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高三數(shù)學(xué)章末綜合測試題(13)立體幾何(1)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍,母線長為3,圓臺(tái)的側(cè)面積為84π,則圓臺(tái)較小底面的半徑為( )
A.7 B.6 C.5 D.3
解析 A 依題意,設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為r、3r,則有π(r+3r)•3=84π,解得r=7.
2.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn),F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且CFCB=CGCD=23,則( )
A.EF與GH平行
B.EF與GH異面
C.EF與 GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上,也可能不在直線AC上
D.EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上
解析 D 依題意,可得EH∥BD,F(xiàn)G∥BD,故EH∥FG,所以E、F、G、H共面.因?yàn)镋H=12BD,F(xiàn)G=23BD,故EH≠FG,所以EFGH是梯形,EF與GH必相交,設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上,故點(diǎn)M在平面ACB上.同理,點(diǎn)M在平面ACD上,即點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn),而AC是這兩個(gè)平面的交線,所 以點(diǎn)M一定在AC上.
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k=( )
A.1 B.15 C.35 D.75
解析 D k a+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=
(3,2,-2),∵兩向量垂直,∴3(k-1)+2k-2×2=0,∴k=75.
4.已知直線m、n和平面α,在下列給定的四個(gè)結(jié)論中,m∥n的一個(gè)必要但不充分條件是( )
A.m∥α,n∥α B.m⊥α,n⊥α
C.m∥α,n⊂α D.m、n與 α所成的角相等
解析 D 對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)m∥α,n∥α?xí)r,直線m、n可以是平行、相交或異面 ;而當(dāng)m∥n時(shí),m、n與α的關(guān)系不確定,故選項(xiàng)A是m∥n的既不充分也不必要條件;選項(xiàng)B是m∥n的充分不必要條件;選項(xiàng)C是m∥n的既不充分也不必要條件;對(duì)于選項(xiàng)D,由m∥n可以得到m、n與α所成的角相等,但是m、n與α所成的角相等得不到m∥n.故選項(xiàng)D符合題意.
5.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖(主視圖的弧線是半圓),根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù),這個(gè)幾何體的體積是( )
A.288+36π
B.60π
C.288+72π
D.288+18π
解析 A 依題意得,該幾何體是由一個(gè)長方體與半個(gè)圓柱的組合體,其中長方體的長、寬、高分別為8、6、6,半個(gè)圓柱相應(yīng)的圓柱底面半徑為3、高為8,因此該幾何體的體積等于8×6×6+12×π×32×8=288+36π,故選A.
6.l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確 的是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共點(diǎn)⇒l1,l2,l3共面
解析 B 在空間中,垂直于同一直線的兩條直線不一定平行,故A錯(cuò);兩平行線中的一條垂直于第三條直線,則另 一條也垂直于第三條直線,B正確;相互平行的三條直線不一定共面,如三棱柱的三條側(cè)棱,故C錯(cuò);共點(diǎn)的三條直線不一定共面,如三棱錐的三條側(cè)棱,故D錯(cuò).
7.將一個(gè)邊長為a的正方體,切成27個(gè)全等的小正方體,則表面積增加了( )
A.6a2 B.12a2
C.18a2 D.24a2
解析 B 依題意,小正方體的棱長為a3,所以27個(gè)小正方體的表面積總和為27×6×a32=18a2,故表面積增加量為18a2-6a2=12a2
2.
8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為( )
A.63 B.265
C.155 D.105
解析 D 如圖,連接A1C1,B1D1,交于點(diǎn)O1,由長方體的性質(zhì)易知∠C1BO1為BC1與平面BB1D1D所成的角.
∵BC=2,CC1=1,∴BC1=22+1=5,
又C1O1=12A1C1=1222+22=2,
∴在Rt△BO1C1中,sin ∠C1BO1=O1C1BC1=25=105.
9.已知α,β,γ是三個(gè)不同的平面,命題“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命題,如果把α,β,γ中的任意兩個(gè)換成直線,另一個(gè)保持不變,在所得的所有命題中,真命題有( )
A.0個(gè) B.1個(gè)
C.2個(gè) D.3個(gè)
解析 C 若α,β?lián)Q為直線a,b,則命題化為“a∥b,且a⊥γ⇒b⊥γ”,此命題為真命題;若α,γ換為直線a,b,則命題化為“a∥β,且a⊥b⇒b⊥β”,此命題為假命題;若β,γ換為直線a,b,則命題化為“a∥α,且b⊥α⇒a⊥b”,此命題為真命題.
10.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=10,AD=5,AA1=4.分別過BC、A1D1的兩個(gè)平行截面將長方體分成三部分,其體積分別記為V1=VAEA1-DFD1,V2=VEBE1A1-FCF1D1,V3=VB1E1B-C1F1C.若V1∶V2∶V3=1∶3∶1,則截面A1EFD1的面積為( )
A.410 B.83
C.202 D.162
解析 C 由V1=V3,可得AE=B1E1,設(shè)AE=x,則12x×4×5∶[(10-x)×4×5]=1∶3,得x=4,則A1E=42+42=42,所以截面A1EFD1的面積為202.
11.如圖是一個(gè)無蓋的正方體盒子展開后的平面圖,A,B,C是展開圖上的三點(diǎn),則在正方體盒子中,∠ABC的值為( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析 C 還原正方體,如下圖所示,連接AB,BC,AC,可得△ABC是正三角形,則∠ABC=60°.故選C.
12.連接球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦.半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于27、43,M、N分別為AB、CD的中點(diǎn),每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng),有下列四個(gè)命題:
①弦AB、CD可能相交于點(diǎn)M;
②弦AB、CD可能相交于點(diǎn)N;
③MN的最大值為5;
④MN的最小值為1.
其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 C 易求得M、N到球心O的距離分別為OM=3,ON=2,若兩弦交于M,則ON⊥MN,在Rt△ONM中,有ON
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫 線上)
13. 如圖,在正四棱柱A1C中,E,F(xiàn),G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則M只需滿足條件________時(shí),就有MN∥平面B1BDD1.(注:請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可,不必考慮全部可能情況)
解析 ∵FH∥DD1,HN∥BD,∴平面FHN∥平面B1BDD1,只要M∈FH,則MN⊂平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)
【答案】 M位于線段FH上
14.已知α、β是兩個(gè)不同的平面,m、n是平面α及平面β之外的兩條不同的直線,給出四個(gè)論斷:①m∥n,②α∥β,③m⊥α,④n⊥β,以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:________.
解析 同垂直于一個(gè)平面的兩條直線互相平行,同垂直于兩個(gè)平行平面的兩條直線也互相平行.
【答案】、冖邰⇒①
15.已知命題:“若x⊥y,y∥z,則x⊥z”成立,那么字母x,y,z在空間所表示的幾何圖形有可能是:①都是直線;②都是平面;③x,y是直線,z是平面;④x,z是平面,y是直線.上述判斷中,正確的有________(請(qǐng)將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上).
解析 當(dāng)字母x,y,z都表示直線時(shí),命題成立;當(dāng)字母x,y,z都表示平面時(shí),命題也成立;當(dāng)x,z表示平面,y表示直線時(shí)
,由相關(guān)的判定定理知命題也成立;
當(dāng)x,y表示直線,z表示平面時(shí),x⊥z不一定成立,還有可能x∥z或x與z相交,故①②④正確,③不正確.
【答案】、佗冖
16.如圖,二面角α-l-β的大小是60°,線段AB⊂α,B∈l,AB與l所成的角為30°,則AB與平面β所成的角的正弦值是________.
解析 如圖,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,連接OB、OC,則OC⊥l.設(shè)AB與β所成角為θ,
則∠ABO=θ ,由圖得sin θ=AOAB=ACAB•AOAC=sin 30°•sin 60°=34.
【答案】 34
三、解答題(本大 題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(10分)如圖所示,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿對(duì)角線BD把△ABD折起,使點(diǎn)A在平面BCD上的射影E落在BC上.
(1)求證:平面ACD⊥平面ABC;
(2)求三棱錐 A-BCD的體積.
解析 (1)∵AE⊥平面BCD,∴AE⊥CD.
又BC⊥CD, 且AE∩BC=E,
∴CD⊥平面ABC.
又CD⊂平面ACD,
∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)由(1)知,CD⊥平面ABC,
又AB⊂平面ABC,∴CD⊥AB.
又∵AB⊥AD,CD∩AD=D,
∴AB⊥平面ACD.
∴VA-BCD=VB-ACD=13•S△ACD•AB.
又∵在△ACD中,AC⊥CD,AD=BC=4,AB=CD=3,
∴AC=AD2-CD2=42-32=7.
∴VA-BCD=13×12×7×3×3=372.
18.(12分)如圖,四邊形ABCD為正方形,四邊形BDEF為矩形,AB=2BF,DE⊥平面ABCD,G為EF的中點(diǎn).
(1)求證:CF∥平面ADE;
(2)求證:平面ABG⊥平面CDG;
(3)求二面角C-FG-B的余弦值.
解析 (1)∵BF∥DE,BC∥AD,BF∩BC=B,DE∩AD=D,∴平面CBF∥平面ADE.
又CF⊂平面CBF,
∴CF∥平面ADE.
(2)如圖,取AB的中點(diǎn)M,CD的中點(diǎn)N,連接GM、GN、MN、AC、BD,設(shè)AC、MN、BD交于O,連接GO.
∵四邊形ABCD為正方形,四邊形BDEF為矩形,
AB=2BF,DE⊥平面ABCD,G為EF的中點(diǎn),
則GO⊥平面ABCD,GO=12MN,
∴GN⊥MG.
又GN⊥ DC,AB∥DC,
∴GN⊥AB.
又AB∩MG=M,
∴GN⊥平面GAB.
又GN⊂平面CDG,
∴平面ABG⊥平面CDG.
(3)由已知易得CG⊥FG,由(2)知GO⊥EF,
∴∠CGO為二面角C-FG-B的平面角,
∴cos ∠CGO=GOGC=33.
19.(12分)(2011•南昌二模)如圖所示的多面體ABC-A1B1C1中,三角形ABC是邊長為4的正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面ABC,AA1=BB1=2CC1=4.
(1)若O是AB的中點(diǎn),求證:OC1⊥A1B1;
(2)求平面AB1C1與平面A1B1C1所成的角的余弦值.
解析 (1)設(shè)線段A1B1的中點(diǎn)為E,連接OE,C1E.
由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AB,
又BB1∥AA1且AA1=BB1,
所以AA1B1B是矩形.
又點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn),
所以O(shè)E∥AA1,所以O(shè)E⊥A1B1.
由AA1⊥平面ABC得AA1⊥AC,A1A⊥BC.
又BB1∥AA1∥CC1,
所以BB1⊥BC,CC1⊥AC,CC1⊥BC,
且AC=BC=4,AA1=BB1=4,CC1=2,
所以A1C1=B1C1,所以C1E⊥A1B1.
又C1E∩OE=E,
所以A1B1⊥平面OC1E,
因?yàn)镺C1⊂平面OC1E,所以O(shè)C1⊥A1B1.
(2)如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OE→,OA→,OC→所在方向分別
為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
則A(0,2,0),A1(4,2,0),B1(4,-2,0),C1(2,0,23),
設(shè)平面AB1C1的法向量為n1=(x1,y1,z1),則有
n1•AB1→=0,n1•AC1→=0⇒
x1,y1,z1•4,-4,0=0,x1,y1,z1•2,-2,23=0⇒x1=y1,z1=0,
令x1=1,則n1=(1,1,0).
設(shè)平面A1B1C1的法向量為n2=(x2,y2,z2),則有
n2•A1B1→=0,n2•A1C1→=0⇒x2,y2,z2•0,-4,0=0,x2,y2,z2•-2,-2,23=0
⇒y2=0,x2=3z2,令z2=1,則n2=(3,0,1).
所以cos〈n1,n2〉=n1•n2|n1|•|n2|=32×2=64,
所以平面AB1C1與平面A1B1C1所成的角的余弦值是64.
20.(12分)如圖所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn).
(1)求證:B1D1∥平面A1BD;
(2)求證:MD⊥AC;
(3)試確定點(diǎn)M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
解析 (1)由直四棱柱概念,得BB1?DD1,
∴四邊形BB1D1D是平行四邊形,
∴B1D1∥BD.
而BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD,∴B1D1∥平面A1BD.
(2)∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴BB1⊥AC.
又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,
∴AC⊥平面BB1D1D.
而MD⊂平面BB1D1D,
∴MD⊥AC.
(3)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí),取DC的中點(diǎn)N,D1C1的中點(diǎn)N1,連接NN1交DC1于O,連接OM,如圖所示.
∵N是DC的中點(diǎn),BD=BC,∴BN⊥DC.
又∵DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線,
而平面ABCD⊥平面DCC1D1,
∴BN⊥平面DCC1D1.
又可證得,O是NN1的中點(diǎn),∴BM?ON,
即四邊形BMON是平行四邊形,
∴BN∥OM,∴OM⊥平面CC1D1D,
∵OM⊂平面DMC1,∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.
21.(12分)如圖所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2.E,F(xiàn),G分別為線段PC,PD,BC的中點(diǎn),現(xiàn)將△PDC折起,使平面PDC⊥平面ABCD.
(1)求證:PA∥平面EFG;
(2)求二面角G-EF-D的大小.
解析 (1)∵PE=EC,PF=FD,∴EF∥CD.
又CD∥AB,∴EF∥AB,∴EF∥平面PAB.
同理,EG∥平面PAB.
又∵EF∩EG=E,∴平面PAB∥平面EFG,
而PA在平面PAB內(nèi),∴PA∥平面EFG.
(2)如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DF所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F(xiàn)(0,0,1),G(1,2,0),
易知DA→=(2 ,0,0)為平面EFD的一個(gè)法向量.
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
又EF→=(0,-1,0),EG→=(1,1,-1),
由n•EF→=0,n•EG→=0,得x,y,z•0,-1,0=0,x,y,z•1,1,-1=0,
即y=0,x+y-z=0,取x=
1,得n=(1,0,1).
設(shè)所求二面角為θ,cos θ=n•DA→|n||DA→|=222=22,
∴θ=45°,即二面角G-EF-D的平面角的大小為45°.
2 2.(12分)在側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E為BB1延長線上的一點(diǎn),D1E⊥面D1AC.
(1)求二面角E-AC-D1的大小;
(2)在D1E上是否存在一點(diǎn)P,使A1P∥平面EAC?若存在,求D1P∶PE的值;若不存在,說明理由.
解析 設(shè)AC與BD交于O,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)AB=2,則A(3,0,0),B(0,1,0),C(-3,0,0),D(0,-1,0),D1(0,-1,2),A1(3,0,2).
(1)設(shè)E(0,1,2+h),則D1E→=(0,2,h),AC→=(-23,0,0),D1A→=(3,1,-2),
∵D1E⊥平面D1AC,
∴D1E⊥AC,D1E⊥D1A,
∴D1E→•AC→=0,D1E→•D1A→=0,
∴2-2h=0,∴h=1,即E(0,1,3),
∴D1E→=(0,2,1),AE→=(-3,1,3).
設(shè)平面EAC的法向量為m=(x,y,z),
則m⊥AC→,m⊥AE→,
∴x=0,-3x+y+3z=0,
令z=-1,得m=(0,3,-1),
∴cos〈m,D1E→〉=m•D1E→|m||D1E→|=22,
∴二面角E-AC-D1的大小為45°.
(2)設(shè)D1P→=λPE→=λ(D1E→-D1P→),
則D1P→=λ1+λD1E→=0,2λ1+λ,λ1+λ,
∴A1P→=A1D1→+D1P→
=(-3,-1,0)+0,2λ1+λ,λ1+λ
=-3,λ-11+λ,λ1+λ.
∵A1P∥平面EAC,
∴A1P→⊥m,
∴A1P→•m=0,
∴-3×0+3×λ-11+λ+(-1)×λ1+λ=0,
∴λ=32.
∴存在點(diǎn)P使A1P∥平面EAC,
此時(shí)D1P∶PE=3∶2.
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