一、選擇題
1．某商店某種商品(以下提到的商品均指該商品)進(jìn)貨價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為50元時(shí)，一個(gè)月能賣出500件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件商品的單價(jià)每提高1元，則商品一個(gè)月的銷售量會(huì)減少10件．商店為使銷售該商品的月利潤(rùn)最高，應(yīng)將每件商品定價(jià)為(　　)
A．45元　　　　　　　 B．55元
C．65元 D．70元
[答案]　D
[解析]　設(shè)每件商品定價(jià)為x元，則一個(gè)月的銷量為500－(x－50)×10＝1000－10x件，
故月利潤(rùn)為y＝(x－40)•(1000－10x)
＝－10(x－40)(x－100)，
∵x>401000－10x>0，∴40∴當(dāng)x＝70時(shí)，y取最大值，故選D.
2．某債券市場(chǎng)發(fā)行三種債券，A種面值為100元，一年到期本息和為103元；B種面值為50元，半年到期本息和為51.4元；C種面值為100元，但買入價(jià)為97元，一年到期本息和為100元．作為購(gòu)買者，分析這三種債券的收益，從小到大排列為(　　)
A．B，A，C B．A，C，B
C．A，B，C D．C，A，B
[答案]　B
[解析]　A種債券的收益是每100元收益3元；B種債券的利率為51.4－5050，所以100元一年到期的本息和為100(1＋51.4－5050)≈105.68(元)，收益為5.68元；C種債券的利率為100－97100，100元一年到期的本息和為100(1＋100－9797)≈103.09(元)，收益為3.09元．
3．某廠原來(lái)月產(chǎn)量為a，一月份增產(chǎn)10%，二月份比一月份減產(chǎn)10%，設(shè)二月份產(chǎn)量為b，則(　　)
A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)>b
C．a(chǎn)[答案]　B
[解析]　一月份產(chǎn)量為a(1＋10%)，二月份產(chǎn)量b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1%)，
∴b4．甲、乙兩人在一次賽跑中，路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(　　)

A．甲比乙先出發(fā)
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙兩人的速度相同
D．甲先到達(dá)終點(diǎn)
[答案]　D
[解析]　從圖可以看出，甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)(t＝0)，跑相同多的路程(S0)，甲用時(shí)(t1)比乙用時(shí)(t2)較短，即甲比乙的速度快，甲先到達(dá)終點(diǎn)．
5．如圖所示，花壇水池中央有一噴泉，水管OA＝1m，水從噴頭A噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點(diǎn)落下，若最高點(diǎn)距水面2m，A離拋物線對(duì)稱軸1m，則在水池半徑的下列可選值中，最合算的是(　　)

A．3.5m B．3m
C．2.5m D．2m
[答案]　C
[解析]　建立如圖坐標(biāo)系，據(jù)題設(shè)y軸右側(cè)的拋物線方程為y＝a(x－1)2＋2.

∵拋物線過(guò)點(diǎn)A(0,1)
∴將(0,1)點(diǎn)代入方程得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋2.
令y＝0，得x＝1＋2，x＝1－2(舍)，故落在水面上的最遠(yuǎn)點(diǎn)B到O點(diǎn)距離為(1＋2)m，考慮合算，須達(dá)到要求條件下用料最少，∴選C.
6．某市原來(lái)民用電價(jià)為0.52元/kw•h.換裝分時(shí)電表后，峰時(shí)段(早上八點(diǎn)到晚上九點(diǎn))的電價(jià)為0.55元/kw•h，谷時(shí)段(晚上九點(diǎn)到次日早上八點(diǎn))的電價(jià)為0.35元/kw•h.對(duì)于一個(gè)平均每月用電量為200kw•h的家庭，要使節(jié)省的電費(fèi)不少于原來(lái)電費(fèi)的10%，則這個(gè)家庭每月在峰時(shí)段的平均用電量(　　)
A．至少為82kw•h
B．至少為118kw•h
C．至多為198kw•h
D．至多為118kw•h
[答案]　D
[解析]�、僭瓉�(lái)電費(fèi)y1＝0.52×200＝104(元)．
②設(shè)峰時(shí)段用電為xkw•h，電費(fèi)為y，
則y＝x×0.55＋(200－x)×0.35＝0.2x＋70，由題意知0.2x＋70≤(1－10%)y1，
∴x≤118.
答：這個(gè)家庭每月在峰時(shí)段的平均用電量至多為118kw•h.
二、填空題
7．英語(yǔ)老師準(zhǔn)備存款5000元．銀行的定期存款中存期為1年的年利率1.98%.試計(jì)算五年后本金和利息共有________元．
[答案]　5514.99
[解析]　根據(jù)題意，五年后的本息共5000(1＋1.98%)5＝5514.99(元)．
8．設(shè)物體在8∶00到16∶00之間的溫度T是時(shí)間t的函數(shù)：T(t)＝at2

2＋bt＋c(a≠0)，其中溫度的單位是°C，時(shí)間的單位是小時(shí)，t＝0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后，若測(cè)得該物體在8∶00的溫度為8°C，12∶00的溫度為60°C,13∶00的溫度為58°C，則T(t)＝________.
[答案]�。�3t2＋t＋60
[解析]　將t＝－4，T＝8；t＝0，T＝60；t＝1，T＝58分別代入函數(shù)表達(dá)式中即可解出a＝－3，b＝1，c＝60.
三、解答題
9．某物品的價(jià)格從1964年的100元增加到2004年的500元，假設(shè)該物品的價(jià)格年增長(zhǎng)率是平均的，那么2010年該物品的價(jià)格是多少？(精確到元)
[解析]　從1964年開始，設(shè)經(jīng)過(guò)x年后物價(jià)為y，物價(jià)增長(zhǎng)率為a%，則y＝100(1＋a%)x，將x＝40，y＝500代入得500＝100(1＋a%)40，解得a＝4.1，故物價(jià)增長(zhǎng)模型為y＝100(1＋4.1%)x.
到2010年，x＝46，代入上式得y＝100(1＋4.1%)46≈635(元)．
10．有甲、乙兩個(gè)水桶，開始時(shí)水桶甲中有a升水，水通過(guò)水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y＝ae－nt，假設(shè)過(guò)5分鐘時(shí)水桶甲和水桶乙的水相等，求再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間水桶甲的水只有a8.
[解析]　由題意得ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝12，設(shè)再過(guò)t分鐘桶甲中的水只有a8，得ae－n(t＋5)＝a8，所以(12)t＋55＝(e－5n)t＋55＝e－n(t＋5)＝18＝(12)3，∴t＋55＝3，∴t＝10.∴再過(guò)10分鐘桶甲的水只有a8.
11．某報(bào)紙上報(bào)道了兩則廣告，甲商廈實(shí)行有獎(jiǎng)銷售：特等獎(jiǎng)10000元1名，一等獎(jiǎng)1000元2名，二等獎(jiǎng)100元10名，三等獎(jiǎng)5元200名，乙商廈則實(shí)行九五折優(yōu)惠銷售．請(qǐng)你想一想；哪一種銷售方式更吸引人？哪一家商廈提供給消費(fèi)者的實(shí)惠大．面對(duì)問(wèn)題我們并不能一目了然．于是我們首先作了一個(gè)隨機(jī)調(diào)查．把全組的16名學(xué)員作為調(diào)查對(duì)象，其中8人愿意去甲家，6人喜歡去乙家，還有兩人則認(rèn)為去兩家都可以．調(diào)查結(jié)果表明：甲商廈的銷售方式更吸引人，但事實(shí)是否如此呢？請(qǐng)給予說(shuō)明．
[解析]　在實(shí)際問(wèn)題中，甲商廈每組設(shè)獎(jiǎng)銷售的營(yíng)業(yè)額和參加抽獎(jiǎng)的人數(shù)都沒(méi)有限制．所以這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該有幾種情形：
(1)若甲商廈確定每組設(shè)獎(jiǎng)．當(dāng)參加人數(shù)較少時(shí)，少于1＋2＋10＋200＝213人，人們會(huì)認(rèn)為獲獎(jiǎng)機(jī)率較大，則甲商廈的銷售方式更吸引顧客．
(2)若甲商廈的每組營(yíng)業(yè)額較多時(shí)，他給顧客的優(yōu)惠幅度就相應(yīng)的�。�因?yàn)榧咨虖B提供的優(yōu)惠金額是固定的，共10000＋2000＋1000＋1000＝14000元．假設(shè)兩商廈提供的優(yōu)惠都是14000元，則可求乙商廈的營(yíng)業(yè)額為14000÷5%＝280000.
所以由此可得：
(1)當(dāng)兩商廈的營(yíng)業(yè)額都為280000元時(shí)，兩家商廈所提供的優(yōu)惠同樣多．
(2)當(dāng)兩商廈的營(yíng)業(yè)額都不足280000元時(shí)，乙商廈的優(yōu)惠則小于14000元，所以這時(shí)甲商廈提供的優(yōu)惠仍是14000元，優(yōu)惠較大．
(3)當(dāng)兩家的營(yíng)業(yè)額都超過(guò)280000元時(shí)，乙商廈的優(yōu)惠則大于14000元，而甲商廈的優(yōu)惠仍保持14000元時(shí)，乙商廈所提供的優(yōu)惠大．
12．某種新栽樹木5年成材，在此期間年生長(zhǎng)率為20%，以后每年生長(zhǎng)率為x%(x<20)．樹木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以繼續(xù)讓其生長(zhǎng)，哪種方案更好？
[解析]　只需考慮10年的情形．設(shè)新樹苗的木材量為Q，則連續(xù)生長(zhǎng)10年后木材量為：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木材量為2Q(1＋20%)5，畫出函數(shù)y＝(1＋x%)5與y＝2的圖象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故當(dāng)x<14.87%時(shí)就考慮重栽，否則讓它繼續(xù)生長(zhǎng)．
*13.(湖南長(zhǎng)沙同升湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期末)商場(chǎng)銷售某一品牌的羊毛衫，購(gòu)買人數(shù)n是羊毛衫標(biāo)價(jià)x的一次函數(shù)，標(biāo)價(jià)越高，購(gòu)買人數(shù)越少．已知標(biāo)價(jià)為每件300元時(shí)，購(gòu)買人數(shù)為零．標(biāo)價(jià)為每件225元時(shí)，購(gòu)買人數(shù)為75人，若這種羊毛衫的成本價(jià)是100元/件，商場(chǎng)以高于成本價(jià)的相同價(jià)格(標(biāo)價(jià))出售，問(wèn)：
(1)商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元？
(2)通常情況下，獲取最大利潤(rùn)只是一種“理想結(jié)果”，如果商場(chǎng)要獲得最大利潤(rùn)的75%，那么羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件多少元？
[解析]　(1)設(shè)購(gòu)買人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤(rùn)為y元，則n＝kx＋b(k<0)，
∴0＝300k＋b75＝225k＋b，∴k＝－1b＝300，
∴n＝－x＋300.
y＝－(x－300)•(x－100)＝－(x－200)2＋10000，x∈(10

0,300]
∴x＝200時(shí)，ymax＝10000
即商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件200元．
(2)由題意得，－(x－300)•(x－100)＝10000×75%
∴x2－400x＋30000＝－7500，
∴x2－400x＋37500＝0，
∴(x－250)(x－150)＝0
∴x1＝250，x2＝150
所以當(dāng)商場(chǎng)以每件150元或250元出售時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)的75%.
14．學(xué)校請(qǐng)了30名木工，要制作200把椅子和100張課桌．已知制作一張課桌與制作一把椅子的工時(shí)數(shù)之比為10∶7，問(wèn)30名工人應(yīng)當(dāng)如何分組(一組制課桌，另一組制椅子)，能使完成全部任務(wù)最快？
[分析]　制作課桌和椅子中所花較多的時(shí)間即為完成任務(wù)的時(shí)間，只要它最小，即完成任務(wù)最快．
[解析]　設(shè)x名工人制課桌，(30－x)名工人制椅子，一個(gè)工人在一個(gè)單位時(shí)間里可制7張課桌或10把椅子，
∴制作100張課桌所需時(shí)間為函數(shù)P(x)＝1007x，
制作200把椅子所需時(shí)間為函數(shù)Q(x)＝20010(30－x)，
完成全部任務(wù)所需的時(shí)間f(x)為P(x)與Q(x)中的較大值．
欲使完成任務(wù)最快，須使P(x)與Q(x)盡可能接近(或相等)．
令P(x)＝Q(x)，即1007x＝20010(30－x)，
解得x＝12.5，∵人數(shù)x∈N，考察x＝12和13的情形有P(12)≈1.19，Q(12)≈1.111，P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176，∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，
∵f(12)>f(13)，∴x＝13時(shí)，f(x)取最小值，∴用13名工人制作課桌，17名工人制作椅子完成任務(wù)最快．
[點(diǎn)評(píng)]　本題有幾點(diǎn)需特別注意，人數(shù)x必須是自然數(shù)，故P(x)與Q(x)不相等，f(x)是P(x)與Q(x)中的較大者，完成任務(wù)最快的時(shí)間是f(x)的最小值．