2012屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)平面向量與復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)講義

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高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第四章 平面向量與復(fù)數(shù)

【知識(shí)圖解】
Ⅰ.平面向量知識(shí)結(jié)構(gòu)表

Ⅱ.復(fù)數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)表


【方法點(diǎn)撥】
由于向量融形、數(shù)于一體,具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”,使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn),成為聯(lián)系眾多知識(shí)內(nèi)容的媒介。所以,向量成為了“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”的很好載體。從高考新課程卷來(lái)看,對(duì)向量的考查力度在逐年加大,除了直接考查平面向量外,將向量與解析幾何、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合,在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題,既是當(dāng)今高考的熱點(diǎn),又是重點(diǎn)。
復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的平面向量知識(shí),既要注重回顧和梳理基礎(chǔ)知識(shí),又要注意平面向量與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用,滲透用向量解決問(wèn)題的思想方法,從而提高分析問(wèn)題與綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力,站在新的高度來(lái)認(rèn)識(shí)和理解向量。
1.向量是具有大小和和方向的量,具有“數(shù)”和“形”的特點(diǎn),向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁,在處理向量問(wèn)題時(shí)注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
2.平面向量基本定理是處理向量問(wèn)題的基礎(chǔ),也是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ),它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個(gè)不共線向量的線性組合.
3.向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)形式,引入坐標(biāo)表示,可以把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決.
4.要了解向量的工具作用,熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡(jiǎn)單問(wèn)題的方法.

第1課 向量的概念及基本運(yùn)算
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.理解平面向量和向量相等的含義,理解向量的幾何表示.
2.掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算,并理解其幾何意義.
3.了解平面向量基本定理及其意義.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.出下列命題:①若 ,則 ;②若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn),則 是四邊形為平行四邊形的充要條件;③若 ,則 ;④ 的充要條件是 且 ;⑤若 , ,則 。其中,正確命題材的序號(hào)是②③

2. 化簡(jiǎn) 得
3.在四邊形ABCD中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,其中a、b不共線,則四邊形ABCD為梯形
4.如圖,設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn),
若 =a, =b,則 = ,
= (用a、b表示)

【范例導(dǎo)析】
例1 .已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F,
求證: .
分析:構(gòu)造三角形,利用向量的三角形法則證明.
證明:如圖,連接EB和EC ,
由 和 可得, (1)
由 和 可得, (2)
(1)+(2)得, (3)
∵E、F分別為AD和BC的中點(diǎn),∴ , ,
代入(3)式得,
點(diǎn)撥:運(yùn)用向量加減法解決幾何問(wèn)題時(shí),需要發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形或平行四邊形.
例2.已知 不共線, ,求證:A,P,B三點(diǎn)共線的充要條件是
分析:證明三點(diǎn)共線可以通過(guò)向量共線來(lái)證明.
解:先證必要性:若A,P,B三點(diǎn)共線,則存在實(shí)數(shù) ,使得 ,即 ,∴ ∵ ,∴ ,∴
再證充分性:若 則 = = ,∴
與 共線,∴A,P,B三點(diǎn)共線.
點(diǎn)撥:向量共線定理是向量知識(shí)中的一個(gè)基本定理,通?梢宰C明三點(diǎn)共線、直線平行等問(wèn)題.
【反饋練習(xí)】
1.已知向量a和b反向,則下列等式成立的是(C)
A. a-b=a-b B. a-b=a+b C.a+b=a-b D. a+b=a+b
2.設(shè)四邊形ABCD中,有 則這個(gè)四邊形是(C)
A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn),試化簡(jiǎn):
① , ② , ③ 。
解析:①原式= ;
②原式= ;
③原式= 。
4.設(shè) 為未知向量, 、 為已知向量, 滿足方程2 -(5 +3 -4 )+ -3 =0,
則 = (用 、 表示)
5.在四面體O-ABC中, 為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),則 = (用a,b,c表示)
6如圖平行四邊形OADB的對(duì)角線OD,AB相交于點(diǎn)C,線段BC上有一點(diǎn)M滿足BC=3BM,線段CD上有一點(diǎn)N滿足CD=3CN,設(shè)
解:
.


第2課 向量的數(shù)量積
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.理解平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義.
2.掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.
3.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式.
4.能用平面向量數(shù)量積處理有關(guān)垂直、角度、長(zhǎng)度的問(wèn)題.

【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.已知 均為單位向量,它們的夾角為 ,那么
2.在直角坐標(biāo)系 中, 分別是與 軸, 軸平行的單位向量,若直角三角形 中, , ,則 的可能值個(gè)數(shù)為2個(gè)
3. 若 , , 與 的夾角為 ,若 ,則 的值為
4.若 ,且 ,則向量 與 的夾角為 120°
【范例導(dǎo)析】

例1.已知兩單位向量 與 的夾角為 ,若 ,試求 與 的夾角的余弦值。
分析:利用 及 求解.
解:由題意, ,且 與 的夾角為 ,所以, , ,同理可得 而 ,設(shè) 為 與 的夾角,則
點(diǎn)評(píng):向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見(jiàn)一斑。
例2.已知平面上三個(gè)向量 、 、 的模均為1,它們相互之間的夾角均為120°,
(1)求證: ⊥ ;(2)若 ,求 的取值范圍.
分析:問(wèn)題(1)通過(guò)證明 證明 ,問(wèn)題(2)可以利用
解:(1)∵ ,且 、 、 之間的夾角均為120°,


(2)∵ ,即
也就是
∵ ,∴
所以 或 .
解:對(duì)于有關(guān)向量的長(zhǎng)度、夾角的求解以及垂直關(guān)系的判斷通常是運(yùn)用平面向量的數(shù)量積解決.
例3.如圖,在直角△ABC中,已知 ,若長(zhǎng)為 的線段 以點(diǎn) 為中點(diǎn),問(wèn) 的夾角 取
何值時(shí) 的值最大?并求出這個(gè)最大值
分析:本題涉及向量較多,可通過(guò)向量的加減法則得
,再結(jié)合直角三
角形和各線段長(zhǎng)度特征法解決問(wèn)題
解:



點(diǎn)撥:運(yùn)用向量的方法解決幾何問(wèn)題,充分體現(xiàn)了向量的工具性,對(duì)于大量幾何問(wèn)題,不僅可以用向量語(yǔ)言加以敘述,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解,從而把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的向量運(yùn)算.
【反饋練習(xí)】
1.已知向量 滿足 則 與 的夾角為
2.如圖,在四邊形ABCD中,
,則 的值為4
3.若向量 滿足 , 的夾角為60°,則 =
4.若向量 ,則
5.已知 a=4,b=5,a+b= ,求:① a?b ;②(2a-b) ?(a+3b)
解:(1)a+b2=(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+2a?b+b2,∴
(2)(2a-b)?(a+3b)=2a2+5a?b-3b2=2a2+5a?b-3b2=2×42+5×(-10)-3×52=-93.
6.已知a與b都是非零向量,且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,求a與b的夾角.
解:∵且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,
∴(a+3b)?(7a-5b)=0,(a-4b)?(7a-2b)=0 ∴7a2+16 a?b-15 b2=0,7a2-30 a?b+8 b2=0,
∴b2=2 a?b,a=b ∴ ∴

第3課 向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.
2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加減及數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算.
3.掌握平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示,并利用它解決向量平行的有關(guān)問(wèn)題.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1 若 = , = ,則 =
2 平面向量 中,若 , =1,且 ,則向量 =
3.已知向量 ,且A、B、C三點(diǎn)共線,則k=
4.已知平面向量 , ,且 ,則 1
【范例導(dǎo)析】
例1.平面內(nèi)給定三個(gè)向量 ,回答下列問(wèn)題:
(1)求滿足 的實(shí)數(shù)m,n;
(2)若 ,求實(shí)數(shù)k;
(3)若 滿足 ,且 ,求
分析:本題主要考察向量及向量模的坐標(biāo)表示和向量共線的充要條件.
解:(1)由題意得
所以 ,得
(2)

(3)設(shè) ,則
由題意得
得 或 ∴
點(diǎn)撥:根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則及兩個(gè)向量平等行的充要條件、模的計(jì)算公式,建立方程組求解。

例2.已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC邊上的高為AD,求 及點(diǎn)D的坐標(biāo)、
分析:注意向量坐標(biāo)法的應(yīng)用,及平行、垂直的充要條件.
解:設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)
∵AD是邊BC上的高,
∴AD⊥BC,∴ ⊥
又∵C、B、D三點(diǎn)共線,
∴ ∥
又 =(x-2,y-1), =(-6,-3)
=(x-3,y-2)

解方程組,得x= ,y=
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為( , ), 的坐標(biāo)為(- , )
點(diǎn)撥:在解題中要注意綜合運(yùn)用向量的各種運(yùn)算解決問(wèn)題.
例3.已知向量 且
求(1) 及 ;(2)若 的最小值是 ,求 的值。
分析:利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解.
解:(1)

。
(2)

(1)當(dāng) 時(shí),
(2)當(dāng) 時(shí),
(3)當(dāng) 時(shí),
綜上所述: 。
點(diǎn)撥:注意運(yùn)用不同章節(jié)知識(shí)綜合處理問(wèn)題,對(duì)于求二次函數(shù)得分最值問(wèn)題,注意分類討論.
【反饋練習(xí)】
1.已知向量 , ,則 與 (A)
A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向

2.與向量a= b= 的夾解相等,且模為1的向量是
3.已知向量 且 則向量 等于
4.已知向量 120°
5.若 ,試判斷則△ABC的形狀____直角三角形_____
6.已知向量 ,向量 ,則 的最大值是 4
7.若 是非零向量且滿足 , ,則 與 的夾角是
8.已知: 、 、 是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中 =(1,2)
(1)若 ,且 ,求 的坐標(biāo);
(2)若 = 且 與 垂直,求 與 的夾角 .
解:(1)設(shè) ,由 和 可得:
∴  或
∴ ,或
(2) 即

∴ , 所以
∴ ∵
∴ .
9.已知點(diǎn) 是 且 試用 .
解:以O(shè)為原點(diǎn),OC,OB所在的直線為 軸和 軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系.
由OA=2, ,所以 ,
易求 ,設(shè)


第4課  向量綜合應(yīng)用
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.能綜合運(yùn)用所學(xué)向量知識(shí)及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法解決向量知識(shí)內(nèi)部綜合問(wèn)題和與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)的綜合問(wèn)題.
2.能從實(shí)際問(wèn)題中提煉概括數(shù)學(xué)模型,了解向量知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.已知a=(5,4),b=(3,2),則與2a-3b平行的單位向量為
2.已知 =1, =1,a與b的夾角為60°,x=2a-b,y=3b-a,則x與y的夾角的余弦值為
【范例導(dǎo)析】
例1.已知平面向量a=( ,-1),b=( , ).
(1) 若存在實(shí)數(shù)k和t,便得x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb,且x⊥y,試求函數(shù)的關(guān)系式k=f(t);
(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論,確定k=f(t)的單調(diào)區(qū)間。
分析:利用向量知識(shí)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解.
解:(1)法一:由題意知x=( , ), y=( t- k, t+k),又x⊥y
故x ? y= ×( t- k)+ ×( t+k)=0。
整理得:t3-3t-4k=0,即k= t3- t.
法二:∵a=( ,-1),b=( , ), ∴. =2, =1且a⊥b
∵x⊥y,∴x ? y=0,即-k 2+t(t2-3) 2=0,∴t3-3t-4k=0,即k= t3- t
(2) 由(1)知:k=f(t) = t3- t ∴k=f(t) = t2- ,
令k<0得-1<t<1;令k>0得t<-1或t>1.
故k=f(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1, 1 ),單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞).
點(diǎn)撥:第1問(wèn)中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見(jiàn)的方法:一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo),再利用向量垂直的充要條件;二是直接利用向量的垂直的充要條件,其過(guò)程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式,達(dá)到同樣的求解目的(但運(yùn)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化,值得注意)。第2問(wèn)中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法,這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用。

例2.已知兩個(gè)力(單位:牛) 與 的夾角為 ,其中 ,某質(zhì)點(diǎn)在這兩個(gè)力的共同作用下,由點(diǎn) 移動(dòng)到點(diǎn) (單位:米)
(1)求 ;
(2)求 與 的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功
分析:理解向量及向量數(shù)量積的物理意義,將物理中的求力和功的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題解決.



點(diǎn)撥:學(xué)習(xí)向量要了解向量的實(shí)際背景,并能用向量的知識(shí)解決方一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
【反饋練習(xí)】
1.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)A(3, 1),B(-1, 3), 若點(diǎn)C滿足 ,其中 , ∈R且 + =1,則點(diǎn)C的軌跡方程為x+2y-5=0
2.已知a,b是非零向量且滿足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,則a與b的夾角是
3. 已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn),且 + = - ,其中O為原點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為2或-2
4.已知向量a=( ),向量b=( ),則2a-b的最大值是 4
5.如圖, ,
(1)若 ∥ ,求x與y間的關(guān)系;
(2)在(1)的條件下,若有 ,求x,y的值及四邊形ABCD的面積.
解(1) 又 ∥

(2)由 ⊥ ,得(x-2)(6+x)+(y-3)?(y+1)=0,②
即x2+y2+4x-2y-15=0 由①,②得 或

第5課 復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.了解數(shù)系的擴(kuò)充的基本思想,了解引入復(fù)數(shù)的必要性.
2.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.設(shè) 、 、 、 ,若 為實(shí)數(shù),則
2.復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是
3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) +(1+ i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
4.若復(fù)數(shù) 滿足方程 ,則
【范例導(dǎo)析】
例 .m取何實(shí)數(shù)時(shí),復(fù)數(shù) (1)是實(shí)數(shù)?(2)是虛數(shù)?(3)是純虛數(shù)?
分析:本題是判斷復(fù)數(shù)在何種情況下為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù).由于所給復(fù)數(shù)z已寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式,即 ,所以只需按題目要求,對(duì)實(shí)部和虛部分別進(jìn)行處理,就極易解決此題.
解:(1)當(dāng) 即 ∴ 時(shí),z是實(shí)數(shù).
(2)當(dāng) 即 ∴當(dāng) 且 時(shí),z是虛數(shù).
(3)當(dāng) 即 ∴當(dāng) 或 時(shí),z是純虛數(shù).
點(diǎn)撥:研究一個(gè)復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時(shí),首先要保證這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部是有意義的,這是一個(gè)前提條件,學(xué)生易忽略這一點(diǎn).如本題易忽略分母不能為0的條件,丟掉 ,導(dǎo)致解答出錯(cuò).

【反饋練習(xí)】
1.如果復(fù)數(shù) 是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)
2.已知復(fù)數(shù)z滿足( +3i)z=3i,則z=
3.若復(fù)數(shù)Z= ,則Z +Z +1+i的值為0
4.設(shè) 、 為實(shí)數(shù),且 ,則 + =4.

本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/82650.html

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