9月高三摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

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珠海市9月高三摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題
一、:本大題共8小題,每小題5分,滿(mǎn)分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填涂相應(yīng)選項(xiàng).
1.已知集合 , ,則 ( 。
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù) ( 。
A. B. C. D.
3.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間 上單調(diào)遞增的函數(shù)為( 。
A. B. C. D.
4.在 中,“ ”是“ ”的( 。
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
5.如圖,在 中,點(diǎn) 是 邊上靠近 的三等分點(diǎn),則 ( 。
A.   B.   C.    D.
6 .已知 滿(mǎn)足約束條件 ,則 的最小值為( )
A . B. C. D.
7.一簡(jiǎn)單組合體的三視圖及尺寸如圖(1)示(單位: )則該組合體的體積為(  )
A. 72000 B. 64000
C. 56000 D. 44000
8. 對(duì)于函數(shù) ,如果存在區(qū)間 ,同時(shí)滿(mǎn)足下列條件:① 在 內(nèi)是單調(diào)的;②當(dāng)定義域是 時(shí), 的值域也是 ,則稱(chēng) 是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.若函數(shù) 存在“和諧區(qū)間”,則 的取值范圍是( 。
A. B. C. D.
二、題:本大題共7小題,每小題5分,考生做答6小題,滿(mǎn)分30分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題,兩題全答的,只計(jì)算前一題得分.請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置.
9.不等式 的解集是 .

10.在二項(xiàng)式 的展開(kāi)式中,含 項(xiàng)的系數(shù)是 ,則實(shí)數(shù) 的值為 .
11.設(shè)等比數(shù)列 的公比 ,則 .
12.直線 是函數(shù) 的切線,則實(shí)數(shù) .
13.在 中, , , ,則 .
14.(幾何證明選講選做題)
如圖, 圓 的直徑
.
15.(極坐標(biāo)選做題)極坐標(biāo)系中,曲線 上的點(diǎn)到直線 的距離的最大值是 .
三、解答題:本題共有6個(gè)小題,滿(mǎn)分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.
16. (本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù) .
(1)求 的最小正周期和最小值; (2)若 且 ,求 的值.


17. (本小題滿(mǎn)分12分)某大學(xué)一個(gè)專(zhuān)業(yè)團(tuán)隊(duì)為某專(zhuān)業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件,其中有A、B、C三種軟件投入使用,經(jīng)一學(xué)年使用后,團(tuán)隊(duì)調(diào)查了這個(gè)專(zhuān)業(yè)大一四個(gè)班的使用情況,從各班抽取的樣本人數(shù)如下表:
班級(jí)一二三四
人數(shù)3234

(1)從這12人中隨機(jī)抽取2人,求這2人恰好來(lái)自同一班級(jí)的概率;
(2)從這12名學(xué)生中,指定甲、乙、丙三人為代表,已知他們下午自習(xí)時(shí)間每人選擇一款軟件,其中選A、B兩個(gè)軟件學(xué)習(xí)的概率都是 ,且他們選擇A、B、C任一款軟件都是相互獨(dú)立的。設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)時(shí)間選軟件C的人數(shù)為 ,求 的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18. (本小題滿(mǎn)分14分)在邊長(zhǎng)為 的正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),、N分別為AB、CF的中點(diǎn),現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊,使B、C、D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為 ,構(gòu)成一個(gè)三棱錐.
(1)請(qǐng)判斷 與平面 的位置關(guān)系,并給出證明;
(2)證明 平面 ;
(3)求二面角 的余弦值.

19. (本小題滿(mǎn)分14分)若正數(shù)項(xiàng)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,首項(xiàng) ,點(diǎn) 在曲線 上.
(1)求 ;
(2)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ;
(3)設(shè) , 表示數(shù)列 的前項(xiàng)和,若 恒成立,求 及實(shí)數(shù) 的取值范圍.
20. (本小題滿(mǎn)分14分)已知點(diǎn) 的坐標(biāo)分別是 、 ,直線 相交于點(diǎn) ,且它們的斜率之積為 .
(1)求點(diǎn) 軌跡 的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn) 的直線 與(1)中的軌跡 交于不同的兩點(diǎn) ,試求 面積的取值范圍( 為坐標(biāo)原點(diǎn)).


21.(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù) ( ).
(1)當(dāng) 時(shí),求 在 上的最小值;
(2)若函數(shù) 在 上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(3)若關(guān)于 的方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

珠海市9月高三摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)
試題與參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、:本大題共8小題,每小題5分,滿(mǎn)分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填涂相應(yīng)選項(xiàng).
1.(集合)已知集合 , ,則 ( 。
A. B. C. D.
2.(復(fù)數(shù)的除法)復(fù)數(shù) ( 。
A. B. C. D.
3.(函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間 上單調(diào)遞增的函數(shù)為( 。
A. B. C. D.
4.(充要條件)在 中,“ ”是“ ”的(  )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件K$s5u

5.(向量)如圖,在 中,點(diǎn) 是 邊上靠近 的三等分點(diǎn),則 ( 。
A.    B.  
C.    D.
6.(線性規(guī)劃)已知 滿(mǎn)足約束條件 ,則 的最小值為( )
A . B. C. D.
7.(三視圖)一簡(jiǎn)單組合體的三視圖及尺寸如圖(1)示(單位: )則該組合體的體積為( 。
A. 72000 B. 64000
C. 56000 D. 44000

8.(信息題)對(duì)于函數(shù) ,如果存在區(qū)間 ,同時(shí)滿(mǎn)足下列條件:① 在 內(nèi)是單調(diào)的;②當(dāng)定義域是 時(shí), 的值域也是 ,則稱(chēng) 是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.若函數(shù) 存在“和諧區(qū)間”,則 的取值范圍是( 。
A. B. C. D.
二、題:本大題共6小題,每小題5分,滿(mǎn)分30分.其中14~15題是選做題,考生只能選做一題,兩題全答的,只計(jì)算前一題得分.請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置.
9.(絕對(duì)值不等式)不等式 的解集是 .
10.(二項(xiàng)展開(kāi)式)在二項(xiàng)式 的展開(kāi)式中,含 項(xiàng)的系數(shù)是 ,則實(shí)數(shù) 的值為 .
11.(等比數(shù)列)設(shè)等比數(shù)列 的公比 ,則 .
12.(導(dǎo)數(shù))直線 是函數(shù) 的切線,則實(shí)數(shù) .
13.(解三角形)在 中, , , ,則 4 .
14.(幾何證明選講選做題)
如圖, 圓 的直徑
.
15.(極坐標(biāo)選做題)極坐標(biāo)系中,曲線 上的點(diǎn)到直線 的距離的最大值是 .
三、解答題:本題共有6個(gè)小題,12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分.
16.(三角函數(shù))已知函數(shù)
(1)求 的最小正周期和最小值; (2)若 且 ,求 的值.
解:(1) ,……………4分
所以 ,當(dāng) 時(shí), 有最小值 …………………………6分
(2) ,
所以 ……………………………………………………………………………………10分
因?yàn)?,所以 ,所以 ,
所以 ……………………………………………………………………………12分

17.(概率)某大學(xué)一個(gè)專(zhuān)業(yè)團(tuán)隊(duì)為某專(zhuān)業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件,其中有A、B、C三種軟件投入使用,經(jīng)一學(xué)年使用后,團(tuán)隊(duì)調(diào)查了這個(gè)專(zhuān)業(yè)大一四個(gè)班的使用情況,從各班抽取的樣本人數(shù)如下表
班級(jí)一二三四
人數(shù)3234

(1)從這12人中隨機(jī)抽取2人,求這2人恰好來(lái)自同一班級(jí)的概率.
(2)從這12名學(xué)生中,指定甲、乙、丙三人為代表,已知他們下午自習(xí)時(shí)間每人選擇一款軟件,其中選擇A、B兩個(gè)軟件學(xué)習(xí)的概率每個(gè)都是 ,且他們選擇A、B、C任一款軟件都是相互獨(dú)立的。設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)時(shí)間選軟件C的人數(shù)為 ,求 的分布列和數(shù)學(xué)期望。
解:(1)設(shè)“從這12人中隨機(jī)抽取2人,這2人恰好來(lái)自同一班級(jí)”的事件為
則 …………………………………………………………………3分
答:從這12人中隨機(jī)抽取2人,這2人恰好來(lái)自同一班級(jí)的概率是 …………………………4分
(2) …………………………………………………………………………………………5分
由題設(shè)知,每個(gè)人選軟件C概率均為 …………………………………………………………………6分


……………………………………………………………………………………10分
的分布列如下


的期望是 …………………………………12分


18.(立幾)在邊長(zhǎng)為 的正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),、N分別為AB、CF的中點(diǎn),現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊,使B、C、D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為 ,構(gòu)成一個(gè)三棱錐.
(1)請(qǐng)判斷 與平面 的位置關(guān)系,并給出證明;
(2)證明 平面 ;
(3)求二面角 的余弦值.
解:(1) 平行平面 ……………………………………………………………………1分
證明:由題意可知點(diǎn) 在折疊前后都分別是 的中點(diǎn)(折疊后 兩點(diǎn)重合)
所以 平行 …………………………………………………………………………………2分
因?yàn)?,所以 平行平面 ………………………………………………4分
(2)證明:由題意可知 的關(guān)系在折疊前后都沒(méi)有改變
因?yàn)樵谡郫B前 ,由于折疊后 ,點(diǎn) ,所以 …5分
因?yàn)?,所以 平面 ……………………………………………………8分
(3)解:

所以 是二面角 的平面角. …………………………………10分
因?yàn)?⊥ ,所以 .
在 中, ,由于 ,所以 ,
于是 ……………………………………………………13分
所以,二面角 的余弦值為 ………………………………14分

19.(數(shù)列)若正數(shù)項(xiàng)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,首項(xiàng) ,點(diǎn) 在曲線 上.
(1)求 ;
(2)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ;
(3)設(shè) , 表示數(shù)列 的前項(xiàng)和,若 恒成立,求 及實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解:(1)因?yàn)辄c(diǎn) 在曲線 上,所以 .
分別取 和 ,得到 ,
由 解得 , .…………………………………………………………………4分
(2)由 得 .
所以數(shù)列 是以 為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列
所以 , 即 …………………………………………………………6分
由公式 ,得
所以 …………………………………………………………………………………………8分
(3)因?yàn)?,所以 ,

……………………………………………………………………10分
顯然 是關(guān)于 的增函數(shù), 所以 有最小值 ,…………………………………12分
由于 恒成立,所以 ,…………………………………………………………………13分
于是 的取值范圍為 .……………………………14分

20.(圓錐曲線)已知點(diǎn) 的坐標(biāo)分別是 、 ,直線 相交于點(diǎn) ,且它們的斜率之積為 .
(1)求點(diǎn) 軌跡 的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn) 的直線 與(1)中的軌跡 交于不同的兩點(diǎn) ,試求 面積的取值范圍( 為坐標(biāo)原點(diǎn)).

解:(1)設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,
∵ ,∴ …………………………………………………………2分
整理,得 ,這就是動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程.……………………………………4分
(2)由題意知直線 的斜率存在,設(shè) 的方程為 ①………………………………………5分
將①代入 得:K$s5u

…………………………………………6分
由 ,解得 ……………………………………………7分
設(shè) , ,則 ② ……………………………………………………8分
…………10分
……………11分
令 ,所以
所以 13分
所以 ………………………………………………………………………14分

21.(導(dǎo)數(shù))已知函數(shù)
(1)當(dāng) 時(shí),求 在 上的最小值;
(2)若函數(shù) 在 上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(3)若關(guān)于 的方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解:(1)當(dāng) , ,……………………………………2分
于是,當(dāng) 在 上變化時(shí), 的變化情況如下表:

( ,1)
1(1,2)2
-0+

單調(diào)遞減極小值0單調(diào)遞增


由上表可得,當(dāng) 時(shí)函數(shù) 取得最小值0. …………………………………………………4分

(2) ,因?yàn)?為正實(shí)數(shù),由定義域知 ,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,因?yàn)楹瘮?shù) 在 上為增函數(shù),所以 ,所以 …………8分

(3)方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根 方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根 方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根 函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn)……………10分
考察函數(shù) , ,在 為減函數(shù),在 為增函數(shù)
…………………………………………………………………………………………………12分

………………………………………………13分
畫(huà)函數(shù) , 的草圖,要使函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn),則要滿(mǎn)足

所以 的取值范圍為 ……………………………………14分




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