第19章矩形、菱形與正方形
一、選擇題
1.下列命題正確的是( )
A. 對角線相等的四邊形是矩形 B. 對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
C. 對角線互相垂直的四邊形是菱形 D. 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
2.若菱形的兩條對角線長分別為6和8, 則這個菱形的周長為( )
A. 20 B. 16 C. 12 D. 10
3.正方形具備而菱形不具備的性質(zhì)是()
A. 對角線互相平分 B. 對角線互相垂直 C. 對角線相等 D. 每條對角線平分一組對角
4.在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,給出下列條件:①AB∥CD; ②AB=CD; ③OA=OC;④OB=OD; ⑤AC⊥BD;⑥AC平分∠BAD.則下列各組組合中,不能推出四邊形ABCD為菱形的是( )
A. ①②④ B. ③④⑤ C. ①②⑤ D. ①②⑥
5.如圖,將正方形OABC放在平面直角坐標系xOy中,O是原點,若點A的坐標為(1, ),則點C的坐標為( 。
A. ( , 1) B. (?1, ) C. (? , 1) D. (? , ?1)
6.已知:如圖,在▱ABCD中,點E在AD上,連接BE,DF∥BE交BC于點F,AF與BE交于點M,CE與DF交于點N,AF,BE分別平分∠BAD,∠ABC;CE,DF分別平分∠BCD,∠ADC,則四邊形MFNE是( 。
A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四邊形 D. 正方形
7.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,對角線AC、BD相交于點O,過點O作OE垂直AC交AD于點E,則AE的長是( )
A. 3 B. 5 C. 2.4 D. 2.5
8.正方形四邊中點的連線圍成的四邊形(最準確的說法)一定是( 。
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四邊形
9.如圖,點O是矩形ABCD的對角線AC的中點,OM∥AB交AD于點M,若OM=3,BC=10,則OB的長為( )
A. 5 B. 4 C. D.
10.如圖,四邊形ABCD為菱形,AB=5,BD=8,AE⊥CD于E,則AE的長為( )
A. B. C. D.
11.如圖,正方形ABCD的邊長為8,在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5,則四邊形EFGH的面積是( )
A. 30 B. 34 C. 36 D. 40
12.如圖,正方形ABCD中,以對角線AC為一邊作菱形AEFC,則∠FAB等于( )
A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 135°
二、填空題
13.如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,請你添加一個適當?shù)臈l件________使其成為菱形(只填一個即可).
14.如圖,剪兩張等寬對邊平行的紙條,隨意交叉疊放在一起,轉(zhuǎn)動其中的一張,重合的部分構(gòu)成了一個四邊形,這個四邊形是________.
15.如圖,矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O,過點O的直線分別交AD和BC于點E、F,AB=2,BC=3,則圖中陰影部分的面積為________
16.已知正方形的周長是8 ,則對角線長是________.
17.如圖,BF平行于正方形ABCD的對角線AC,點E在BF上,且AE=AC,CF∥AE,則∠BCF的度數(shù)為________.
18.如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA , 對角線AC與BD相交于點O , 若不增加任何字母與輔助線,要使四邊形ABCD是正方形,則還需增加一個條件是________
19.已知:如圖所示,E是正方形ABCD邊BC延長線一點,若EC=AC,AE交CD于F,則∠AFC=________度.
20.如圖,矩形ABCD中,DE⊥AC于點E,∠EDC:∠EDA=1:3,且AC=12,則DE的長度是________ 。ńY(jié)果用根號表示).
三、解答題
21.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,連接對角線AC,E、F是對角線AC上兩點,滿足AE=CF,求證:四邊形DEBF是平行四邊形.
22.如圖,菱形ABCD中,對角線AC、BC相交于點O,H為AD邊中點,菱形ABCD的周長為28,求OH的長?
23.如圖,在▱ABCD中,∠DAB=60°,點E,F(xiàn)分別在CD,AB的延長線上,且AE=AD,CF=CB.
(1)求證:四邊形AFCE是平行四邊形;
(2)若去掉已知條件“∠DAB=∠60°”,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由.
24.四邊形ABCD是正方形,對角線AC,BD相交于點O.
(1)如圖1,點P是正方形ABCD外一點,連接OP,以OP為一邊,作正方形OPMN,且邊ON與邊BC相交,連接AP,BN.
①依題意補全圖1;
②判斷AP與BN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,寫出結(jié)論并加以證明;
(2)點P在AB延長線上,且∠APO=30°,連接OP,以OP為一邊,作正方形OPMN,且邊ON與BC的延長線恰交于點N,連接CM,若AB=2,求CM的長(不必寫出計算結(jié)果,簡述求CM長的過程)
參考答案
一、選擇題
D A C A C B B C D C B A
二、填空題
13. AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC 14. 菱形 15. 3
16. 4 17. 105°
18. AC=BD或AB⊥BC(答案不唯一)
19. 112.5 20.
三、解答題
21. 證明:連接BD,交AC于點O, ∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵AE=CF,
∴OA?AE=OC?CF,
即OE=OF,
∴四邊形DEBF是平行四邊形.
22. 解:在菱形ABCD中,AB=AD=BC=DC,AO=OC,
∵菱形的周長為28,
∴AB=7,
∵H為AD邊的中點,
∴OH為△ABD的中位線,
∴OH= AB= ×7=3.5.
23. (1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°.
∴∠ADE=∠CBF=60°.
∵AE=AD,CF=CB,
∴△AED,△CFB是正三角形.
∴∠AEC=∠BFC=60°,∠EAF=∠FCE=120°.
∴四邊形AFCE是平行四邊形
(2)解:上述結(jié)論還成立. 證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴DC∥AB,∠CDA=∠CBA,∠DCB=∠DAB,AD=BC,DC=AB.
∴∠ADE=∠CBF.
∵AE=AD,CF=CB,
∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF.
∴∠AED=∠CFB.
又∵AD=BC,
在△ADE和△CBF中.
,
∴△ADE≌△CBF(AAS).
∴∠AED=∠BFC,∠EAD=∠FCB.
又∵∠DAB=∠BCD,
∴∠EAF=∠FCE.
∴四邊形EAFC是平行四邊形.
24. (1)解:①補全圖形如圖1所示,
②結(jié)論:AP=BN,AP⊥BN.
理由:延長NB交AP于H,交OP于K.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴OA=OB,AO⊥BO,
∴∠1+∠2=90°,
∵四邊形OPMN是正方形,
∴OP=ON,∠PON=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
在△APO和△BNO中,
,
∴△APO≌△BNO,
∴AP=BN,∴∠4=∠5,
在△OKN中,∠5+∠6=90°,
∵∠7=∠6,
∴∠4+∠7=90°,
∴∠PHK=90°,
∴AP⊥BN.
(2)解:解題思路如下:
a.首先證明△APO≌△BNO,AP=BN,∠OPA=ONB.
b.作OT⊥AB于T,MS⊥BC于S,由題意可知AT=TB=1,
c.由∠APO=30°,可得PT= ,BN=AP= +1,可得∠POT=∠MNS=60°.
d.由∠POT=∠MNS=60°,OP=MN,
可證,△OTP≌△NSM,
∴PT=MS= ,
∴CN=BN?BC= ?1,
∴SC=SN?CN=2? ,
在RT△MSC中,CM2=MS2+SC2 ,
∴MC的長可求.
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