理科數(shù)學(xué)
考生注意：本卷分和非兩部分，滿分100分，時(shí)間120分鐘
一） 選擇題（每小題3分）
1.“a＞0”是“ ＞0”的
(A)充分不必要條件（B）必要不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
2.雙曲線 的實(shí)軸長(zhǎng)是
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
3．若平面α，β的法向量分別為u＝(－2, 3，－5)，v＝(3，－1, 4)，則( )．
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正確
4 ．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于( )
A.627 B.637 C.647 D.657
5. 曲線 在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
6.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點(diǎn)．那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值為( )
A.105 B.155
C.45 D.23
7．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝2a3，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是( )．
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能確定
8．已知A、B、M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外任一點(diǎn)O，若OB→＋OM→＝3OP→－OA→，則點(diǎn)P與A、B、M( )
A．共面 B．共線
C．不共面 D．不確定
9.二面角α－l－β為60°，A、B是棱l上的兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，則CD的長(zhǎng)為( )
A．2a B.5 C．a(chǎn) D.3a
10．已知雙曲線 (a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是( )
A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞)
二、題 （每小題3分）
11，函數(shù)y=sin2x-con2x的導(dǎo)數(shù)為
12．ABCDA1B1C1D1為平行六面體，設(shè)AB→＝a，AD→＝b ，AA1→＝c，
E、F分別是AD1、BD的中點(diǎn)，則EF→＝ .
（用向量a b c表示）
13.曲線 y=x2－1與 y=3－x3在x=x0處的切線互相垂直，則x0=＿＿＿
14.函數(shù)f(x)=xlnx 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ．
15.已知拋物線 的準(zhǔn)線為 ，過(guò) 且斜率為 的
直線與 相交于點(diǎn) ，與 的一個(gè)交點(diǎn)為 ．若 ，則 ．
三、解答題
16.（8分） 若f（x）=ax3+bx2，且f（x）在點(diǎn)P（－1,-2）處的切線恰好與直線3x－y=0垂直。（1）求a,b的值；（2）若f（x）在區(qū)間[0,m]上單調(diào)，求m的取值范圍。
17．(8分)在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對(duì)角線AC折起，使AB和CD成60°角(見下圖)．求B、D間的距離．
18.（ 9分） 如圖，過(guò)橢圓 的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”．求橢圓 的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)；
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19.（ 10分）如圖，四面體ABCD中 ，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA＝CB＝CD＝BD＝2,AB＝AD＝ 。
1）求證：AO 平面BCD；
2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。
20．（ 10分）已 知 是函數(shù) 的極值點(diǎn)．當(dāng) 時(shí)，
求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
21. （ 10分）已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ，過(guò)點(diǎn) 的動(dòng)直線與雙曲線相交于 兩點(diǎn)．
（I）若動(dòng)點(diǎn) 滿足 （其中 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn) 的軌跡方程；
（II）在 軸上是否存在定點(diǎn) ，使 ? 為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；
若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
高二年級(jí)第二次數(shù)學(xué)月考試題
一選擇題
ACCDB,BBAAC
11 2sin2x
12．a(chǎn)－12c
13 x0=＿＿ ＿
14.
15 2.
三解答題
16若f（x）=ax3+bx2，且f（x）在點(diǎn)P（－1,-2）處的切線恰好與直線3x－y=0平行。
（1）求a,b的值；（2）若f（x）在區(qū)間[m,o]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍。
A=-1,b=-3, [-2,0)
17．在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對(duì)角線AC折起，使AB和CD成60°角(見下圖)．求B、D間的距離．
解：∵∠ACD=90°，∴ ＝0.
同理 ＝0
∵AB和CD成60°角，∴〈 〉＝60°或120°.
∵ ，
∴
＝
＝3＋2×1×1×cos〈 〉
＝
∴ ＝2或2，即B、D間的距離為2或2.
18. 如圖，過(guò)橢圓 的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”．求橢圓 的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)；
w18.解：(1)解：設(shè)M(m，0)為橢圓 的左特征點(diǎn)，
橢圓的左焦點(diǎn)為 ，設(shè)直線AB的方程為
將它代入 得： ，
即 --------------------------------
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ， ---------------
∵∠AMB被x軸平分，∴
即 ，?
?
∴ ， -------------------------------------- 于是
∵ ，∴ ，即 ∴M( ，0) -------------------------------
19如圖，四面體ABCD中 ，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA＝CB＝CD＝BD＝2,AB＝AD＝ 。
1）求證：AO 平面BCD；
2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。
1)證明 略
關(guān)鍵證明?AOC為直角三角形
19．已 知 是函數(shù) 的極值點(diǎn)．
當(dāng) 時(shí)，討論函數(shù) 的單調(diào)性；
解 ,
．
由已知得， 解得a=1．
．
當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ．又 ，
所以當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)， 在 ， 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減．
21.已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ，過(guò)點(diǎn) 的動(dòng)直線與雙曲線相交于 兩點(diǎn)．（I）若動(dòng)點(diǎn) 滿足 （其中 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn) 的軌跡方程；（II）在 軸上是否存在定點(diǎn) ，使 ? 為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；
若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：由條件知 ， ，設(shè) ， ．
解法一：（I）設(shè) ，則 ， ，
，由 得
即 于是 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
當(dāng) 不與 軸垂直時(shí)， ，即 ．
又因?yàn)?兩點(diǎn)在雙曲線上，所以 ， ，兩式相減得
，即 ．
將 代入上式，化簡(jiǎn)得 ．
當(dāng) 與 軸垂直時(shí)， ，求得 ，也滿足上述方程．
所以點(diǎn) 的軌跡方程是 ．
（II）假設(shè)在 軸上存在定點(diǎn) ，使 為常數(shù)．
當(dāng) 不與 軸垂直時(shí)，設(shè)直線 的方程是 ．
代入 有 ．
則 是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 ， ，
于是
．
因?yàn)?是與 無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以 ，即 ，此時(shí) = ．
當(dāng) 與 軸垂直時(shí)，點(diǎn) 的坐標(biāo)可分別設(shè)為 ， ，
此時(shí) ．
故在 軸上存在定點(diǎn) ，使 為常數(shù)．
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