDC=∠DAC,
∵∠DCE=∠ACD,
∴△CDE∽△CAD,
∴ ,
∴CD2=CE•AC;
(2)設(shè)CE=x,
∵AE=2CE,
∴AE=2x,
∴AC=AE+CE=3x,
由(1)知,CD2=CE•AC,
∴CD2=x×3x=3x2,
∴CD= x,
∴BC=CD= x,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
根據(jù)勾股定理得,AB= =2 x,
∴OA=OB= AB= x,
∴OB=OC=BC,
∴△BOC是等邊三角形,
∵ ,∴
O C⊥BE,
∴OE= OB= x,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°=∠OEB,
∴OE∥AD,
∵OA=OB,
∴AD=2OE= x,
∴ = =1;
(3)由(2)知,△BOC是等邊三角形,
∴∠BOC=60°,
∵CH是⊙O的切線,
∴∠OCH=90°,
∴∠CHO=30°,
∴OH=2OC,
∵OH=OB+BH=OC+BH,
∴OB=BH,
∴OA=OB=BH,
∴S△ACH=3S△BOC=9 ,
∴S△BOC=3 ,
∵S△BOC= OB2= ×( x)2=3 ,
∴x=?2(舍)或x=2,
∴EC=2.
四、填空題(本大題共5小題,每小題4分,共計(jì)20分)
21.(4分)若 +b2+2b+1=0,則|a2+ ?|b|= 6。
【解答】解:∵ +b2+2b+1=0,
∴a2?3a+1=0,b2+2b+1=0,
∴a2+1=3a,(b?1)2=0,
∴a+ =3,b=1,
∴|a2+ ?b|=|(a+ )2?2?b|=|9?2?1|=6,
故答案為:6.
22.(4分)今年5月份有關(guān)部門對(duì)計(jì)劃去上海迪士尼樂園的部分市民的前往方式進(jìn)行調(diào)查,圖1和圖2是收集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中提供的信息,那么本次調(diào)查的對(duì)象中選擇公交前往的人數(shù)是 6000。
【解答】解:由題意,得
4800÷40%=12000,
公交12000×50%=6000,
故答案為:6000.
23.(4分)在一條筆直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B兩地之間,甲,乙兩車分別從A,B兩地出發(fā),沿這條公路勻速行駛至C地停止.從甲車出發(fā)至甲車到達(dá)C地的過程,甲、乙兩車各自與C地的距離y(km)與甲車行駛時(shí)間t(h)之間 的函數(shù)關(guān)系如圖表示,當(dāng)甲車出發(fā) h時(shí),兩車相距350km.
【解答】解:由題意,得
AC=BC=240km,
甲的速度240÷4=60km/h,乙的速度240÷3=80km/h.
設(shè)甲出發(fā)x小時(shí)甲乙相距350km,由題意,得
60x+80(x?1)+350=240×2,
解得x= ,
答:甲車出發(fā) h時(shí),兩車相距350km,
故答案為: .
24.(4分)如圖所示,⊙O是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,4為半徑的圓,點(diǎn)P的坐標(biāo)為( , ),弦AB經(jīng)過點(diǎn)P,則圖中陰影部分面積的最小值= .
【解答】解:由題意當(dāng)OP⊥AB時(shí),陰影部分的面積最小,
∵P( , ),
∴OP=2,∵OA=OB=4,
∴PA=PB=2 ,
∴tan∠AOP=tan∠BOP= ,
∴∠AOP=∠BOP=60°,
∴∠AOB=120°,
∴S陰=S扇形OAB?S△AOB= ? ,
故答案為: .
25.(4分)如圖,已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.另一組對(duì)邊AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,若cos∠ABC=cos∠ADC= ,CD=5,CF=ED=n,則AD的長(zhǎng)為 。ㄓ煤琻的式子表示).
【解答】解:過C作CH⊥AD于H ,
∵cos∠ADC= ,CD=5,
∴DH=3,
∴CH=4,
∴tan∠E= = ,
過A作AG⊥CD于G,設(shè)AD=5a,則DG=3a,AG=4a,
∴FG=DF?DG=5+n?3a,
∵CH⊥AD,AG⊥DF,
∵∠CHE=∠AGF=90°,
∵∠ADC=∠ABC,
∴∠EDC=∠CBF,
∵∠DCE=∠BCF,
∴∠E=∠F,
∴△AFG∽△CEH,
∴ ,
∴ ,
∴a= ,
∴AD=5a= ,
故答案為: .
五、解答題(本大題共3小題,共計(jì)30分)
26.(8分)某商店經(jīng)銷一種空氣凈化器,每臺(tái)凈化器的成本價(jià)為200元,經(jīng)過一段時(shí)間的銷售發(fā)現(xiàn),每月的銷售量y(臺(tái))與銷售單價(jià)x(元)的關(guān)系為y=?2x+800.
(1)該商店每月的利潤(rùn)為W元,寫出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若要使每月的利潤(rùn)為20000元,銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?
(3)商店要求銷售單價(jià)不低于280元,也不高于350元,求該商店每月的最高利潤(rùn)和最低利潤(rùn)分別為多少?
【解答】解:(1)由題意得:
w=(x?200)y
=(x?200)(?2x+800)
=?2x2+1200x?160000;
(2)令w=?2x2+1200x?160000=20000,
解得:x1=x2=300,
故要使每月的利潤(rùn)為20000元,銷售單價(jià)應(yīng)定為300元;
(3)w= ?2x2+1200x?160000=?2(x?300)2+20000,
當(dāng)x=300時(shí),w=20000(元);
當(dāng)x=350時(shí),w=15000(元),
故最高利潤(rùn)為20000元,最低利潤(rùn)為15000元.
27.(10分)在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,M是AD邊的中點(diǎn),P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),PM的延長(zhǎng)線交射線CD于Q點(diǎn),MN⊥PQ交射線BC于N點(diǎn).
(1)若點(diǎn)N在BC邊上時(shí),如圖:
①求證:∠NPQ=∠PQN;
②請(qǐng)問 是否為定 值?若是定值,求出該定值;若不是,請(qǐng)舉反例說明;
(2)當(dāng)△PBN與△NCQ的面積相等時(shí),求AP的值.
【解答】解:(1)①∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°.AB∥CD,AD∥BC.
∴∠A=∠ADQ,∠APM=∠DQM.
∵M(jìn)是AD邊的中點(diǎn),
∴AM=DM.
在△APM和△QDM中
,
∴△APM≌△QDM(AAS),
∴PM=QM.
∵M(jìn)N⊥PQ,
∴MN是線段PQ的垂直平分線,
∴PN=QN,
∴∠NPQ=∠PQN;
② = 是定值
理由:作ME⊥BC于E,
∴∠MEN=∠MEB=90°,∠AME=90°,
∴四邊形ABEM是矩形,∠MEN=∠MAP,
∴AB=EM.
∵M(jìn)N⊥PQ
∴∠PMN=90°,
∴∠PMN=∠AME,
∴∠PMN?∠PME=∠AME?∠PME,
∴∠EMN=∠AMP,
∴△AMP∽△EMN,
∴ ,
∴ .
∵AD=12,M是AD邊的中點(diǎn),
∴AM= AD=6.
∵AB=8,
∴ .
在Rt△PMN中,設(shè)PM=3a,MN=4a,由勾股定理,得
PN=5a,
∴ ;
(2)如圖2,作BF⊥PN于F,CG⊥QN于G,作中線BS、CT,
∴∠BFS=∠CGT=90°,BS= PN,CT= QN,
∵PN=QN,S△PBN=S△NCQ,
∴BF=CG,BS=CT.
在Rt△BFS和Rt△CGT中
,
∴Rt△BFS≌Rt△CGT(HL),
∴∠BSF=∠CTG
∴∠BNP= ∠BSF= ∠CTG=∠CQN,
即∠BNP=∠CQN.
在△PBN和△QCN中
,
∴△PBN≌△NCQ
∴BN=CQ,
∴設(shè)AP=x.則BP=8?x,QC=8+x,
則CN=12?(8+x)=4?x,
∵8?x≠4?x,
∴不合題意,舍去;
如圖3,作BF⊥PN于F,CG⊥QN于G,作中線BS、CT,
∴∠BFS=∠CGT=90°,BS= PN,CT= QN,
∵PN=QN,S△PBN=S△NCQ,
∴BF=CG,BS=CT.
在Rt△BFS和Rt△CGT中
,
∴Rt△BFS≌Rt△CGT(HL),
∴∠BSF=∠CTG
∴∠BNP= ∠BSF= ∠CTG=∠CQN,
即∠BNP=∠CQN.
在△PBN和△QCN中
,
∴△PBN≌△QCN
∴PB=NC,BN=CQ.
∵AP=DQ
∴AP+BP=AB=8,AP+8=DQ+CD=BC+CN=12+BP
∴AP?BP=4
∴2AP=12
∴AP=6.
28.(12分)已知點(diǎn)A(?2,2),B(8,12)在拋物線y=ax2+bx上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,m)(m>4),直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G,過點(diǎn)G作x軸的垂線,垂足為H,設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E.連接FH、AE,求 之值(用含m的代數(shù)式表示)
(3)如圖2,直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度,同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā),沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí),QM=3PM,求t的值.
【解答】解:(1)將A(?2,2)、B(8,12)代入y=ax2+bx,得:
,解得: ,
∴拋物線的解析式為y= x2? x.
(2)設(shè)直線AF的解析式為y=kx+c(k≠0),
將A(?2,2)、F(0,m)代入y=kx+c,得:
,解得: ,
∴直線AF的解析式為y= +m.
聯(lián)立直線AF與拋物線解析式成方程組,得:
,解得: , ,
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2m,m2?m),點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2m,0).
當(dāng)y=0時(shí),有 x2? x=0,
解得:x=0或x=2,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,0).
∵A(?2,2),E(2,0),F(xiàn) (0,m),H(2m,0),
∴AE= =2 ,F(xiàn)H= = m,
∴ = .
(3)∵A(?2,2),B(8,12),
∴直線AB的解析式為y=x+4(利用待定系數(shù)法求出),
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(?4,0).
∵點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度,同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā),沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,
∴運(yùn)動(dòng)t秒后,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?4+t,t),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t,0).
如圖2,過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G,則NQ=4.
∵∠PQN=∠MQG,
∴△PQN∽△MQG.
①當(dāng)點(diǎn)M在線段PQ內(nèi)時(shí),有 = = = = ,
∴MG= PN= t,GQ= NQ=3,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t?3, t),
∵點(diǎn)M在拋物線y= x2? x上,
∴ t= (t?3)2? (t?3),
解得:t1= ,t2= ;
②當(dāng)點(diǎn)M在線段PQ外時(shí),有 = = = = ,
∴MG= PN= t,GQ= NQ= ,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t? , t),
∵點(diǎn)M在拋物線y= x2? x上,
∴ t= (t? )2? (t? ),
解得:t3= ,t4= .
綜上所述:當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 秒或 秒或 秒或 秒時(shí),QM=3PM,
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