2018-2019學(xué)年江西省萍 鄉(xiāng)市蘆溪縣九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題(本大題共6小題,每小題3分,共18分)
1.(3分)下列方程是一元二次方程的是( 。
A.x?2=0 B.x2?4x?1=0 C.x2?2x?3 D.xy+1=0
2.(3分)已知: = ,則下列式子一定成立的是( 。
A.3x=4y B.x= y C.4x=3y D. xy=12
3.(3分)將方程x2+8x+9=0配方后,原方程可變形為( 。
A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=25 C.(x+4)2=?9 D.(x+8)2=7
4.(3分)從一副54張的撲克牌中任意抽一張,以下事件中可能性最大的是( 。
A.抽到方塊8 B.抽到K牌 C.抽到梅花 D.抽到大王
5.(3分)已知 = = =k(a+b+c≠0),則k=( 。
A.0 B.1 C.2 D.
6.(3分)如圖,在▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BG⊥AE,垂足為G,BG= ,則△CEF的周長(zhǎng)為( 。
A.8 B.9.5 C.10 D.11.5
二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分)
7.(3分)若a是方程x2?x?1=0的一個(gè)根,則代數(shù)式a2?a的值是 。
8.(3分)線段AB長(zhǎng)10cm,點(diǎn)P在線段AB上,且滿足 = ,那么AP的長(zhǎng)為 cm.
9.(3分)某校九年級(jí)共有1,2,3,4四個(gè)班,現(xiàn)從這 四個(gè)班中隨機(jī)抽取兩個(gè)班進(jìn)行一場(chǎng)籃球比賽,則恰好抽到1班和2班的概率是 。
10.(3分)如圖,直線AD∥BE∥CF,BC= AC,DE=4,那么EF的值是 .
11.(3分)關(guān)于x的一元二次方程(a?5)x2?4x?1=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。
12.(3分)如圖,菱形ABCD中,P為AB中點(diǎn),∠A=60°,折疊菱形ABCD,使點(diǎn)C落在DP所在的直線上,得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的折痕DE,則∠DEC的大小為 °.
三、解答題(本大題共5小題,每小題6分,共30分)
13.(6分)解方程
(1)(4x?1)2?x2=0
(2)x2?3x?2=0.
14.(6分)已知:如圖,在矩形ABCD中,E是BC邊一點(diǎn),DE平分∠AD C,EF∥DC角AD邊于點(diǎn)F,連結(jié)BD.
(1)求證:四邊形EFCD是正方形;
(2)若BE=1,ED=2 ,求BD的長(zhǎng).
15.(6分)某花圃用花盆培育某種花苗,經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系.每盆植入3株時(shí),平均單株盈利3元;以同樣的栽培條件,若每盆增加1株,平均單株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達(dá)到10元,每盆應(yīng)該植多少株?
16.(6分)如圖,六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形,AB是其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的對(duì)角線,請(qǐng)?jiān)诖箝L(zhǎng)方形中完成下列畫圖,要求:①僅用無(wú)刻度直尺,②保留必要的畫圖痕跡.
(1)在圖1中畫出一個(gè)45°角,使點(diǎn)A或點(diǎn)B是這個(gè)角的頂點(diǎn),且AB為這個(gè)角的一邊;
(2)在圖2中畫出線段AB的垂直平分線.
17.(6分)如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線A、C與BD相交于點(diǎn)O,E為BC上一點(diǎn),C E=5,F(xiàn)為DE的中點(diǎn).若△CEF的周長(zhǎng)為18,求OF的長(zhǎng).
四、解答題(本大題共4小題,共32分)
18.(8分)在一個(gè)不透明的口袋里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球(除顏色外其余都相同),其中紅球有1個(gè),藍(lán)球有1個(gè),現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)是紅球的概率為 .
(1)求袋中黃球的個(gè)數(shù).
(2)第一次摸出一個(gè)球(放回),第二次再摸一個(gè)球,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率.
(3)若規(guī)定每次摸到紅球得5分,每次摸到黃球得3分,每次摸到藍(lán)球得1分,小芳摸6次球(每次摸1個(gè)球,摸后放回)合計(jì)得20分,請(qǐng)直接寫出小芳有哪幾種摸法?(不分球顏色的先后順序)
19.(8分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折疊,使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處.
(1)求證:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長(zhǎng)度.
20.(8分)如圖所示,學(xué)校準(zhǔn)備在教學(xué)樓后面搭建一個(gè)簡(jiǎn)易矩形自行車車棚,一邊利用教學(xué)樓的后墻(可利用的墻長(zhǎng)為19m),另外三邊利用學(xué),F(xiàn)有總長(zhǎng)38m的鐵欄圍成.
(1)若圍成的面積為180m2,試求出自行車車棚的長(zhǎng)和寬;
(2)能圍成的面積為200m2自行車車棚嗎?如果能,請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
21.(8分)如圖,點(diǎn)E,F(xiàn)為菱形ABCD對(duì)角線BD的三等分點(diǎn).
(1)試判斷四邊形AECF的形狀,并加以證明;
(2)若菱形ABCD的周長(zhǎng)為52,BD為24,試求四邊形AECF的面積.
五、解答題(本大題共1小題,共10分)
22.(10分)如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證:OE=OF;
(2)若CE=8,CF=6,求OC的長(zhǎng);
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AECF是矩形?并說(shuō)明理由.
六、解答題(本大題共1小題,共12分)
23.(12分)△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.
(1)觀察猜想
如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),
①BC與CF的位置關(guān)系為: 。
②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為: ;(將結(jié)論直接寫在橫線上)
(2)數(shù)學(xué)思考
如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明.
(3)拓展延伸
如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE.若已知AB=2 ,CD= BC,請(qǐng)求出GE的長(zhǎng).
2018-2019學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市蘆溪縣九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共6小題,每小題3分,共18分)
1.(3分)下列方程是一元二次方程的是( )
A.x?2=0 B.x2?4x?1=0 C.x2?2x?3 D.xy+1=0
【解答】解:A、本方程未知數(shù)x的最高次數(shù)是1;故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、本方程符合一元二次方程的定義;故本選項(xiàng)正確;
C、x2?2x?3是代數(shù)式,不是等式;故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、本方程中含有兩個(gè)未知數(shù)x和y;故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:B.
2.(3分)已知: = ,則下列式子一定成立的是( )
A.3x=4y B.x= y C.4x=3y D.xy=12
【解答】解:∵ = ,
∴4x=3y.
故選:C.
3.(3分)將方程x2+8x+9=0配方后,原方程可變形為( 。
A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=25 C.(x+4)2=?9 D.(x+8)2=7
【解答】解:x2+8x=?9,
x2+8x+16=7,
(x+4)2=7.
故選:A.
4.(3分)從一副54張的撲克牌中任意抽一張,以下事件中可能性最大的是( 。
A.抽到方塊8 B.抽到K牌 C.抽到梅花 D.抽到大王
【解答】解:A、抽到方塊8的可能性是 ;
B、抽到K牌的可能行是 = ;
C、抽到梅花的可能行是 ;
D、抽到大王的可能性是 ;
則可能性最大的是抽到梅花;
故選:C.
5.(3分)已知 = = =k(a+b+c≠0),則k=( )
A.0 B.1 C.2 D.
【解答】解;由 = = =k,得
k= = = ,
故選:D.
6.(3分)如圖,在▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BG⊥AE,垂足為G,BG= ,則△CEF的周長(zhǎng)為( )
A.8 B.9.5 C.10 D.11.5
【解答】解:∵在▱ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,
∴AB∥DC,∠BAF=∠DAF,
∴∠BAF=∠F,
∴∠DAF=∠F,
∴AD=FD,
∴△ADF是等腰三角形,
同理△ABE是等腰三角形,
AD=DF=9;
∵AB=BE=6,
∴CF=3;
∴在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG= ,可得:AG=2,
又BG⊥AE,
∴AE=2AG=4,
∴△ABE的周長(zhǎng)等于16,
又∵▱ABCD
∴△CEF∽△BEA,相似比為1:2,
∴△CEF的周長(zhǎng)為8.
故選:A.
二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分)
7.(3分) 若a是方程x2?x?1=0的一個(gè)根,則代數(shù)式a2?a的值是 1 .
【解答】解:把x=a代入x2?x?1=0得a2?a?1=0,
所以a2?a=1.
故答案為1.
8.(3分)線段AB長(zhǎng)10cm,點(diǎn)P在線段AB上,且滿足 = ,那么AP的長(zhǎng)為 5 ?5 cm.
【解答】解:設(shè)AP=x,則BP=10?x,
∵ = ,
∴ = ,
∴x1=5 ?5,x2=?5 ?5(不合題意,舍去),
∴AP的長(zhǎng)為(5 ?5)cm.
故答案為:5 ?5.
9.(3分)某校九年級(jí)共有1,2,3,4四個(gè)班,現(xiàn)從這四個(gè)班中隨機(jī)抽取兩個(gè)班進(jìn)行一場(chǎng)籃球比賽,則恰好抽到1班和2班的概率是 。
【解答】解:畫樹狀圖為:
共有12種等可能的結(jié)果數(shù),其中恰好抽到1班和2班的結(jié)果數(shù)為2,
所以恰好抽到1班和2班的概率= = .
故答案為: .
10.(3分)如圖,直線AD∥BE∥CF,BC= AC,DE=4,那么EF的值是 2。
【解答】解:∵BC= AC,
∴ = ,
∵AD∥BE∥CF,
∴ = ,
∵DE=4,
∴ =2,
∴EF=2.
故答案為:2.
11.(3分)關(guān)于x的一元二次方程(a?5)x2?4x?1=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a≥1且a≠5。
【解答】解:因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根,
所以△=b2?4ac=16+4(a?5)≥0,
解之得a≥1.
∵a?5≠0
∴a≠5
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1且a≠5
故答案為a≥1且a≠5.
12.(3分)如圖,菱形ABCD中,P為AB中點(diǎn),∠A=60°,折疊菱形ABCD,使點(diǎn)C落在DP所在的直線上,得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的折痕DE,則∠DEC的大小為 75 °.
【解答】解:連接BD,
∵四邊形ABCD為菱形,∠A=60°,
∴△ABD為等邊三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,
∵P為AB的中點(diǎn),
∴DP為∠ADB的平分線,即∠ADP=∠BDP=30°,
∴∠PDC=90°,
∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°,
在△DEC中,∠DEC=180°?(∠CDE+∠C)=75°.
故答案為:75.
三、解答題(本大 題共5小題,每小題6分,共30分)
13.(6分)解方程
(1)(4x?1)2?x2=0
(2)x2?3x?2=0.
【解答】解:(1)(4x?1)2?x2=0,
(4x?1+x)(4x?1?x)=0,
(5x?1)(3x?1)=0,
解得x1= ,x2=? ;
(2)x2?3x?2=0,
b2?4ac=(?3)2?4×1×(?2)=17,
x= ,
x1= ,x2= .
14.(6分)已知:如圖,在矩形ABCD中,E是BC邊一點(diǎn),DE平分∠ADC,EF∥DC角AD邊于點(diǎn)F,連結(jié)BD.
(1)求證:四邊形EFCD是正方形;
(2)若BE=1,E D=2 ,求BD的長(zhǎng).
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ADC=∠C=90°,
∵EF∥DC,
∴四邊形FECD為平行四邊形,
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠CDE=∠DEC,
∴CD=CE,
∴四邊形FECD是菱形,
又∵∠C=90°,
∴平行四邊形FECD是正方形;
(2)∵四邊形FECD是正方形,
∴∠CDE=45°,
∵ ,
∴CE=CD=ED•sin45°=2 × =2,
∴BC=BE+EC=1+2=3,
∴BD2=BC2+CD2=32+22=13,
∴BD= .
15.(6分)某花圃用花盆培育某種花苗,經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系.每盆植入3株時(shí),平均單株盈利3元;以同樣的栽培條件,若每盆增加1株,平均單株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達(dá)到10元,每盆應(yīng)該植多少株?
【解答】解:設(shè)每盆花苗增加x株,則每盆花苗有(x+3)株,
平均單株盈利為:(3?0.5x)元,
由題意得:(x+3)(3?0.5x)=10.
化簡(jiǎn),整理,的x2?3x+2=0.
解這個(gè)方程,得x1=1,x2=2,
則3+1=4,2+3=5,
答:每盆應(yīng)植4株或者5株.
16.(6分)如圖,六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形,AB是其 中一個(gè)小長(zhǎng)方形的對(duì)角線,請(qǐng)?jiān)诖箝L(zhǎng)方形中完成下列畫圖,要求:①僅用無(wú)刻度直尺,②保留必要的畫圖痕跡.
(1)在圖1中畫出一個(gè)45°角,使點(diǎn)A或點(diǎn)B是這個(gè)角的頂點(diǎn),且AB為這個(gè)角的一邊;
(2)在圖2中畫出線段AB的垂直平分線.
【解答】解:(1)如圖所示,∠ABC=45°.(AB、AC是小長(zhǎng)方形的對(duì)角線).
(2)線段AB的垂直平分線如圖所示,
點(diǎn)M是長(zhǎng)方形AFBE是對(duì)角線交點(diǎn),點(diǎn)N是正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),直線MN就是所求的線段AB的垂直平分線.
17.(6分)如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線A、C與BD相交于點(diǎn)O,E為BC上一點(diǎn) ,CE=5,F(xiàn)為DE的中點(diǎn).若△CEF的周長(zhǎng)為18,求OF的長(zhǎng).
【解答】解:∵CE=5,△CEF的周長(zhǎng)為18,
∴CF+EF=18?5=13.
∵F為DE的中點(diǎn),
∴DF=EF.
∵∠BCD=90°,
∴CF= DE,
∴EF=CF= DE=6.5,
∴DE=2EF=13,
∴CD= = =12.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=CD=12,O為BD的中點(diǎn),
∴OF是△BDE的中位線,
∴OF= (BC?CE)= (12?5)= .
四、解答題(本大題共4小題,共32分)
18.(8分)在一個(gè)不透明的口袋里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏 色的球(除顏色外其余都相同),其中紅球有1個(gè),藍(lán)球有1個(gè),現(xiàn)從中任意 摸出一個(gè)是紅球的概率為 .
(1)求袋中黃球的個(gè)數(shù).
(2)第一次摸出一個(gè)球(放回),第二次再摸一個(gè)球,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法求兩次摸到都是紅球的概率.
(3)若規(guī)定每次摸到紅球得5分, 每次摸到黃球得3分,每次摸到藍(lán)球得1分,小芳摸6次球(每次摸1個(gè)球,摸后放回)合計(jì)得20分,請(qǐng)直接寫出小芳有哪幾種摸法?(不分球顏色的先后順序)
【解答】解:(1)設(shè)袋中黃球的個(gè)數(shù)為x,根據(jù)題意得 = ,
解得x=1,
即袋中有1個(gè)黃球;
(2)畫樹狀圖為:
,
共有9種等可能的結(jié)果數(shù),其中兩次摸到都是紅球的占1種,
所有兩次摸到都是紅球的概率= ;
(3)設(shè)摸到紅球、黃球、藍(lán)球的次數(shù)分別為x、y、z,
根據(jù)題意得 ,
由①變形得z=6?x?y③,
把③代入②得5x+3y+6?x?y=20,
整理得2x+y=7,
當(dāng)x=0,y=7(舍去);當(dāng)x=1時(shí),y=5,z=0;當(dāng)x=2,y=3,此時(shí)z=1;當(dāng)x=3,y=1,此時(shí)z=2,
所以小芳的摸法有:1次摸到紅球、5次摸到黃球;2次摸到紅球、3次摸到黃球,1次摸到藍(lán)球;3次摸到紅球、1次摸到黃球,2次摸到藍(lán)球.
19.(8分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折疊,使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處.
(1)求證:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長(zhǎng)度.
【解答】證明:(1)∵∠C=90°,△ACD沿AD折疊,
∴∠C=∠AED=90°,
∴∠DEB=∠C=90°,
又∵∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAC;
(2)由勾股定理得,AB=10.
由折疊的性質(zhì)知,AE=AC=6,DE=CD,∠AED=∠C=90°.
∴BE=AB?AE=10?6=4,
在Rt△BDE中,由勾股定理得,
DE2+BE2=BD2,
即CD2+42=(8?CD)2,
解得:CD=3,
在Rt△ACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,
即32+62=AD2,
解得:AD=3 .
20.(8分)如圖所示,學(xué)校準(zhǔn)備在教學(xué)樓后面搭建一個(gè)簡(jiǎn)易矩形自行車車棚,一邊利用教學(xué)樓的后墻(可利用的墻長(zhǎng)為19m),另外三邊利用學(xué),F(xiàn)有總長(zhǎng)38m的鐵欄圍成.
(1)若圍成的面積為180m2,試求出自行車車棚的長(zhǎng)和寬;
(2)能圍成的面積為200m2自行車車棚嗎?如果能,請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解答】解:(1)設(shè)AB=x,則BC=38?2x;
根據(jù)題意列方程的,
x(38?2x)=180,
解得x1=10,x2=9;
當(dāng)x=10,38?2x=18(米),
當(dāng)x=9,38?2x=20(米),而墻長(zhǎng)19m,不合題意舍去,
答:若圍成的面積為180m2,自行車車棚的長(zhǎng)和寬分別為10米,18米;
(2)根據(jù)題意列方程的,
x(38?2x)=200,
整理得出:x2?19x+100=0;
△=b2?4ac=361?400=?39<0,
故此方程沒有實(shí)數(shù)根,
答:因此如果墻長(zhǎng)19m,滿足條件的花園面積不能達(dá)到200m2.
21.(8分)如圖,點(diǎn)E,F(xiàn)為菱形ABCD對(duì)角線BD的三等分點(diǎn).
(1)試判斷四邊形AECF的形狀,并加以證明;
(2)若菱形ABCD的周長(zhǎng)為52,BD為24,試求四邊形AECF的面積.
【解答】解:(1)四邊形ABCD為菱形.
理由如下:如圖,連接AC交BD于點(diǎn)O,
∵四邊形AECF是菱形,
∴AC⊥BD,AO=OC,EO=OF,
又∵點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn),
∴BE=FD,
∴BO=OD,
∵AO=OC,
∴四邊形ABCD為平行四邊形,
∵AC⊥BD,
∴四邊形ABCD為菱形;
(2) ∵四邊形ABCD為菱形,且周長(zhǎng)為52,
∴AB=BC=13,
∵BD=24,
∴EF=8,OB= BD=12,
由勾股定理得,AO= =5,
∴AC=2AO=2×5=10,
∴S四邊形AECF= EF•AC= ×8×10=40.
五、解答題(本大題共1小題,共10分)
22.(10分)如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證:OE=OF;
(2)若CE=8,CF=6,求OC的長(zhǎng);
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AECF是矩形?并說(shuō)明理由.
【解答】:(1)證明:∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6,
∵M(jìn)N∥BC,
∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,F(xiàn)O=CO,
∴OE=OF;
(2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6,
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵CE=8,CF=6,
∴EF= =10,
∴OC= EF=5;
(3)答:當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.
證明:當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí),AO=CO,
∵EO=FO,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵∠ECF=90°,
∴平行四邊形AECF是矩形.
六、解答題(本大題共1小題,共12分)
23.(12分)△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.
(1)觀察猜想
如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),
①BC與CF的位置關(guān)系為: 垂直。
②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為: BC=CD+CF;(將結(jié)論直接寫在橫線上)
(2)數(shù)學(xué)思考
如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明.
(3)拓展延伸
如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE.若已知AB=2 ,CD= BC,請(qǐng)求出GE的長(zhǎng).
【解答】解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF;
故答案為:垂直;
②△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD;
故答案為:BC=CF+CD;
(2)CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.
∵正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠ABD=∠ACF,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠ABD=180°?45°=135°,
∴∠BCF=∠ACF?∠ACB=135°?45°=90°,
∴CF⊥BC.
∵CD=DB+BC,DB=CF,
∴CD=CF+BC.
(3)解:過(guò)A作AH⊥BC于H,過(guò)E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC= AB=4,AH= BC=2,
∴CD= BC=1,CH= BC=2,
∴DH=3,
由(2)證得BC⊥CF,CF=BD=5,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四邊形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN,
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM,
在△ADH與△DEM中, ,
∴△ADH≌△DEM,
∴EM=DH=3,DM=AH=2,
∴CN=EM=3,EN=CM=3,
∵∠ABC=45°,
∴∠BGC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∴CG=BC=4,
∴GN=1,
∴EG= = .
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