第十七章 坐標系與參數(shù)方程
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一、坐標系
1.了解在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法,理解坐標系的作用.
2 .了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.
3.能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置,體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別,能進行極坐標和直角坐標的互化.
4.能在極坐標系中給出簡單圖形( 如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程,體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義.
5.了解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間點的位置的方法,并與空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法相比較,體會它們的區(qū)別.
二、參數(shù)方程
1.了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.
2.分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì),選擇適當?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.
3.了解平擺線和漸開線的生成過程,并能寫出它們的參數(shù)方程.
4.了解其他擺線的生成過程;了解擺線在實際中應(yīng)用的實例;了解擺線在刻畫行星運動軌道中的作用. 本章重點:
1.根據(jù)問題的幾何特征選擇坐標系;坐標法思想;平面直角坐標系中的伸縮變換;極坐標系;直線和圓的極坐標方程.
2.根據(jù)問題的條件引進適當?shù)膮?shù),寫出參數(shù)方程,體會參數(shù)的意義;分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì),選擇適當?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.
本章難點:
1.對伸縮變換中點的對應(yīng)關(guān)系的理解;極坐標的不唯一性;曲線的極坐標方程.
2.根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當?shù)膮?shù),建立曲線的參數(shù)方程. 坐標系是解析幾何的基礎(chǔ),為便于用代數(shù)的方法研究幾何圖形,常需建立不同的坐標系,以便使建立的方程更加簡單,參數(shù)方程是曲線在同一坐標系下不同于普通方程的又一種表現(xiàn)形式.某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更加方便.
本專題要求通過坐標系與參數(shù)方程知識的學習,使學生更全面地理解坐標法思想;能根據(jù)曲線的特點,選取適當?shù)那方程表示形式,體會解決問題中數(shù)學方法的靈活性.
高考中,參數(shù) 方程和極坐標是本專題的重點考查內(nèi)容.對于柱坐標系、球坐標系,只要求了解即可.
知識網(wǎng)絡(luò)
17.1 坐標系
典例精析
題型一 極坐標的有關(guān)概念
【例1】已知△ABC的三個頂點的極坐標分別為A(5,π6),B(5,π2),C(-43,π3),試判斷△ABC的形狀,并求出它的面積.
【解析】在極坐標系中,設(shè)極點為O,由已知得∠AOB=π3,∠BOC=5π6,∠AOC=5π6.
又OA=OB=5,OC=43,由余弦定理得
AC2=OA2+OC2-2OA?OC?cos∠AOC=52+(43)2-2×5×43?cos5π6=133,
所以AC=133.同理,BC=133.
所以AC=BC,所以△ABC為等腰三角形.
又AB=OA=OB=5,
所以AB邊上的高h=AC2-(12AB)2=1332,
所以S△ABC=12×1332×5=6534.
【點撥】判斷△ABC的形狀,就 需要計算三角形的邊長或角,在本題中計算邊長較為容易,所以先計算邊長.
【變式訓練1】(1)點A(5,π3)在條件:①ρ>0,θ∈(-2π,0)下極坐標為 ,②ρ<0,θ∈(2π,4π)下極坐標為 ;
(2)點P(-12,4π3)與曲線C:ρ=cos θ2的位置關(guān)系是 .
【解析】(1)(5,-5π3);(-5,10π3).(2)點P在曲線C上.
題型二 直角坐標與極坐標的互化
【例2】⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)求經(jīng)過⊙O1和⊙O2交點的直線的直角坐標方程.
【解析】(1)以極點為原點,極軸為x軸正半軸,建立直角坐標系,且兩坐標系取相同單位長.
因為x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ,
所以x2+y2=4x,即x2+y2-4x=0為⊙O1的直角坐標方程.
同理,x2+y2+4y=0為⊙O2的直角坐標方程.
(2) 由 解得 或
即⊙O1,⊙O2的交點為(0,0)和(2,-2)兩點,
故過交點的直線的直角坐標方程為x+y=0.
【點撥】 互化的前提條件:原點對應(yīng)著極點,x軸正向?qū)?yīng)著極軸.將互化公式代入,整理可以得到.
【變式訓練2】在極坐標系中,設(shè)圓ρ=3上的點到直線ρ(cos θ+3sin θ)=2的距離為d,求d的最大值.
【解析】將極坐標方程ρ=3化為普通方程x2+y2=9,
ρ(cos θ+3sin θ)=2可化為x+3y=2.
在x2+y2=9上任取一點A(3cos α,3sin α),
則點A到直線的距離為d=3cos α+33sin α-22=6sin(α+30°)-22,它 的最大值為4.
題型三 極坐標的應(yīng)用
【例3】過原點的一動直線交圓x2+(y-1)2=1于點Q,在直線OQ上取一點P,使P到直線y=2的距離等于PQ,用極坐標法求動直線繞原點一周時點P的軌跡方程.
【解析】以O(shè)為極點,Ox為極軸,建立極坐標系,如右圖所示,過P作PR垂直于直線y=2,則有PQ=PR.設(shè)P(ρ,θ),Q(ρ0,θ),則有ρ0=2sin θ.因為PR=PQ,所以2-ρsin θ=ρ-2sin θ,所以
ρ=±2或sin θ=±1,即為點P的軌跡的極坐標方程,化為直角坐標方程為x2+y2=4或x=0.
【點撥】用極坐標法可使幾何中的一些問題得到很直接、簡單的解法,但在解題時關(guān)鍵是極坐標要選取適當,這樣可以簡 化運算過程,轉(zhuǎn)化為直角坐標時也容易一些.
【變式訓練3】如圖,點A在直線x=5上移動,等腰△OPA的頂角∠OPA為120°(O,P,A按順時針方向排列),求點P的軌跡方程.
【解析】取O為極點,x正半軸為極軸,建立極坐標系,
則直線x=5的極坐標方程為ρcos θ=5.
設(shè)A(ρ0,θ0),P(ρ,θ),
因為點A在直線ρcos θ=5上,所以ρ0cos θ0=5.①
因為△OPA為等腰三角形,且∠OPA=120°,而OP=ρ,OA=ρ0以及∠POA=30°,
所以ρ0=3ρ,且θ0=θ-30°.②
把②代入①,得點P的軌跡的極坐標方程為3ρcos(θ-30°)=5.
題型四 平面直角坐標系中坐標的伸縮變換
【例4】定義變換T: 可把平面直角坐標系上的點P(x,y)變換成點P′(x′,y′).特別地,若曲線M上一點P經(jīng)變換公式T變換后得到的點P′與點P重合,則稱點P是曲線M在變換T下的不動點.
(1)若橢圓C的中心為坐標原點,焦點在x軸上,且焦距為22,長軸頂點和短軸頂點間的距離為2.求橢圓C的標準方程,并求出當tan θ=34時,其兩個焦點F1、F2經(jīng)變換公式T變換后得到的點F1′和F2′的坐標;
(2)當tan θ=34時,求(1)中的橢圓C 在變換T下的所有不動點的坐標.
【解析】(1)設(shè)橢圓C的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由橢圓定義知焦距2c=22?c=2,即a2-b2=2.①
又由已知得a2+b2=4,②
故由①、②可解得a2=3,b2=1.
即橢圓C的標準方程為x23+y2=1,
且橢圓C兩個焦點的坐標分別為F1(-2,0)和F2(2,0).
對于變換T: 當tanθ= 時,可得
設(shè)F1′(x1,y1) 和F2′(x2,y2)分別是由F1(-2,0)和F2(2,0)的坐標經(jīng)變換公式T變換得到.
于是
即F1′的坐標為(-425,-325);
又
即F2′的坐標為(425,325).
(2)設(shè)P(x,y)是橢圓C在變換T下的不動點,則當tan θ=34時,
有 ?x=3y,由點P(x,y)∈C,即P(3y,y)∈C,得(3y)23+y2=1
? 因而橢圓C的不動點共有兩個,分別為(32,12)和(-32 ,-12).
【變式訓練4】在直角坐標系中,直線x-2y=2經(jīng)過伸縮變換 后變成直線2x′-y′=4.
【解析】
總結(jié)提高
1.平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示方法.
如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(ρ,θ)表示;反之也成立.
2.熟練掌握幾種常用的極坐標方程,特別是直線和圓的極坐標方程.
17.2 參數(shù)方程
典例精析
題型一 參數(shù)方程與普通方程互化
【例1】 把下列參數(shù)方程化成普通方程:
(1) (θ為參數(shù));
(2) (t為參數(shù),a,b>0).
【解析】(1)
所以5x2+4x y+17y2-81=0.
(2)由題意可得
所以①2-②2得4x2a2-4y2b2=4,所以x2a2-y2b2=1,其中x>0.
【變式訓練1】把下列參數(shù)方程化為普 通方程,并指出曲線所表示的圖形.
(1) (2) (3) (4)
【解析】(1)x2=2(y+12),-2≤x≤2,圖形為一段拋物線弧.
(2)x=1,y≤-2或y≥2,圖形為兩條射線.
(3)x2+y2-3y=0(y≠3),圖形是一個圓,但是除去點(0,3).
(4)(x-6)216-(y+3)225=1,圖形是雙曲線.
題型二 根據(jù)直線的參數(shù)方程求弦長
【例2】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),曲線C的極坐標方程為ρ2cos 2θ=1.
(1)求曲線C的普通方程;
(2)求直線l被曲線C截得的弦長.
【解析】(1)由曲線C:ρ2cos 2θ=ρ2(cos2θ-sin2θ)=1,
化成普通方程為x2-y2=1.①
(2)方法一:把直線參數(shù)方程化為標準參數(shù)方程 (t為參數(shù)).②
把②代入①得(2+t2)2-(32t)2=1,整理得t2-4t-6=0.
設(shè)其兩根為t1,t2,則t1+t2=4,t1t2=-6.
從而弦長為t1-t2=(t1+t2)2-4t1t2=42-4(-6)=40=210.
方法二:把直線的參數(shù)方程化為普通方程為y=3(x-2),
代入x2-y2=1,得2x2-12x+13=0.
設(shè)l與C交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6,x1x2=132,
所以AB=1+3?(x1+x2)2-4x1x2=262-26=210.
【變式訓練2】在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),若以O(shè)為極點 ,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,則曲線C的極坐標方程為ρ=2cos(θ+π4),求直線l被曲線C所截的弦長.
【解析】將方程 (t為參數(shù))化為普通方程為3x+4y+1=0.
將方程ρ=2cos(θ+π4)化為普通方程為x2+y2-x+y=0.
表示圓心為(12,-12),半徑為r=22的圓,
則圓心到直線的距離d=110,弦長=2r2-d2=212-1100=75.
題型三 參數(shù)方程綜合運用
【例3】(2009海南、寧夏)已知曲線C1: (t為參數(shù)),C2: (θ為參數(shù)).
(1)化C1,C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=π2,Q為C2上的動點,求PQ中點M到直線C3: (t為參數(shù))距離的最小值.
【解析】(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:x264+y29=1.
C1是以(-4,3)為圓心,1為半徑的圓;
C2是以坐標原點為中心,焦點在x軸,長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓.
(2)當t=π2時,P(-4,4),Q(8cos θ,3sin θ),故M(-2+4cos θ,2+32sin θ).
C3為直線x-2y-7=0,M到C3的距離d=554cos θ-3sin θ-13,
從而cos θ=45,sin θ=-35時,d取最小值855.
【變式訓練3】在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,得曲線C2的極坐標方程為ρ=
2cos θ-4sin θ(ρ>0).
(1)化曲線C1 、C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)設(shè)曲線C1與x軸的一個交點的坐標為P(m,0)(m>0),經(jīng)過點P作曲線C2的切線l,求切線l的方程.
【解析】(1)曲線C1:x216+y24=1;曲線C2:(x-1)2+(y+2)2=5.
曲線C1為中心是坐標原點,焦點在x軸上,長半軸長是4,短半軸長是2的橢圓;曲線C2為圓心為(1,-2),半徑為5的圓.
(2)曲線C1:x216+y24=1與x軸的交點坐標為(-4,0)和(4,0), 因為m>0,所以點P的坐標為(4,0).顯然切線l的斜率存在,設(shè)為k,則切線l的方程為y=k(x-4).
由曲線C2為圓心為(1,-2),半徑為5的圓得k+2-4kk2+1=5,
解得k=3±102,所以切線l的方程為y=3±102(x-4).
總結(jié)提高
1.在參數(shù)方程與普通方程互化的過程中,要保持化簡過程的同解變形,避免改變變量x,y的取值范圍而造成錯誤.
2.消除參數(shù)的常用方法有:①代入消參法;②三角消參法;③根據(jù)參數(shù)方程的特征,采用特殊的消參手段.
3.參數(shù)的方法在求曲線的方程等方面有著廣泛的應(yīng)用,要注意合理選參、巧妙消參.
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