第二章 函 數(shù)
高考導(dǎo)航
考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解構(gòu)成函數(shù)的三要素,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念.
2.在實(shí)際生活中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).
3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能簡(jiǎn)單運(yùn)用.
4.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義;結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義.
5.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).
6.理解有理指數(shù)冪的含義,了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運(yùn)算.
7.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性,掌握指數(shù)函數(shù)通過的特殊點(diǎn).
8.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù);了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.
9.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)通過的特殊點(diǎn).
10.了解指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax (a>0且a≠1)互為反函數(shù).
11.了解冪函數(shù)的概念,結(jié)合函數(shù)y=x, y=x2, y=x3 ,
y= , y= 的圖象,了解它們的變化情況.
12.結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性和根的個(gè)數(shù).
13.根據(jù)具體函數(shù)圖象,能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.
14.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征;知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義.
15.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.本章重點(diǎn): 1.函數(shù)的概
念及其三要素;
2.函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其幾何意義;
3.函數(shù)的最大(小)值;
4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì);
5.函數(shù)的圖象及其變換;
6.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系;
7.函數(shù)模型的建立及其應(yīng)用.
本章難點(diǎn):
1.函數(shù)概念的理解;
2.函數(shù)單調(diào)性的判斷;
3.函數(shù)圖象的變換及其應(yīng)用;
4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)概念的理解及其性質(zhì)運(yùn)用;
5.研究二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程的根的關(guān)系;
6.函數(shù)模型的建立及求解. 高考對(duì)函數(shù)的考查,常以選擇題和填空題來考查函數(shù)的概念和一些基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì),解答題則往往不是簡(jiǎn)單地考查概念、公式和法則的應(yīng)用,而是常與導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)及實(shí)際問題結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查,并滲透數(shù)學(xué)思想方法,突出考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
2.1函數(shù)的概念及表示法
典例精析
題型一 求函數(shù)的解析式
【例1】 (1)已知f(x+1)=x2+x+1,求f (x)的表達(dá)式;
(2)已知f(x)+2f(-x)=3x2+5x+3,求f (x)的表達(dá)式.
【解析】(1)設(shè)x+1=t,則x=t-1,代入得
f (x)=(t-1)2+(t-1)+1=t2-t+1,所以f (x)=x2-x+1.
(2)由f (x)+2f (-x)=3x2+5x+3,
x換成-x,得f (-x)+2 f (x)=3x2-5x+3,解得f (x)=x2-5x+1.
【點(diǎn)撥】已知f(x),g(x),求復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的解析式,直接把f(x)中的x換成g(x)即可,已知f[g(x)],求f (x)的解析式,常常是設(shè)g(x)=t,或者在f[g(x)]中湊出g(x),再把g(x)換成x.
【變式訓(xùn)練1】已知f ( )= ,求f (x)的解析式.
【解析】設(shè) =t,則x= ,所以f (t)= = ,
所以f (x)= (x≠-1).
題型二 求函數(shù)的定義域
【例2】(1)求函數(shù)y= 的定義域;
(2)已知f(x)的定義域?yàn)閇-2,4],求f(x2-3x)的定義域.
【解析】(1)要使函數(shù)有意義,則只需要
即
解得-3<x<0或2<x<3,故所求的定義域?yàn)?-3,0)∪(2,3).
(2)依題意,只需-2≤x2-3x≤4,
解得-1≤x≤1或2≤x≤4,故f(x2-3x)的定義域?yàn)閇-1,1]∪[2,4].
【點(diǎn)撥】有解析式的函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍,往往列不等式組求解.對(duì)于抽象函數(shù)f[g(x)]的定義域要把g(x)當(dāng)作f(x)中的x來對(duì)待.
【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f (2x)的定義域?yàn)閇-1,1],求f(log2x)的定義域.
【解析】因?yàn)閥=f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1],即-1≤x≤1時(shí)2-1≤2x≤21,所以y=f(x)的定義域?yàn)閇12,2].令12≤log2x≤2,所以2≤x≤22=4,故所求y=f(log2x)的定義域?yàn)閇2,4].
題型三 由實(shí)際問題給出的函數(shù)
【例3】 用長(zhǎng)為l的鐵絲彎成下部為矩形,上部為半圓形的框架(如圖),若矩形底部長(zhǎng)為2x,求此框圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出其定義域.
【解析】由題意知,此框架圍成的面積是由一個(gè)矩形和一個(gè)半圓組成的圖形的面積,而矩形的長(zhǎng)AB=2x,
設(shè)寬為a,則有2x+2a+πx=l,即a= - x-x,半圓的半徑為x,
所以y= +( -π2x-x)?2x=-(2+π2)x2+lx.
由實(shí)際意義知 -π2x-x>0,因x>0,解得0<x< .
即函數(shù)y=-(2+π2)x2+lx的定義域是{x0<x< }.
【點(diǎn)撥】求由實(shí)際問題確定的定義域時(shí),除考慮函數(shù)的解析式有意義外,還要考慮使實(shí)際問題有意義.如本題使函數(shù)解析式有意義的x的取值范圍是x∈R,但實(shí)際問題的意義是矩形的邊長(zhǎng)為正數(shù),而邊長(zhǎng)是用變量x表示的,這就是實(shí)際問題對(duì)變量的制約.
【變式訓(xùn)練3】一張正方形的紙片,剪去兩個(gè)一樣的小矩形得到一個(gè)“E”形圖案,如圖所示,設(shè)小矩形的長(zhǎng)、寬分別為x、y,剪去部分的面積為20,若2≤x≤10,記y=f(x),則y=f(x)的圖象是( )
【解析】由題意得y=10x(2≤x≤10),選A.
題型四 分段函數(shù)
【例4】 已知函數(shù)f(x)=
(1)求f(1)+f(-1)的值;
(2)若f(a)=1,求a的值;
(3)若f(x)>2,求x的取值范圍.
【解析】(1)由題意,得f(1)=2,f(-1)=2,所以f(1)+f(-1)=4.
(2)當(dāng)a<0時(shí),f(a)=a+3=1,解得a=-2;
當(dāng)a≥0時(shí),f(a)=a2+1=1,解得a=0. 所以a=-2或a=0.
(3)當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x+3>2,解得-1<x<0;
當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2+1>2,解得x>1.
所以x的取值范圍是-1<x<0或x>1.
【點(diǎn)撥】分段函數(shù)中,x在不同的范圍內(nèi)取值時(shí),其對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式不同.因此,分段函數(shù)往往需要分段處理.
【變式訓(xùn)練4】(2010全國新課標(biāo))已知函數(shù)f(x)= 若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是( )
A.(1,10)B.(5,6)
C.(10,12)D.(20,24)
【解析】不妨設(shè)a<b<c,由f(a)=f(b)=f(c)及f(x)圖象知110<a<1<b<10<c<12,所以-lg a=lg b=-12c+6,所以ab=1,所以abc的范圍為(10,12),故選C.
總結(jié)提高
1.在函數(shù)三要素中,定義域是靈魂,對(duì)應(yīng)法則是核心,因?yàn)橹涤蛴啥x域和對(duì)應(yīng)法則確定,所以兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對(duì)應(yīng)法則均相同時(shí)才表示同一個(gè)函數(shù),而值域相同是兩函數(shù)為同一函數(shù)的必要非充分條件.
2.若一個(gè)函數(shù)在其定義域不同的子集上,解析式不同,則可用分段函數(shù)的形式表示.
3.函數(shù)的三種表示法各有利弊,一般情況下,研究函數(shù)要求出函數(shù)的解析式,通過解析式來解題.求函數(shù)解析式的方法有:配方法、觀察法、換元法和待定系數(shù)法等.
2.2 函數(shù)的單調(diào)性
典例精析
題型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明
【例1】討論函數(shù)f(x)=ax+1x+2 (a≠12)在(-2,+∞)上的單調(diào)性.
【解析】設(shè)x1,x2為區(qū)間(-2,+∞)上的任意兩個(gè)數(shù)且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=ax1+1x1+2-ax2+1x2+2=(x1-x2)(2a-1)(x1+2)(x2+2),
因?yàn)閤1∈(-2,+∞),x2∈(-2,+∞),且x1<x2,
所以x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0.
所以當(dāng)a<12時(shí),1-2a>0,f(x1)>f(x2),
函數(shù)f(x)在(-2,+∞)上為減函數(shù);
當(dāng)a>12時(shí),1-2a<0,f(x1)<f(x2),
函數(shù)f(x)在(-2,+∞)上是增函數(shù).
【點(diǎn)撥】運(yùn)用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,必須注意x1,x2在給定區(qū)間內(nèi)的任意性,另外本題可以利用導(dǎo)數(shù)來判斷.
【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)滿足f(π+x)=f(π-x),且當(dāng)x∈(0,π)時(shí),f(x)=x+cos x,則f(2),f(3),f(4)的大小關(guān)系是( )
A. f (2)<f (3)<f (4)B. f (2)<f (4)<f (3)
C. f (4)<f (3)<f (2)D. f (3)<f (4)<f (2)
【解析】B.
題型二 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法
【例2】試求出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1)y=x-1;
(2)y=x2+2x-1;
(3)y= .
【解析】(1)y=x-1=
所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1).
(2)y=x2+2x-1=
所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1).
(3)由于t=-x2+4x-3的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+∞),又底數(shù)大于1,所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+∞).
【點(diǎn)撥】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,往往需要借助函數(shù)圖象和有關(guān)結(jié)論,才能求解出.
【變式訓(xùn)練2】在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中,我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“ ”如下:當(dāng)a≥b時(shí),a b=a;當(dāng)a<b時(shí),a b=b2.則函數(shù)f (x)=(1 x)x-(2 x),x∈[-2,2]的最大值是( )
A.-1B.6C.1D.12
【解析】B.
題型三 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,1],且對(duì)于任意的x1,x2∈[-1,1],當(dāng)x1≠x2時(shí),都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0.
(1)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù)還是減函數(shù),并證明你的結(jié)論;
(2)解不等式f(5x-1)<f(6x2).
【解析】(1)當(dāng)x1,x2∈[-1,1],且x1<x2時(shí),由f(x1)-f(x2)x1-x2>0,得f(x1)<f(x2),
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).
(2)因?yàn)閒(x)在[-1,1]上是增函數(shù).所以由f(5x-1)<f(6x2)知,
所以0≤x<13,所求不等式的解集為{x0≤x<13}.
【點(diǎn)撥】抽象函數(shù)的單調(diào)性往往是根據(jù)定義去判斷,利用函數(shù)的單調(diào)性解題時(shí),容易犯的錯(cuò)誤是忽略函數(shù)的定義域.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對(duì)于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時(shí),都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,給出下列命題:
①f(3)=0;②直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸;③函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為增函數(shù);④函數(shù)y=f(x)在[-9,9]上有四個(gè)零點(diǎn).
其中所有正確命題的序號(hào)為 (把所有正確命題的序號(hào)都填上).
【解析】①②④.
總結(jié)提高
1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集,因此,討論函數(shù)的單調(diào)性,必須先確定函數(shù)的定義域.
2.函數(shù)的單調(diào)性可以借助函數(shù)圖象來研究,增函數(shù)的圖象自左向右是上升曲線,減函數(shù)的圖象自左向右是下降曲線.
3.導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性問題的有力工具.
4.利用函數(shù)單調(diào)性可比較大小、證明不等式、解不等式、求函數(shù)值域或最值等,既是一種方法,也是一種技巧,應(yīng)加強(qiáng)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,提高解題技巧.
5.函數(shù)的單調(diào)性不同于周期性與奇偶性,它僅僅是函數(shù)的局部性質(zhì).
2.3 函數(shù)的奇偶性
典例精析
題型一 函數(shù)奇偶性的判斷
【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1)f(x)=lg(1-x2)x2-2-2;
(2)f(x)=
【解析】(1)由 得定義域?yàn)?-1,0)∪(0,1),
這時(shí)f(x)=lg(1-x2)-(x2-2)-2=-lg(1-x2)x2,
因?yàn)閒(-x)=-lg[1-(-x)2](-x)2=-lg(1-x2)x2=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).
(2)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則
f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x),
當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x),
所以對(duì)任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).
【點(diǎn)撥】判斷函數(shù)的奇偶性時(shí),應(yīng)先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再分析
f(-x)與f(x)的關(guān)系,必要時(shí)可對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形.
【變式訓(xùn)練1】(2010廣東)若函數(shù)f(x)=3x+ 與g(x)=3x- 的定義域均為R,則( )
A. f (x)與g(x)均為偶函數(shù)B. f (x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)
C. f (x)與g(x)均為奇函數(shù)D. f (x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù)
【解析】B.
題型二 由奇偶性的條件求函數(shù)的解析式
【例2】若函數(shù)f(x)=x+mx2+nx+1是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),求f(x)的解析式.
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+mx2+nx+1是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),
所以f(0)=0,從而得m=0. 又f(12)+f(-12)=0,解得n=0.
所以f(x)=xx2+1(-1<x<1).
【變式訓(xùn)練2】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函數(shù),求a,b的值.
【解析】因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,即b-1a+2=0,解得b=1,所以f(x)= .
又由f(1)=-f(-1),所以1-2a+4=-1-12a+1,解得a=2. 故a=2,b=1.
題型三 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
【例3】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0且f(2)=6.
(1)求證:函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(2)求證:函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);
(3)在區(qū)間[-4,4]上,求f(x)的最值.
【解析】(1)證明:令x=y(tǒng)=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0,
令y=-x,有f(0)=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
(2)證明:設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
又x>0時(shí),f(x)>0,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).
(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是增函數(shù),
所以f(x)在區(qū)間[-4,4]上也是增函數(shù),
所以函數(shù)f(x)的最大值為f(4),最小值為f(-4),
因?yàn)閒(2)=6,所以f(4)=f(2)+f(2)=12,
又f(x)為奇函數(shù),所以f(-4)=-f(4)=-12,
故函數(shù)f(x)在區(qū)間[-4,4]上的最大值為12,最小值為-12.
【點(diǎn)撥】函數(shù)的最值問題,可先通過判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,再求區(qū)間上的最值.
【變式訓(xùn)練3】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=
則f(-1)= ,f(33)= .
【解析】4;-2.
總結(jié)提高
1.判定函數(shù)的奇偶性時(shí),應(yīng)先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再看f(-x)與f(x)的關(guān)系,必要時(shí)可對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形.
2.判定函數(shù)的奇偶性時(shí),有時(shí)可通過其等價(jià)形式:f(-x)±f(x)=0或f(-x)f(x)=±1 (f(x)≠0)進(jìn)行處理.
3.奇偶性與單調(diào)性、不等式相結(jié)合的問題,要注意數(shù)形結(jié)合求解.
2.4 二次函數(shù)
典例精析
題型一 求二次函數(shù)的解析式
【例1】已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=-2,在y軸上的截距為1,在x軸上截得的線段長(zhǎng)為22,求f(x)的解析式.
【解析】設(shè)f(x)=ax2+bx+c (a≠0),由已知有
解得a=12,b=2,c=1,所以f(x)=12x2+2x+1.
【點(diǎn)撥】求二次函數(shù)的解析式,要根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)男问剑N形式可以相互轉(zhuǎn)化,若二次函數(shù)圖象與x軸相交,則兩點(diǎn)間的距離為x1-x2=b2-4aca.
【變式訓(xùn)練1】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A(c,0),且關(guān)于直線x=2對(duì)稱,則這個(gè)二次函數(shù)的解析式是 .
【解析】由已知x=c為它的一個(gè)根,故另一根為1.
所以1+b+c=0,又-b2=2?b=-4,所以c=3.
所以f(x)=x2-4x+3.
題型二 二次函數(shù)的最值
【例2】已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x)>-2x的解集為(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等實(shí)根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值為正數(shù),求a的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)閒(x)+2x>0的解集為(1,3).
所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①
由f(x)+6a=0?ax2-(2+4a)x+9a=0,②
由②知,Δ=[-(2+4a)]2-4a×9a=0?5a2-4a-1=0,所以a=1或a=-15.
因?yàn)閍<0,所以a=-15,代入①得f(x)=-15x2-65x-35.
(2)由于f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-1+2aa)2-a2+4a+1a,
又a<0,可得[f(x)]max=-a2+4a+1a.
由 ?a<-2-3或-2+3<a<0.
【點(diǎn)撥】(1)利用Δ=0;(2)利用配方法.
【變式訓(xùn)練2】已知二次函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0,m]上有最大值3和最小值2,則m的取值范圍是 .
【解析】[1,2].
題型三 二次函數(shù)在方程、不等式中的綜合應(yīng)用
【例3】設(shè)函數(shù) f(x)=ax2+bx+c (a≠0),x1<x2,f(x1)≠f(x2),對(duì)于方程f(x)=12[ f(x1)+f(x2)],求證:
(1)方程在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)必有一解;
(2)設(shè)方程在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的根為m,若x1,m-12,x2成等差數(shù)列,則-b2a<m2.
【證明】(1)令g(x)=f(x)-12[ f(x1)+f(x2)],
則g(x1)g(x2)=12[ f(x1)-f(x2)] 12[ f(x2)-f(x1)]=-14 [ f(x1)-f(x2)]2<0,
所以方程g(x)=0在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)必有一解.
(2)依題意2m-1=x1+x2,即2m-x1-x2=1,
又f(m)=12[ f(x1)+f(x2)],即2(am2+bm+c)=ax21+bx1+c+ax22+bx2+c.
整理得a(2m2-x21-x22)+b(2m-x1-x2)=0,
a(2m2-x21-x22)+b=0,
所以-b2a=m2-x21+x222<m2.
【點(diǎn)撥】二次方程ax2+bx+c=0的根的分布問題,一般情況下,需要從三個(gè)方面考慮:①判別式;②區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的函數(shù)值的正負(fù);③相應(yīng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=-b2a與區(qū)間的位置關(guān)系.
【變式訓(xùn)練3】已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),α,β是f(x)=0的兩根(α<β),則實(shí)數(shù)α,β,a,b大小關(guān)系為( )
A.α<a<b<βB.a<α<β<b
C.a<α<b<βD.α<a<β<b
【解析】A.
總結(jié)提高
1.二次函數(shù)的表達(dá)式有多種形式,形式的選擇要依據(jù)題目的已知條件和所求結(jié)論的特征而定.
2.利用二次函數(shù)的知識(shí)解題始終要把握二次函數(shù)圖象的關(guān)鍵要素:①開口方向;②對(duì)稱軸;③與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).
3.二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個(gè)有機(jī)的整體,相互滲透,解題時(shí)要注意三者的相互轉(zhuǎn)化,重視用函數(shù)思想處理方程和不等式問題.
2.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
典例精析
題型一 指數(shù)及其運(yùn)算
【例1】計(jì)算:
(1) ;
(2)(0.027) -(-17)-2+(279) -(2-1)0.
【解析】(1)原式= ? ? ? ? =125.
(2)原式=(271 000 -(-1)-2(17)-2+(259 -1
=103-49+53-1=-45.
【點(diǎn)撥】進(jìn)行指數(shù)的乘除運(yùn)算時(shí),一般先化成相同的底數(shù).
【變式訓(xùn)練1】已知a,b是方程9x2-82x+9=0的兩根,求 - 的值.
【解析】a+b=829,ab=1.
原式=2 =2(ab) =2.
題型二 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
【例2】已知函數(shù)f(x)=2x-12x+1,其中x∈R.
(1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)證明f(x)是R上的增函數(shù).
【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閤∈R,
且f(-x)= =1-2x1+2x=-f(x), 所以f(x)為R上的奇函數(shù).
(2)證明:設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)= - = <0,
所以f(x)是R上的增函數(shù).
【點(diǎn)撥】在討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)或利用其性質(zhì)解題時(shí),要特別注意底數(shù)是大于1還是小于1,如果不能確定底數(shù)的范圍應(yīng)分類討論.
【變式訓(xùn)練2】函數(shù)y=ex+e-xex-e-x的圖象大致為( )
【解析】A.
題型三 指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)f(x)=2x-12x.
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對(duì)于t∈[1,2]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】f(x)=2x-12x=
(1)因?yàn)閒(x)=2,所以2x-12x=2.
因?yàn)閤≥0,所以2x=1+2,解得x=log2(1+2).
(2)因?yàn)閠∈[1,2],所以2tf(2t)+mf(t)≥0可化為2t(22t-122t)+m(2t-12t)≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1).
因?yàn)?2t-1>0,所以上式可化為m≥-(22t+1).
又因?yàn)椋?22t+1)的最大值為-5,所以m≥-5.
故使得2tf(2t)+mf(t)≥0對(duì)于t∈[1,2]恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-5,+∞).
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)=2x-1,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),則下列結(jié)論中一定成立的是( )
A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2cD.2a+2c<2
【解析】D.
總結(jié)提高
1.增強(qiáng)分類討論的意識(shí),對(duì)于根式na的意義及其性質(zhì)要分清n是奇數(shù),還是偶數(shù),指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)與底數(shù)a的取值范圍有關(guān),研究與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí),要注意分a>1與0<a<1兩種情況討論.
2.深化概念的理解與應(yīng)用,對(duì)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中冪指數(shù)為負(fù)數(shù)的情形,要注意底數(shù)a的取值限制.
3.掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),能利用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)問題.
2.6 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
典例精析
題型一 對(duì)數(shù)的運(yùn)算
【例1】計(jì)算下列各題:
(1)2(lg2)2+lg2 lg 5+(lg2)2-lg 2+1;
(2)lg 2+lg 5-lg 8lg 50-lg 40.
【解析】
(1)原式=2×(12lg 2)2+12lg 2lg 5+(lg2-1)2
=12lg 2(lg 2+lg 5)+1-12lg 2=1.
(2)原式=lg2×58lg5040=lg54lg54=1.
【點(diǎn)撥】運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及式子的恒等變形.
【變式訓(xùn)練1】已知log89=a,log25=b,用a,b表示lg 3為 .
【解析】由 ?lg 3=3a2+2b.
題型二 對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
【例2】設(shè)函數(shù)f(x)=loga(x-2) (a>0,且a≠1).
(1)求函數(shù)f(x)經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)解不等式log3(x-2)<1.
【解析】(1)當(dāng)x=3時(shí),loga1=0恒成立,所以函數(shù)f(x)所經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).
(2)當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù).
(3)不等式log3(x-2)<1等價(jià)于不等式組
解得2<x<5,所以原不等式的解集為(2,5).
【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)= 若f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【解析】要保證函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,則分段函數(shù)應(yīng)該在各自定義域內(nèi)分別單調(diào)遞增.若f(x)=(a-2)x-1在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞增,則a-2>0,即a>2.若f(x)=logax在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則a>1.另外要保證函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增還必須滿足(a-2)×1-1≤loga1=0,即a≤3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為2<a≤3.
題型三 對(duì)數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)f(x)=loga(3-ax).
(1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),函數(shù)f(x)恒有意義,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
【解析】(1)由題設(shè)知3-ax>0對(duì)一切x∈[0,2]恒成立,a>0,且a≠1.
因?yàn)閍>0,所以g(x)=3-ax在[0,2]上為減函數(shù),
從而g(2)=3-2a>0,所以a<32,
所以a的取值范圍為(0,1)∪(1,32).
(2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a,由題設(shè)知f(1)=1,
即loga(3-a)=1,所以a=32,
此時(shí)f(x)= (3-32x).
當(dāng)x=2時(shí),f(x)沒有意義,故這樣的實(shí)數(shù)不存在.
【點(diǎn)撥】這是一道探索性問題,注意函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化,存在性問題的處理,一般是先假設(shè)存在,再結(jié)合已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解,如推出矛盾,則不存在,反之,存在性成立.
【變式訓(xùn)練3】給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)f(x)=ln x-2+x在區(qū)間(1,e)上存在零點(diǎn);
②若f′(x0)=0,則函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值;
③若m≥-1,則函數(shù)y= (x2-2x-m)的值域?yàn)镽;
④“a=1”是“函數(shù)f(x)=a-ex1+aex在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件.
則其中正確的序號(hào)是 (把全部正確命題的序號(hào)都填上).
【解析】因?yàn)閒(1)=ln 1-2+1=-1<0,f(e)=ln e-2+e=e-1>0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e)上存在零點(diǎn),命題①正確;對(duì)于函數(shù)f(x)=x3來說,f′(x)=3x2,顯然有f′(0)=0,但f(x)在定義域上為增函數(shù),故x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn),命題②錯(cuò)誤;令t=x2-2x-m,若m≥-1,則Δ=(-2)2-4×1×(-m)=4+4m≥0,所以t=x2-2x-m可以取遍所有的正數(shù),所以函數(shù)
y= (x2-2x-m)的值域?yàn)镽,命題③正確;由f(-x)=-f(x),可得a-e-x1+ae-x=-a-ex1+aex,解得a=±1,即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件為a=±1,故 “a=1”是“函數(shù)f(x)=a-ex1+aex為奇函數(shù)”的充分不必要條件,所以命題④正確.綜上所述,正確的命題為①③④.
總結(jié)提高
1.熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式是解決對(duì)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)和前提,運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,要注意各字母的取值范圍,同時(shí),不要將積、商、冪、方根的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的積、商、冪、方根混淆起來.
2.研究對(duì)數(shù)問題時(shí),要盡量化成同底,另外,研究對(duì)數(shù)問題時(shí)要注意對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的限制條件.
3.對(duì)數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì)是單調(diào)性,比較大小是單調(diào)性的重要運(yùn)用,在比較時(shí),通常利用函數(shù)的單調(diào)性或借助于中間量-1,0,1來比較,但要注意分類討論.
4.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)討論一些函數(shù)的應(yīng)用問題是?碱}型,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸等數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用.
2.7 冪函數(shù)與函數(shù)的圖象
典例精析
題型一 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【例1】點(diǎn)(2,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,點(diǎn)(-2,14)在冪函數(shù)g(x)的圖象上.
(1)求f(x)、g(x)的解析式;
(2)問當(dāng)x為何值時(shí),有:①g(x)<f(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x).
【解析】(1)設(shè)f(x)=xa,因?yàn)辄c(diǎn)(2,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,將(2,2)代入f(x)=xa中,得2=(2)a,解得a=2,即f(x)=x2.
設(shè)g(x)=xb,因?yàn)辄c(diǎn)(-2,14)在冪函數(shù)g(x)的圖象上,將(-2,14)代入g(x)=xb中,得14=(-2)b,解得b=-2,即g(x)=x-2.
(2)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)和g(x)的圖象,如圖所示,由圖象可知:
①當(dāng)x>1或x<-1時(shí),g(x)<f(x);
②當(dāng)x=±1時(shí),f(x)=g(x);
③當(dāng)-1<x<1且x≠0時(shí),f(x)<g(x).
【點(diǎn)撥】(1)求冪函數(shù)解析式的步驟:
①設(shè)出冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)=xa(a為常數(shù));
②根據(jù)已知條件求出a的值;
③寫出冪函數(shù)的解析式.
本題的第(2)問采用了數(shù)形結(jié)合的思想,即在同一坐標(biāo)系下畫出兩函數(shù)的圖象,借助圖象求出不等式和方程的解.這一問也可用分類討論的思想.x2=1x2,即x4=1,x=±1,以x=1,-1為分界點(diǎn)分x>1,-1<x<1,x<-1,x=±1五種情況進(jìn)行討論,也能得到同樣的結(jié)果.
【變式訓(xùn)練1】函數(shù)f(x)=(m2-m-1) 是冪函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)是減函數(shù),求實(shí)數(shù)m.
【解析】因?yàn)閒(x)為冪函數(shù),
所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.
當(dāng)m=2時(shí),f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數(shù);
當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=x0在(0,+∞)上不是減函數(shù).
所以m=2.
題型二 作函數(shù)圖象
【例2】作下列函數(shù)圖象:
(1)y=1+log2x;
(2)y=2x-1;
(3)y=x2-4.
【解析】(1)y=1+log2x的圖象是:
(2)y=2x-1的圖象是:
(3)y=x2-4的圖象是:
【變式訓(xùn)練2】在下列圖象中,二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=(ba)x的圖象只可能是( )
【解析】A.
題型三 用數(shù)形結(jié)合思想解題
【例3】已知f(x)=x2-4x+3.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求m的取值范圍,使方程f(x)=mx有4個(gè)不同實(shí)根.
【解析】
遞增區(qū)間為[1,2],[3,+∞);
遞減區(qū)間為(-∞,1),(2,3).
(2)設(shè)y=mx與y=f(x)有四個(gè)公共點(diǎn),過原點(diǎn)的直線l與y=f(x)有三個(gè)公共點(diǎn),如圖所示.令它的斜率為k,則0<m<k.
由
?x2+(k-4)x+3=0.①
令Δ=(k-4)2-12=0?k=4±23.
當(dāng)k=4+23時(shí),方程①的根x1=x2=-3?(1,3),舍去;當(dāng)k=4-23時(shí),方程①的根x1=x2=3∈(1,3),符合題意.故0<m<4-23.
【點(diǎn)撥】(1)作出f(x)的圖象;(2)利用(1)的圖象,研究函數(shù)y=mx與y=f(x)的交點(diǎn)情況.
【變式訓(xùn)練3】若不等式x2-logax<0對(duì)x∈(0,12)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.0<a<1 B.116≤a<1
C.a>1 D.0<a≤116
【解析】原不等式為x2<logax,設(shè)f(x)=x2,g(x)=logax,因?yàn)?<x<12<1,而logax>x2>0,所以0<a<1,作出f(x)在x∈(0,12)內(nèi)的圖象,如圖所示.
因?yàn)閒(12)=14,所以A(12,14),當(dāng)g(x)圖象經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),14=loga12?a=116,因?yàn)楫?dāng)x∈(0,12)時(shí),logax>x2,g(x)圖象按如圖虛線位置變化,所以116≤a<1,故答案為B.
題型四 有關(guān)圖象的對(duì)稱問題
【例4】設(shè)函數(shù)f(x)=x+1x,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)的圖象為C1,C1關(guān)于點(diǎn)A(2,1)對(duì)稱的圖象為C2,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x).
(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式,并確定其定義域;
(2)若直線y=b與C2只有一個(gè)交點(diǎn),求b的值,并求出交點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】(1)設(shè)P(u,v)是y=x+1x上任意一點(diǎn),所以v=u+1u.①
設(shè)P關(guān)于A(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為Q(x,y),
所以 ?
代入①得2-y=4-x+14-x?y=x-2+1x-4.
所以g(x)=x-2+1x-4,其定義域?yàn)?-∞,4)∪(4,+∞).
(2)聯(lián)立方程得
?x2-(b+6)x+4b+9=0,
所以Δ=(b+6)2-4×(4b+9)=b2-4b=0?b=0或b=4.所以,當(dāng)b=0時(shí),交點(diǎn)為(3,0);當(dāng)b=4時(shí),交點(diǎn)為(5,4).
【變式訓(xùn)練4】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足:f(x)是偶函數(shù),f(x-1)是奇函數(shù).若f(0.5)=9,則f(8.5)等于( )
A.-9B.9 C.-3 D.0
【解析】因?yàn)閒(-x)=f(x),f(-x-1)=-f(x-1),所以f(-2+x)=-f(-x)=-f(x),則f(4+x)=-f(x+2)=f(x),即4是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,所以f(8.5)=f(0.5)=9,故應(yīng)選B.本題考查了抽象函數(shù)周期性的判斷及其函數(shù)值的求解問題,合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.
總結(jié)提高
掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點(diǎn)法和圖象變換法.函數(shù)圖象為研究函數(shù)的性質(zhì),解決方程、不等式中的問題提供了一種直觀方法,用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題.函數(shù)的圖象是溝通“數(shù)”與“形”的一個(gè)重要橋梁.應(yīng)用函數(shù)圖象法解數(shù)學(xué)問題往往具有直觀易懂、運(yùn)算量小的優(yōu)點(diǎn),但用圖象法求變量的取值范圍時(shí),要特別注意端點(diǎn)值的取舍和特殊情況.
2.8 函數(shù)與方程
典例精析
題型一 確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間
【例1】已知函數(shù)f(x)=x+log2x,問方程f(x)=0在區(qū)間[14,4]上有沒有實(shí)根,為什么?
【解析】因?yàn)閒 (14)=14+log214=14-2=-74<0,
f(4)=4+log24=4+2=6>0,f(14) f(4)<0,又f(x)=x+log2x在區(qū)間[14,4]是連續(xù)的,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[14,4]上有零點(diǎn),即存在c∈[14,4],使f(c)=0,
所以方程f(x)=0在區(qū)間[14,4]上有實(shí)根.
【點(diǎn)撥】判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是否在區(qū)間(a,b)內(nèi),只需檢驗(yàn)兩條:①函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是連續(xù)不斷的;②f(a) f(b)<0.
【變式訓(xùn)練1】若x0是函數(shù)f(x)=x+2x-8的一個(gè)零點(diǎn),則[x0](表示不超過x0的最大整數(shù))= .
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+2x-8在區(qū)間(-∞,+∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù),且f(2) f(3)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上存在唯一的零點(diǎn)x0,所以[x0]=2.
題型二 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
【例2】判斷下列函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(1)f(x)=x2+mx+(m-2);
(2)f(x)=x-4+log2x.
【解析】(1)由Δ=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0,得知f(x)=x2+mx+(m-2)>0有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x-4+log2x在區(qū)間(0,+∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù),且f(2) f(3)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一的零點(diǎn).
【點(diǎn)撥】判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有以下兩種方法:
(1)方程f(x)=0的根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)函數(shù)f(x)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
特殊情況下,還可以將方程f(x)=0化為方程g(x)=h(x),然后再看函數(shù)y=g(x)與y=h(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【變式訓(xùn)練2】問a為何值時(shí),函數(shù)f(x)=x3-3x+a有三個(gè)零點(diǎn),二個(gè)零點(diǎn),一個(gè)零點(diǎn)?
【解析】f′(x)=3x2-3=0,得x1=1,x2=-1,此時(shí)f(x)有極大值f(-1)=2+a,極小值f(1)=-2+a.由圖象(圖略)得知:
當(dāng)-2<a<2時(shí),函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)a=-2或a=2時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)a<-2或a>2時(shí),函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn).
題型三 利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)零點(diǎn)問題
【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+2x2-4x+2a.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)關(guān)于x的方程f(x)=a2在[-3,2]上有三個(gè)相異的零點(diǎn),求a的取值范圍.
【解析】(1)f′(x)=3x2+4x-4.
由f′(x)>0,得x<-2或x>23;由f′(x)<0,得-2<x<23.
故f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,-2)、(23,+∞),
f(x)的遞減區(qū)間為(-2,23).
(2)由f(x)=a2?x3+2x2-4x-a2+2a=0,
令g(x)=x3+2x2-4x-a2+2a.
所以g′(x)=3x2+4x-4.
由(1)可知,g(x)在(-∞,-2)和(23,+∞)上遞增,在(-2,23)上遞減,故g(x)在[-3,
-2]和[23,2)上為增函數(shù),在[-2,23]上為減函數(shù).
關(guān)于x的方程f(x)=a2在[-3,2]上有三個(gè)不同的零點(diǎn),則
解得-2<a≤-1或3≤a<4.
【點(diǎn)撥】(1)先求f′(x),由f′(x)=0求出極值點(diǎn),再討論單調(diào)性;(2)利用(1)及函數(shù)f(x)的大致圖形,找到滿足題設(shè)的a的條件.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)=x33+12ax2+2bx+c的兩個(gè)極值分別為f(x1)和f(x2),若x1和x2分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi),則b-2a-1的取值范圍為( )
A.(-1,-14)B.(-∞,14)∪(1,+∞)
C.(14,1)D.(14,2)
【解析】因?yàn)閒′(x)=x2+ax+2b,由題意可知,
畫出a,b滿足的可行域,如圖中的陰影部分(不包括邊界)所示,b-2a-1表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)D(1,2)的連線的斜率,記為k,觀察圖形可知,kCD<k<kBD,而kCD=2-11-(-3)=14,kBD=2-01-(-1)=1,所以14<b-2a-1<1,故選C.
總結(jié)提高
函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根,也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),注意零點(diǎn)不是“點(diǎn)”,并不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn),或者說不是所有的函數(shù)圖象都與x軸有交點(diǎn).二分法是求一般函數(shù)零點(diǎn)的一種通法,但要注意使用二分法的條件.二分法是利用“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想得到零點(diǎn)的近似值,但二分法也存在局限性,一是二分法一次只能求一個(gè)零點(diǎn),二是在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí),未必f(a) f(b)<0成立,三是二分法計(jì)算量較大,常要借助計(jì)算器完成.
2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用
典例精析
題型一 運(yùn)用指數(shù)模型求解
【例1】按復(fù)利計(jì)算利率的一種儲(chǔ)蓄,本金為a元,每期利率為r,設(shè)本利和為y,存期為x,寫出本利和y隨期數(shù)x的變化函數(shù)式.如果存入本金10 000元,每期利率為2.25%,計(jì)算5期的本息和是多少?
【解析】已知本金為a元,
1期后的本利和為y1=a+a×r=a(1+r);
2期后的本利和為y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;
3期后的本利和為y3=a(1+r)2+a(1+r)2r
=a(1+r)3;
? ?
x期后的本利和為y=a(1+r)x.
將a=10 000, r=2.25%, x=5代入上式得
y=10 000(1+2.25%)5=11 176.8,
所以5期后的本利和是11 176.8元.
【點(diǎn)撥】在實(shí)際問題中,常遇到有關(guān)平均增長(zhǎng)率的問題,如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則總產(chǎn)值y與時(shí)間x的關(guān)系為y=N(1+p)x.
【變式訓(xùn)練1】某工廠去年十二月的產(chǎn)值為a,已知月平均增長(zhǎng)率為p,則今年十二月的月產(chǎn)值較去年同期增長(zhǎng)的倍數(shù)是( )
A.(1+p)12-1B.(1+p)12
C.(1+p)11D.12p
【解析】今年十二月產(chǎn)值為a(1+p)12,去年十二月產(chǎn)值為a,故比去年增長(zhǎng)了[(1+p)12-1]a,故選A.
題型二 分段函數(shù)建模求解
【例2】在對(duì)口脫貧活動(dòng)中,為了盡快脫貧(無債務(wù))致富,企業(yè)甲經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣點(diǎn)以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)給尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘病人企業(yè)乙,并約定從該經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)中,首先保證企業(yè)乙的全體職工每月的最低生活費(fèi)開支3600元后,逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息). 在甲提供資料中有:①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)每件14元;②該店月銷售量Q(百件)與銷價(jià)p(元)關(guān)系如圖;③每月需各種開支2 000元.
(1)試問為使該店至少能維持職工生活,商品價(jià)格應(yīng)控制在何種范圍?
(2)當(dāng)商品價(jià)格為每件多少元時(shí),月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大?并求最大余額;
(3)企業(yè)乙只依靠該廠,最早可望幾年后脫貧?
【解析】設(shè)該店月利潤(rùn)額為L(zhǎng),則由假設(shè)得
L=Q(p-14)×100-3 600-2 000,①
(1)當(dāng)14≤p≤20時(shí),由L≥0得18≤p≤20,
當(dāng)20<p≤26時(shí),由L≥0得20<p≤22,
故商店銷售價(jià)應(yīng)控制在18≤p≤22之內(nèi).
(2)當(dāng)18≤p≤20時(shí),L最大=450元,此時(shí),p=19.5元.
當(dāng)20<p≤22時(shí),L最大=41623元,此時(shí),p=2013元.
故p=19.5元時(shí),月利潤(rùn)最大余額為450元.
(3)設(shè)可在n年內(nèi)脫貧,依題意得
12n×450-50 000-58 000≥0,解得n≥20,
即最少可望在20年后脫貧.
【點(diǎn)撥】解答這類題關(guān)鍵是要仔細(xì)審題,理解題意,建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型,求解時(shí),也可利用導(dǎo)數(shù),此外要注意問題的實(shí)際意義.
【變式訓(xùn)練2】國家稅務(wù)部門規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)的納稅辦法是:不超過800元的不納稅;超過800元而不超過4 000元的按照超過800元部分的14%納稅;超過4 000元的按全稿費(fèi)的11%納稅.某人出版了一本書,共納稅550元,問此人的稿費(fèi)為多少元?
【解析】設(shè)納稅y(元)時(shí)稿費(fèi)為x(元),則
由y>500知x>4 000,所以x×11%=550?x=5 000,
所以此人稿費(fèi)為5 000元.
題型三 生活中的優(yōu)化問題
【例3】(2010湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=k3x+5(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元,設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式;
(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最。坎⑶笞钚≈.
【解析】(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm,由題設(shè),每年能源消耗費(fèi)用為C(x)=k3x+5,
再由C(0)=8得k=40,因此C(x)=403x+5.而建造費(fèi)用為C1(x)=6x.
最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)=6-2 400(3x+5)2,令f′(x)=0,即2 400(3x+5)2=6,
解得x=5,x=-253(舍去).
當(dāng)0<x<5時(shí),f′(x)<0;當(dāng)5<x<10,f′(x)>0,
故x=5是f(x)的最小值點(diǎn),對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)=6×5+80015+5=70.
當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元.
【點(diǎn)撥】如果根據(jù)數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的類型,可由數(shù)據(jù)的變化情況對(duì)其單調(diào)性、對(duì)稱性和特定值進(jìn)行判斷,也可以從所給的部分?jǐn)?shù)據(jù)求出模擬函數(shù)解析式,再由其他數(shù)據(jù)進(jìn)一步判斷.
【變式訓(xùn)練3】某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料,如圖,為降低消耗,開源節(jié)流,現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用,當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí),矩形兩邊長(zhǎng)x、y應(yīng)為x= ,y= .
【解析】如圖,由已知有x20-x=24-yy-8,
即4x+5y-120=0,
S=xy=120(4x 5y)≤120(4x+5y2)2=180.
所以 ?x=15,y=12.
總結(jié)提高
利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題,運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想、不同的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不同的增長(zhǎng)變化規(guī)律.一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長(zhǎng)規(guī)律的函數(shù)模型,它們的增長(zhǎng)存在很大的差異,如指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)是指數(shù)“爆炸”,對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)是逐步趨于平衡,而冪函數(shù)增長(zhǎng)遠(yuǎn)低于指數(shù)函數(shù),因此建立恰當(dāng)數(shù)學(xué)模型并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象,對(duì)某些發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.
2.10函數(shù)的綜合應(yīng)用
典例精析
題型一 抽象函數(shù)的計(jì)算或證明
【例1】已知函數(shù) f (x)對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,y都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.
求證: f(x)是偶函數(shù).
【證明】因?yàn)閷?duì)于任何實(shí)數(shù)x、y都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),
令x=y(tǒng)=0,則f(0)+f(0)=2f(0)f(0),所以2f(0)=2f(0)f(0),
因?yàn)閒(0)≠0,所以f(0)=1,
令x=0,y=x,則f(0+x)+f(0-x)=2f(0)f(x),
所以f(x)+f(-x)=2f(x),所以f(-x)=f(x),
故f(x)是偶函數(shù).
【點(diǎn)撥】對(duì)于判斷抽象函數(shù)的奇偶性問題常常采用“賦值法”探索求解途徑;判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性單調(diào)性時(shí),既要扣緊函數(shù)奇偶性單調(diào)性的定義,又要靈活多變,以創(chuàng)造條件滿足定義的要求.
【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x,y有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)的定義域?yàn)镽,請(qǐng)判定f(x)的奇偶性.
【解析】取x=y(tǒng)=0,得f(0)=0.
取y=-x,得f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).
題型二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【例2】已知函數(shù)f(x)=x3+2x2-ax+1.
(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為4,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)g(x)=f′(x)在區(qū)間(-1,1)上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】由題意得g(x)=f′(x)=3x2+4x-a.
(1)f′(1)=3+4-a=4,所以a=3.
(2)方法一:①當(dāng)g(-1)=-a-1=0,即a=-1時(shí),g(x)=f′(x)的零點(diǎn)x=-13∈(-1,1);
②當(dāng)g(1)=7-a=0,即a=7時(shí),
f′(x)的零點(diǎn)x=-73?(-1,1),不合題意;
③當(dāng)g(1)g(-1)<0時(shí),-1<a<7;
④當(dāng) 時(shí),-43≤a<-1.綜上所述,a∈[-43,7).
方法二:g(x)=f′(x)在區(qū)間(-1,1)上存在零點(diǎn),等價(jià)于3x2+4x=a在區(qū)間(-1,1)上有解,也等價(jià)于直線y=a與曲線y=3x2+4x,x∈(-1,1)有公共點(diǎn),作圖可得a∈[-43,7).
方法三:等價(jià)于當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),求值域:a=3x2+4x=3(x+23)2-43∈[-43,7).
【變式訓(xùn)練2】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與坐標(biāo)軸交于(-1,0)和(0,-1),且其頂點(diǎn)在第四象限,則a+b+c的取值范圍為 .
【解析】由已知c=-1,a-b+c=0,所以a+b+c=2a-2.
又 ?0<a<1,所以a+b+c∈(-2,0).
題型三 化歸求函數(shù)的最大值和最小值問題
【例3】某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者把開始6個(gè)月試銷售A、B兩種商品的逐月投資與所獲得的純利潤(rùn)列成下表:
投資A商品
(萬元)123456
獲純利
(萬元)0.651.391.8521.841.40
投資B商品
(萬元)123456
獲純利
(萬元)0.250.490.7611.261.51
該經(jīng)營(yíng)者下月投入12萬元經(jīng)營(yíng)這兩種商品,但不知投入A、B兩種商品各多少才能獲得最大的利潤(rùn),請(qǐng)你幫助制定一個(gè)資金投入方案,使該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大利潤(rùn),并根據(jù)你的方案求出經(jīng)營(yíng)者下個(gè)月可能獲得的最大利潤(rùn)(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字).
【解析】以投資金額為橫坐標(biāo),純利潤(rùn)為縱坐標(biāo),可以在直角坐標(biāo)系中畫出圖象.
據(jù)此可以考慮用下列函數(shù)描述上述兩組數(shù)據(jù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系
y=-a(x-4)2+2 (a>0),①
y=bx,②
把x=1,y=0.65代入①得a=0.15,故前6個(gè)月所獲得的純利潤(rùn)關(guān)于投資A商品的金額函數(shù)關(guān)系式可近似的用y=-0.15(x-4)2+2表示,
再把x=4,y=1代入②可得b=0.25,故前6個(gè)月所獲得的純利潤(rùn)關(guān)于投資B商品的金額函數(shù)關(guān)系式可近似的用y=0.25x表示,
設(shè)下個(gè)月投資A商品x萬元,則投資B商品(12-x)萬元,則可獲得純利潤(rùn)為
y=-0.15(x-4)2+2+0.25(12-x)=-0.15x2+0.95x+2.6,
可得當(dāng)x≈3.2時(shí),y取最大值4.1萬元.
故下個(gè)月分別投資A、B兩種商品3.2萬元和8.8萬元可獲得最大利潤(rùn)4.1萬元.
【點(diǎn)撥】本題可以用兩個(gè)函數(shù)近似地表示兩種投資方案,是估計(jì)思想的體現(xiàn).根據(jù)表中所列數(shù)據(jù),把近似函數(shù)的解析式求出來,由此求得最大利潤(rùn).解決此類問題的關(guān)鍵在于根據(jù)列出的散點(diǎn)圖來選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,然后求出待定系數(shù)便可求得函數(shù)解析式,再由解析式求最優(yōu)解.
【變式訓(xùn)練3】求函數(shù)y= 的值域.
【解析】x=0時(shí),y=0;
x>0時(shí),y= ,所以0<y<1;
x<0時(shí),y= ,所以-2≤y<0.
綜上,-2≤y<1.
總結(jié)提高
1.函數(shù)把數(shù)學(xué)各個(gè)分支緊緊地連在一起,函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、幾何、三角函數(shù)彼此滲透、互相融合,構(gòu)成了函數(shù)應(yīng)用的廣泛性、解法的多樣性、思維的創(chuàng)造性.解這類綜合問題應(yīng)注意如下幾點(diǎn):
(1)在解題時(shí)有些函數(shù)的性質(zhì)并不明顯,深入挖掘這些隱含條件,將獲得簡(jiǎn)捷解法;
(2)應(yīng)堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則,先弄清自變量的取值范圍;
(3)函數(shù)思想處處存在,要重視對(duì)函數(shù)思想的研究和應(yīng)用,在解題時(shí),要有意識(shí)地引進(jìn)變量,建立相關(guān)函數(shù)關(guān)系,利用有關(guān)函數(shù)知識(shí)解決問題.
2.解函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟:
(1)閱讀理解,審清題意.讀題要逐字逐句,讀懂題中的文字?jǐn)⑹觯斫鈹⑹鏊磉_(dá)的實(shí)際背景,在此基礎(chǔ)上分析出已知什么,求什么,從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題;
(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),建立數(shù)學(xué)模型.一般地,設(shè)自變量為x,函數(shù)為y,必要時(shí)引進(jìn)其他相關(guān)輔助變量,并用x、y和輔助變量表示各相關(guān)量,然后再根據(jù)問題已知條件,運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)和其他相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式,在此基礎(chǔ)上,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,實(shí)現(xiàn)問題數(shù)學(xué)化,即建立數(shù)學(xué)模型;
(3)利用數(shù)學(xué)方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題予以解答,求出結(jié)果;
(4)將所得結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答.
本文來自:逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/80508.html
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