圖形存在問題在各地中考中屢見不鮮.這類問題常常以圖形的變化或圖形上點的運動為主線,要求我們判斷和說明符合某一結(jié)論的現(xiàn)象是否存在.解答這類問題,可首先假設(shè)這種現(xiàn)象存在,再考慮利用化“動”為“靜”的策略,構(gòu)造方程關(guān)系式或函數(shù) 關(guān)系式,進(jìn)行判斷和說明.現(xiàn)舉例分析如下:
一、從構(gòu)造方程關(guān)系式入手
例1 (臨沂市中考)已知,在矩形 中, , ,動點 從點 出發(fā)沿邊 向點 運動.
(1)如圖1,當(dāng) ,點 運動到邊 的中點時,請證明: .
(2)如圖2,若 時,點 在運動的過程中,是否存在 ?若存在,請給予證明;若不存在,請說明理由.
解析(1)先證明 .
∵四邊形 是矩形,
∴ .
∵ ,點M= 是邊 的中點,
∴ , ,
∴ 和 都是等腰直角三角形,
∴ , ,
∴ .
(2)假設(shè)存在題中所求,則存在符合 要求的正實數(shù) ,使得 .
由 ,得
當(dāng) 時,
,且兩根均大于0,所以存在兩個不同的正實數(shù) ,使得 ,必存在使 的點 ;
當(dāng) 時,
,所以不存在正實數(shù) ,使得 ,必不存在使 的點 .
說明 解答(1)的關(guān)鍵在于將證明 轉(zhuǎn)化為證明 和 都是等腰直角三角形.
解答(2)的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn):若 ,則 .根據(jù)其對 應(yīng)邊的比相等的性質(zhì),能構(gòu)造一個關(guān)于 的一元二次方程.接下去只需要判斷或說明這個關(guān)于 的 一元二次方程是否存在正實數(shù)根.
例2 (南通市中考)如圖3,在 中, c, cm,點 是 邊的中點,點 從點 出發(fā),以 c m/s( )的速度沿 勻速向點 運動;點 同時以1cm/s的速度從點 出發(fā),沿 勻速向點 運動,其中一個動點到達(dá)端點時,另一個動點也隨之停止運動,設(shè)它們運動的時間為 s.
(1)若 , ,求 的值.
(2)點 在 上,四邊形 為平行四邊形.
①若 ,求 的長.
②是否存在實數(shù) ,使得點 在 的平分線上?若存在,請求出 的值;若不存在,請說明理由.
解析 (1)在 中,由已知條件 ,可得
∵ 時,
, , ,
∴ ,
解得 .
(2)①由四邊形 為平行四邊形,得
解得 .
∴ .
②假設(shè)存在符合要求的實數(shù) ,連 (如圖4).
∵ 平分 , ,
∴ , ,
∴ , ,
∴四邊形 是菱形.
因為 ,所以不存在實數(shù)符合要求的 ,使得點 在 的平分線上.
說明 解答(1)的關(guān)鍵在于利用 的條件,根據(jù)其對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)構(gòu)造一個關(guān)于 的方程.
解答(2)①的關(guān)鍵在于從四邊形 為平行四邊形入手,推出 為等腰三角形及 ;解答(2)②的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn),若點 在 的平分線上時,四邊形 是菱形,根據(jù) 且 ,能得兩個關(guān)于 和 的方程.
二、從構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式入手
例3 (南充市)如圖5,在 中, , 是 中點,把一三角尺的直角頂點放在點 處,以 為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)三角尺, 使三角尺的兩直角邊與 的兩直角邊分別交于點 、 .
(1)求證: .
(2)連結(jié) ,探究:在旋轉(zhuǎn)三角尺 的過程中, 的周長是否存在最小值?若存在,求出最小值; 若不存在,請說明理由.
解析 (1)如圖6所示,連結(jié) ,只需證明 .
因為 是等腰直角三角形,且 是斜邊 的中點,
∴ , , 平分 .
∴ .
(2)假設(shè)存在最小值,則存在正實數(shù) ,使得 ,且使得 的周長 有最小值.
∴ ,
∵ ,
∴當(dāng) 時, 有最小值為8,
∴ 的最小值 .
所以在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中, 的周長存在最小值為 .
說明 解答(7)的關(guān)鍵在于連結(jié) ,將證明 轉(zhuǎn)化為證明 .
解答(2)的關(guān)鍵在 于構(gòu)造l= 與 的函數(shù)關(guān)系式,并利用配方方法確定 的 最小值為8.
例4 (德州市)如圖7所示,現(xiàn)有一張邊長為4的 正方形紙片 ,點 為正方形 邊上的一點(不與點 、 點重合).將正方形紙片折疊,使點 落在 處,點 落在 處, 交 于 ,折痕為 ,連結(jié) 、 .
(1)求證: .
(2)當(dāng)點 在邊 上移動時, 的周長是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論.
(3)設(shè) 為 ,四邊形 的面積為 ,試問 是否存在最小值?若存在,求出這個最小值;若不存在,請說明理由.
解析 (1)注意 到 ,那么 .
因為四邊形 沿拆痕 折疊后與四邊形 重合,
∴ ,
∴ .
(2)如圖8,過點 作 于點 .
∵ ,
∴點 在 的平分線上,
∴ ,
∴ , ,
∴ , ,
∴
∴ 的 周長 .
所以點 在邊 上移動時, 的周長不會發(fā)生變化.
(3)假設(shè)四邊形 的面積 存在最小值.由于四邊形 沿折痕 折疊后與四邊形 重合,則 .
∵ ,
.
過點 作 ,垂足為 ,
則 , .
∵ 為折痕,點 與點 是一對對應(yīng)點,
.
因為當(dāng) 時, 的最小值為6,
所以四邊形 的面積 存在最小值為6.
說明解答(1)的關(guān)鍵在于利用軸對稱圖形的性質(zhì)證明 .
解答(2)的關(guān)鍵在于過點 作 于點 ,并利用(1)的結(jié)論證明 .
解答(3)的關(guān)鍵在于用 分別表示 和 .要用 表示 離不開用 表示 ,要用 表示 ,過點 作 至關(guān)重要.
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