中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題基礎(chǔ)知識(shí)回顧四 三角形
一、單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：
二、考試目標(biāo)要求：
1．了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線(xiàn)、高、角平分線(xiàn)），會(huì)畫(huà)出任意三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)
和高，了解三角形的穩(wěn)定性.
2．探索并掌握三角形中位線(xiàn)的性質(zhì).
3．了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條.
4．了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是等腰三角形的條；
了解等邊三角形的概念并探索其性質(zhì).
5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是直角三角形的條.
6．體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程，會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
三、知識(shí)考點(diǎn)梳理
知識(shí)點(diǎn)一、三角形的概念及其性質(zhì)
1．三角形的概念
由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
2．三角形的分類(lèi)
(1)按邊分類(lèi)：
(2)按角分類(lèi)：
3．三角形的內(nèi)角和外角
(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.
(2)三角形的任一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰
的內(nèi)角.
4．三角形三邊之間的關(guān)系
三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.
5．三角形內(nèi)角與對(duì)邊對(duì)應(yīng)關(guān)系
在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；在同一三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊.
6．三角形具有穩(wěn)定性.
知識(shí)點(diǎn)二、三角形的“四心”和中位線(xiàn)
三角形中的四條特殊的線(xiàn)段是：高線(xiàn)、角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、中位線(xiàn).
1．內(nèi)心：
三角形角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.
2．外心：
三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，是三角形外接圓的圓心，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
3．重心：
三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.
4．垂心：
三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn).
5．三角形的中位線(xiàn)：
連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段是三角形的中位線(xiàn).
中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br /> (1)三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部.
(2)鈍角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.
(3)直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn).
(4)銳角三角形的垂心、外心都在三角形的內(nèi)部.
知識(shí)點(diǎn)三、全等三角形
1．定義：
能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.
2．性質(zhì)：
(1)對(duì)應(yīng)邊相等
(2)對(duì)應(yīng)角相等
(3)對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)、對(duì)應(yīng)邊的中線(xiàn)和高相等
(4)周長(zhǎng)、面積相等
3．判定：
(1)邊角邊(SAS)
(2)角邊角(ASA)
(3)角角邊(AAS)
(4)邊邊邊(SSS)
(5)斜邊直角邊(HL)(適用于直角三角形)
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br /> 判定三角形全等至少必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等.
知識(shí)點(diǎn)四、等腰三角形
1．定義：
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.
2．性質(zhì)：
(1)具有三角形的一切性質(zhì).
(2)兩底角相等(等邊對(duì)等角)
(3)頂角的平分線(xiàn)，底邊中線(xiàn)，底邊上的高互相重合(三線(xiàn)合一)
(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.
3．判定：
(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)；
(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；
(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br /> (1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.
知識(shí)點(diǎn)五、直角三角形
1．定義：
有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.
2．性質(zhì)：
(1)直角三角形中兩銳角互余；
(2)直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.
(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
(6)直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；
(7)SRt△ABC= ch= ab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高.
3．判定：
(1)兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；
(2)一條邊上的中線(xiàn)等于該邊的一半，則這條邊所對(duì)的角是直角，則這個(gè)三角形是直角三角形.
(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.
知識(shí)點(diǎn)六、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)
1．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)：
經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)并且垂直這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).
線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定理：
(1)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
(2)與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.
線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)可以看作是與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.
2．角平分線(xiàn)的性質(zhì)：
(1)角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；
(2)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上；
(3)角的平分線(xiàn)可以看做是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合.
四、規(guī)律方法指導(dǎo)
1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想
本單元中所學(xué)的三角形性質(zhì)、角平分線(xiàn)性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、直角三角形中的勾股定理等，都是在結(jié)合圖形的基礎(chǔ)上，求線(xiàn)段或角的度數(shù)，證明線(xiàn)段或角相等.在幾何學(xué)習(xí)中，應(yīng)會(huì)利用幾何圖形解決實(shí)際問(wèn)題.
2．分類(lèi)討論思想
在沒(méi)給圖形的前提下，畫(huà)三角形或三角形一邊上的高、三角形的垂心、外心時(shí)要考慮分類(lèi)：三種情況，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.
3. 化歸與轉(zhuǎn)化思想
在解決利用三角形的基礎(chǔ)知識(shí)計(jì)算、證明問(wèn)題時(shí)，通過(guò)做輔助線(xiàn)、利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行準(zhǔn)確推理等轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)相對(duì)較容易解決的或者已經(jīng)有解決模式的問(wèn)題，已知與未知之間的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；一般與特殊的轉(zhuǎn)化.
4．注意觀察、分析、總結(jié)
應(yīng)將三角形的判定及性質(zhì)作為重點(diǎn)，對(duì)于特殊三角形的判定及性質(zhì)要記住并能靈活運(yùn)用，注重積累解題思路和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問(wèn)題的能力和培養(yǎng)，淡化純粹的幾何證明.
學(xué)會(huì)演繹推理的方法，提高邏輯推理能力和邏輯表達(dá)能力，掌握幾何證明中的分析，綜合，轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
經(jīng)典例題透析
考點(diǎn)一、三角形的概念及其性質(zhì)
1．（1）（2010東濟(jì)寧）若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2?3?4，那么這個(gè)三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
思路點(diǎn)撥：三角形的內(nèi)角和為180°，三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的份數(shù)和是9，每一份度數(shù)是20，則三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為40°、60°、80°，是銳角三角形.
答案：B
（2）三角形的三邊分別為3，1-2a，8，則a的取值范圍是( )
A．-6＜a＜-3 B．-5＜a＜-2 C．2＜a＜5 D．a(chǎn)＜-5或a＞-2
思路點(diǎn)撥：涉及到三角形三邊關(guān)系時(shí)，盡可能簡(jiǎn)化運(yùn)算，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.
解析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：8-3＜1-2a＜8+3，解得-5＜a＜-2，應(yīng)選B.
舉一反三：
【變式1】已知a，b，c為△ABC的三條邊，化簡(jiǎn) 得_________.
思路點(diǎn)撥：本題利用三角形三邊關(guān)系，使問(wèn)題代數(shù)化，從而化簡(jiǎn)得出結(jié)論.
解析：∵a，b，c為△ABC的三條邊 ∴a-b-c＜0， b-a-c＜0
∴ =(b+c-a)+(a+c-b)=2c.
【變式2】有五根細(xì)木棒，長(zhǎng)度分別為1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，現(xiàn)任取其中的三根木棒，組成一個(gè)三角形，問(wèn)有幾種可能( )
A.1種 B.2種 C.3種 D.4種
解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三種.應(yīng)選C.
【變式3】等腰三角形中兩條邊長(zhǎng)分別為3、4，則三角形的周長(zhǎng)是_________.
思路點(diǎn)撥：要分類(lèi)討論，給出的邊長(zhǎng)中，可能分別是腰或底.注意滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系.
解析：(1)當(dāng)腰為3時(shí)，周長(zhǎng)=3+3+4=10；(2)當(dāng)腰為4時(shí)，周長(zhǎng)=3+4+4=11.所以答案為10或11.
2．（1）（2010寧波市）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線(xiàn)，則圖中的等腰三角形有 （ ）
A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)
考點(diǎn)：等腰三角形
答案：A
（2）如圖在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，則∠CBD的度數(shù)是______.
考點(diǎn)：直角三角形兩銳角互余.
解析：△ABC 中，∠C=∠ABC-∠A =90°-50°=40°
又∵BD∥AC， ∴∠CBD=∠C=40°.
3．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C滿(mǎn)足關(guān)系式∠B+∠C=3∠A，則此三角形中( )
A.一定有一個(gè)內(nèi)角為45° B.一定有一個(gè)內(nèi)角為60°
C.一定是直角三角形 D.一定是鈍角三角形
考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和180°.
思路點(diǎn)撥：會(huì)靈活運(yùn)和三角形內(nèi)角和等于180°這一定理，即∠B+∠C=180°-∠A.
解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A
∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴ ∠A=45°，∴選A，其它三個(gè)答案不能確定.
舉一反三：
【變式1】下圖能說(shuō)明∠1＞∠2的是( )
考點(diǎn)：三角形外角性質(zhì).
思路點(diǎn)撥：本類(lèi)題目考查學(xué)生了解三角形外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角.
解析：A中∠1和∠2是對(duì)頂角，∠1=∠2；B中∠1和∠2是同位角，若兩直線(xiàn)平行則相等，不平行則不一定相等；C中∠1是三角形的一個(gè)外角，∠2是和它不相鄰的內(nèi)角，所以∠1＞∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故選C.
總結(jié)升華：三角形內(nèi)角和180°以及邊角之間的關(guān)系，在習(xí)題中往往是一個(gè)隱藏的已知條，在做題時(shí)要注意審題，并隨時(shí)作為檢驗(yàn)自己解題是否正確的標(biāo)準(zhǔn).
【變式2】如果三角形的一個(gè)內(nèi)角等于其他兩個(gè)內(nèi)角的和，這個(gè)三角形是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不能確定
思路點(diǎn)撥：理解直角三角形定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和得出結(jié)論.
解析：若△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C
又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以選C.
【變式3】下列命題：(1)等邊三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和；(3)三角形中最大的內(nèi)角不能小于60°；(4)銳角三角形中，任意兩內(nèi)角之和必大于90°，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )
A.0 個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
思路點(diǎn)撥：本題的解題關(guān)鍵是要理解定義，掌握每種三角形中角的度數(shù)的確定.
解析：(2)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形中最大的內(nèi)角若小于60°，則三個(gè)角的和就小于180°，不符合三角形內(nèi)角和定理，故(3)正確；(4)三角形中，任意兩內(nèi)角之和若不大于90°，則另一個(gè)內(nèi)角就大于或等于90°，就不能是銳角三角形.所以中有(2)錯(cuò)，故選B.
考點(diǎn)二、三角形的“四心”和中位線(xiàn)
4．（1）與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的( )
A.二條中線(xiàn)的交點(diǎn) B. 二條高線(xiàn)的交點(diǎn)
C.三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn) D.三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)
考點(diǎn)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定理.
思路點(diǎn)撥：三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)是外心，是三角形外接圓的圓心，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.答案D若改成二邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)也正確.
（２）（2010四川眉）如圖，將第一個(gè)圖（圖①）所示的正三角形連結(jié)各邊中點(diǎn)進(jìn)行分割，得到第二個(gè)圖（圖②）；再將第二個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，得到第三個(gè)圖（圖③）；再將第三個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，……，則得到的第五個(gè)圖中，共有________個(gè)正三角形．
考點(diǎn)：三角形中位線(xiàn)找規(guī)律
思路點(diǎn)撥：圖①有１個(gè)正三角形；圖②有（１＋４）個(gè)正三角形；
圖③有（１＋４＋４）個(gè)正三角形；圖④有（１＋４＋４＋４）個(gè)正三角形；
圖⑤有（１＋４＋４＋４＋４）個(gè)正三角形；…．
答案：17
5．一個(gè)三角形的內(nèi)心在它的一條高線(xiàn)上，則這個(gè)三角形一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
考點(diǎn)：三角形角平分線(xiàn)定理.
思路點(diǎn)撥：本題考查三角形的內(nèi)心是三角形角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，若內(nèi)心在一條高線(xiàn)上，又符合三線(xiàn)合一的性質(zhì).所以該三角形是等腰三角形.故選B.
舉一反三：
【變式1】如圖，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O為外心；(2)O為內(nèi)心；(3)O為垂心；分別求∠BOC的度數(shù).
考點(diǎn)：三角形外心、內(nèi)心、垂心性質(zhì).
解析：∠A是銳角時(shí)，(1)O為外心時(shí)，∠BOC=2∠A =116°；
(2)O為內(nèi)心時(shí)，∠BOC=90°+ ∠A=119°；
(3)O為垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.
【變式2】如果一個(gè)三角形的內(nèi)心，外心都在三角形內(nèi)，則這個(gè)三角形是( )
A.銳角三角形 B.只有兩邊相等的銳角三角形
C.直角三角形 D.銳角三角形或直角三角形
解析：三角形的內(nèi)心都在三角形內(nèi)部；銳角三角形外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外心在三角形斜邊的中點(diǎn)上、鈍角三角形的外心三角形外部.故選A.
【變式3】能把一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形的線(xiàn)段，是三角形的( )
A.中線(xiàn) B.高線(xiàn) C.邊的中垂線(xiàn) D.角平分線(xiàn)
思路點(diǎn)撥：三角形面積相等，可利用底、高相等或相同得到.
解析：三角形的一條中線(xiàn)分得的兩個(gè)三角形底相等，高相同.應(yīng)選A.
6．（1）（2010廣東茂名）如圖，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需用籬笆的長(zhǎng)是（ ）
A、15米 B、20米 C、25米 D、30米
考點(diǎn)：三角形中位線(xiàn)定理.
思路點(diǎn)撥：ＢＥ=ＡＥ＝５ ，ＣＦ＝ＦＡ＝５，ＢＣ＝２ＥＦ＝１０
答案：C
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/chusan/41672.html
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