2013——2014學年度上學期五校聯(lián)考高二期中考試數(shù)學試題（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、已知集合，，則 （ ）A、B、 C、 D、2、以下有關命題的說法錯誤的是（ ） A、命題“若，則”的逆否命題為“若,則”B、若為假命題，則、均為假命題C、“”是“”的充分不必要條件D、對于命題，使得，則，則3、某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍。為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為（ ）A、9 B、18 C、27 D、364、已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且ka＋b與2a－b互相垂直，則k值是（ ）A、1 B、C、D、 在平行六面體中，設，則等于（　　）A、 B、 C、 D、6、若雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為(　　)A B、5 C、 D、27、對任意非零實數(shù)，定義的算法原理如上右程序框圖所示。設為函數(shù)的最大值，為雙曲線的離心率，則計算機執(zhí)行該運算后輸出結(jié)果是( )A、 B、 C、 D、8、已知曲線C：y＝2，點A(0，－2)及點B(3，a)，從點A觀察點B，要使視線不被曲線C擋住，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A(4，＋∞) B、(－∞，4] C(10，＋∞) D(－∞，10]9、拋物線與雙曲線有相同的焦點F點A是兩曲線的交點，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為 (　　)A、 B＋1 C＋1 D、10、棱長均為1三棱錐，若空間一點P滿足，則的最小值為（　　）A、 B、 C、 D、11、已知橢圓的左、右頂點分別為A1和A2，垂直于橢圓長軸的動直線與橢圓的兩個交點分別為P1和P2，其中P1的縱坐標為正數(shù)，則直線A1P1與A2P2的交點M的軌跡方程（ �。〢、 B、 C、 D、12、如圖，過雙曲線的左焦點F引圓x2+y2=16的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則 （　�。〢、 B、 C、 D、二、填空題：本大題共4小題，每小題分，共分（ ）, （ ）（）表示生成0到1之間的隨機數(shù),共做了次試驗，其中有次滿足，則橢圓的面積可估計為 。（）表示生成0到1之間的隨機數(shù)14、有共同漸近線，且過點的雙曲線方程是 。15、以下四個關于圓錐曲線的命題中：①設A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，若PA?PB=k，則動點P的軌跡為雙曲線；②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若，則動點P的軌跡為橢圓；③拋物線的焦點坐標是；④曲線與曲線（＜35且≠10）有相同的焦點．其中真命題的序號為　16、點在函數(shù)的圖象上運動，則2x?y的最大值與最小值之比為　　　　三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1分），設命題p:函數(shù)在R上單調(diào)遞增；命題q:不等式對恒成立，若p且q為假，p或q為真，求a的取值范圍。18、（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點．（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥面PAC，并求出N點到AB和AP的距離（12分）中，、、分別是角、、的對邊，且。(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，，求△的面積。21、（12分）已知拋物線C：y2＝4x，直線l：y＝x＋b與C交于A、B兩點，O為坐標原點．(Ⅰ)當直線l過拋物線C的焦點F時，求AB；(Ⅱ)是否存在直線l使得直線OA、OB傾斜角之和為135°，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由（12分）已知橢圓的焦距為4,且過點.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設為橢圓上一點,過點作軸的垂線,垂足為.取點,連接,過點作的垂線交軸于點.點是點關于軸的對稱點,作直線,問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由2013——2014學年度上學期五校聯(lián)考高二期中考試數(shù)學試題（理科答案）一．選擇題：1.C；2.B；3.B；4.D；5.D；6.A；7.B；8.D；9.C；10.B；11.C；12.A．二．填空題：13． ； 14． ； 15． ③④； 16． .三、解答題：17、解：∵y=ax在R上單調(diào)遞增，∴a＞1；……………2分又不等式ax2-ax+1＞0對x∈R恒成立，∴△＜0，即a2-4a＜0，∴0＜a＜4，……………4分∴q：0＜a＜4．而命題p且q為假，p或q為真，那么p、q中有且只有一個為真，一個為假．①若p真，q假，則a≥4；……………6分②若p假，q真，則0＜a≤1．……………8分所以a的取值范圍為（0，1]∪[4，+∞）．……………10分18、解：方法一、（1）設AC∩BD=O，連OE，則OE//PB，∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角. ………2分在△AOE中，AO=1，OE=∴即AC與PB所成角的余弦值為.………6分 （2）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則.連PF，則在Rt△ADF中設N為PF的中點，連NE，則NE//DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，從而NE⊥面PAC.∴N點到AB的距離，N點到AP的距離………12分方法二、（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則A、B、C、D、P、E的坐標為A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1）， ………3分從而設的夾角為θ，則∴AC與PB所成角的余弦值為. ………6分 （Ⅱ）由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設N點坐標為（x，O，z），則，由NE⊥面PAC可得，∴………10分即N點的坐標為，從而N點到AB、AP的距離分別為1，.…12分19、解： （Ⅰ）由余弦定理得，∴， ∴，∴．∵底面，底面，∴．又∵，∴平面，又平面，∴．6分（Ⅱ）已知，，由（Ⅰ）可知平面，如圖，以D為坐標原點，射線DB為x軸的正半軸建立空間直角坐標系，則,，，，.8分設平面的法向量為，則，∴，令，∴可�。� 9分同理設平面的法向量為，則，∴．10分∴∴二面角的余弦值大小為．12分20、解：（1） ∴由正弦定理： ∴……………………………………………………3分 又∵ ∴ ∴ ………………………………………………………6分（2）∵………………………………………………8分 ∴ ∴ ∴………………………12分21、解: (1)拋物線C：y2＝4x的焦點為F(1,0)，代入直線y＝x＋b可得b＝－，………………………………………………1分∴l(xiāng)：y＝x－，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立，消去y得x2－18x＋1＝0，∴x1＋x2＝18，x1x2＝1， (方法一)AB＝?x1－x2＝?＝20. ………………………………………………4分(方法二)AB＝x1＋x2＋p＝18＋2＝20. ………………………………4分(2)假設存在滿足要求的直線l：y＝x＋b，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立，消去x得y2－8y＋8b＝0，∴y1＋y2＝8，y1y2＝8b， …………………………6分設直線OA、OB的傾斜角分別為α、β，斜率分別為k1、k2，則α＋β＝135°，tan(α＋β)＝tan135°?＝－1， ……………………8分其中k1＝＝，k2＝＝，代入上式整理得y1y2－16＋4(y1＋y2)＝0， ……………………………………10分∴8b－16＋32＝0，即b＝－2，………………………………………11分代入Δ＝64－32b＝128>0，滿足要求．綜上，存在直線l：y＝x－2使得直線OA、OB的傾斜角之和為135°.…12分22、解: (1)因為橢圓過點 且 橢圓C的方程是 …（4分）(2) 由題意,各點的坐標如上圖所示, …（6分）則的直線方程: 化簡得 …（8分）又, 所以帶入 得 …（11分）求得最后 所以直線與橢圓只有一個公共點. …（12分） 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源www.gkstk.comABCDPM第19題圖ABCDPMxyz遼寧省五校協(xié)作體2013-2014學年高二上學期期中考試數(shù)學理試題
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