2012屆高考數(shù)學(xué)應(yīng)用舉例知識歸納復(fù)習(xí)教案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
4.應(yīng)用舉例
一、知識歸納
1、應(yīng)用正弦余弦定理解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟及基本思路
(1)分析,(2)建模,(3)求解,(4)檢驗(yàn);
2、實(shí)際問題中的有關(guān)術(shù)語、名稱:
(1)仰角與俯角:均是指視線與水平線所成的角;
(2)方位角:是指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的夾角;
(3)方向角:常見的如:正東方向、東南方向、北偏東、南偏西等;
3、用正弦余弦定理解實(shí)際問題的常見題型有:
測量距離、測量高度、測量角度、計(jì)算面積、航海問題、物理問題等;

二、例題討論

一)利用方向角構(gòu)造三角形
例1、在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東450方向,距離A處 的B處有一艘走私船,在A處北偏西750的方向,距離A處2n mile 的C處的緝私船奉命以 n mile /h的速度追截走私船,此時(shí),走私船正以10n mile/h的速度從B處向北偏東300方向逃竄,問緝私船沿什么方向能最快追上走私船?
解:先根據(jù)題意畫出圖,設(shè)緝私船用th在D處追上走私船,則有CD= ,BD=10t,在三角形ABC中, ,由余弦定理得 ,從而計(jì)算 , ,即B在C正東,因?yàn)?,在三角形BCD中,由正弦定理得:
,即緝私船應(yīng)沿北偏東600方向能最快追上走私船。

二)測量距離問題
例2、某觀測站C在城A的南偏西200的方向,由城出發(fā)的一條公路,走向是南偏東400,在C處測得公路上B處有一人距C為31公理,正沿公路向A城走去,走了20公里后到達(dá)D處,此時(shí)CD間的距離為21公里,問此人還要走多少公里才能到達(dá)A城?
解:在三角形CBD中由余弦定理解得: ,所以 ,設(shè)AD=x,在三角形ABC中,由正弦定理得: ,所以此人還要走15公里才能到達(dá)A城;

三)測量高度問題
例3、地平面有一旗桿OP,為測量它的高度h,在地平面上取一基線AB=200m,在A處測得P點(diǎn)的仰角為 ,在B處測得P點(diǎn)的仰角為 ,又測得 ,求旗桿的高h(yuǎn)(精確到0.1m)
解:先在三角形AOP中,求得AO=OPcot300= ,同理在三角形BOP中,求得OB=h,在三角形AOB中,由余弦定理得: ,解得: ,即旗桿的高約為132.8m;

四)測量角度問題
例4、在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A.某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東 且與點(diǎn)A相距40 海里的位置B,經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東 + (其中sin = , )且與點(diǎn)A相距10 海里的位置C.
(I)求該船的行駛速度(單位:海里/時(shí));
(II)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進(jìn)入警戒水域,并說明理由.
解 :(I)如圖,AB=40 ,AC=10 ,
由于0< < ,所以cos =
由余弦定理得BC=
所以船的行駛速度為 (海里/小時(shí)).
(II)如圖所示,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是
B(x1,y2), C(x1,y2),BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有,x1=y1= AB=40,
x2=ACcos ,y2=ACsin .
所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k= ,直線l的方程為y=2x-40.
又點(diǎn)E(0,-55)到直線l的距離d=
所以船會進(jìn)入警戒水域.

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