屆高上學期期末四校聯(lián)考 （是錐體的底面積，是錐體的高）第一部分選擇題（共40分）一．選擇題（本大題共8道小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個選項中有且只有一個是符合題目要求的）1.集合為函數(shù)的值域，集合，則等于( )A． B． C． D．2.雙曲線的兩漸近線方程為( ) gkstk A．B．C．D．均為單位向量，且，那么向量與的夾角為( )A．B．C．D．A．B．C．D．的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象, 則( )A．B．C．D．6.三棱錐的主視圖和俯視圖為如圖所示的兩個全等的等腰三角形，其中底邊長為，腰長為，則該三棱錐左視圖的面積為( )A．B．C．D．A．B．C．D．，定義它們之間的一種“距離”： 給出下列三個命題：①若點C在線段AB上，則；②在中，；③在中，若，則．A．B． C． D．”也可寫成“”或“”，均表示賦值語句)11.在中，分別是角的對邊，已知 ，則 gkstk12.設滿足，則的取值范圍是 . 13.已知等比數(shù)列是正項數(shù)列，且，其前項的和為，恒成立，則的最大值為 . 14.已知為圓上的任意一點，若到直線的距離小于的概率為，則= .三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本題滿分12分）已知.（Ⅰ）求函數(shù)的；（）在中，角所對的邊分別為若，求的值．]”，已知第一組至第五組數(shù)據的頻率之比為，第一組數(shù)據的頻數(shù)是4.(I) 求出樣本容量，并估計西村11月至12月空氣質量為優(yōu)良等級（優(yōu)秀或良好）的概率； (II)從空氣質量等級是優(yōu)秀等級或重度污染等級的數(shù)據中抽取2份數(shù)據，求抽出的兩份數(shù)據都是優(yōu)秀等級的概率.gkstk17.（本題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，其中，，頂點在底面的射影落在線段上，是的中點.（）平面；（）平面；(III)若，求三棱錐的體積.18.（本題滿分14分）已知二次函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且關于的不等式的解集為.（I）求的解析式II）設，且當時，的最小值為，的值.19.（本題滿分14分）已知，設是單調遞減的等比數(shù)列的前項和，，且、、成等差數(shù)列. (I)求數(shù)列的通項公式；(II)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式III)在滿足(II)的條件下，若，求數(shù)列的前項和.gkstk20.（本題滿分14分）已知橢圓經過點，且橢圓的離心率，過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點及.（I）求橢圓的方程；（II）求證：為定值； (Ⅲ) 求的最小值. 屆高上學期期末四校聯(lián)考 12． 13. 14．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.解：（Ⅰ）（）, 得， ……5分即函數(shù)的（） ……6分（）得， ∴，即， ……8分根據正弦定理，由，得，故， ……9分∵，∴， gkstk ……10分∵，∴ ……12分16.解：(I)設樣本容量為，則，解得，……2分空氣質量為優(yōu)秀或良好等級的頻率為. ……5分(II)測試結果為優(yōu)秀等級[0,50)的有天，設為 ……6分測試結果為重度污染等級[200,250]的有天，設為 ……7分 設抽取的兩份數(shù)據為，則共有如下15種情況：、、、、、、、、、、、、、、， ……9分兩份數(shù)據都是優(yōu)秀等級的有如下6種情況：、、、、、 ……10分設“兩份數(shù)據都是優(yōu)秀等級”為事件A，則. 答：抽出的兩份數(shù)據都是優(yōu)秀等級的概率為 ……12分 17.（）中點，連結，∵分別是的中點，∴，又，且，∴，且∴四邊形是平行四邊形， ……2分∴ ……3分又∵，， ……4分∴平面 ……5分證法二：取中點，連結∵分別是的中點，∴，又∵，，∴平面 ……1分∵，且，∴四邊形是平行四邊形，∴又∵，，∴平面 ……2分，，∴平面……4分∵，∴平面 ……5分（）在底面的射影落在線段上，設為，則 ∵，∴ ……6分∵中，，中，，∴∽，∴，故 即 ……8分又∵，，∴ ……9分，∴ ……10分證法二：頂點在底面的射影落在線段上，設為，則 ，∵，∴ ……6分在平面上，以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，得，，，，由，得 ……8分又∵，，∴ ……9分，∴ ……10分(III) 解法一：∵，∴頂點在底面的射影落在線段的中點上，且由知 gkstk ……11分∵分別是的中點，∵到面的距離是到面的距離的……12分 ……14分解法二：割補法∵，∴頂點在底面的射影落在線段的中點上，且由知 ……11分∵分別是的中點，∵到面的距離是到面的距離的 ……12分 ……14分解法三：∵，∴頂點在底面的射影落在線段的中點上，且由知 ……11分設，則由（） ……12分 ∴其中……13分 ……14分18.解：（I），由是偶函數(shù)知的圖象關于軸對稱，則，即，故. ……1分∵不等式的解集為，∴且是方程即的兩根.由韋達定理，得，解得：. ……5分∴. ……6分gkstk（II）（I），對稱軸. ……7分 下面分類討論： 當，即時，在上為減函數(shù)，∴ ，得(舍去)，即時，，∴或(舍去).，即時，在上為增函數(shù)， ∴，得. ……13分綜上所述，或為所求. ……14分19.解：(I)設數(shù)列 的公比為，由， ……1分得，即，所以， ……3分∵是單調數(shù)列，∴， ……4分 ……5分 (II) ，∵，∴，即，……6分 即是以為首項，為公差的等差數(shù)列， ……7分故, 即 ……9分(III) ……10分 …11分兩式相減，得…12分 ……13分 即 ……14分20．解：（I）由，得，即，即．（1）， ……1分 由橢圓過點知，．（2）……2分聯(lián)立（1）、（2）式解得． ……3分 故橢圓的方程是； ……4分（II）為定值 ……5分法一：證明 橢圓的右焦點為，分兩種情況． 1°當直線AB的斜率不存在時，AB:，則 CD:．此時，,； ……6分2°當直線AB的斜率存在時，設AB : ，則 CD：．又設點．聯(lián)立方程組消去并化簡得， 所以， ……7分 ……8分 由題知，直線的斜率為，同理可得 ……9分所以為定值. ……10分法二：證明 橢圓的右焦點為，分兩種情況． 1°當直線AB的斜率不存在時，AB:，則 CD:．此時，,； ……6分2°當直線AB的斜率存在時，設AB : ，則 CD：．又設點．聯(lián)立方程組消去并化簡得，所以， ……7分 由，同理 …… 8分 故由題知，直線的斜率為，同理可得 ……9分所以為定值. ……10分 (Ⅲ)解：由（II）知， 所以 ……11分， ……12分當且僅當，即，即時取等號 ……13分所以的最小值為. ……14分gkstk！第6頁 共13頁學優(yōu)高考網�。�廣東省四校高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學（理）試題
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