第二講 三角變換與解三角形
【最新考綱透析】
1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。
2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式。
3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角各的正弦、余弦、正切公式,導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。
4.能運(yùn)用和與差、二倍角的三角函數(shù)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但對(duì)這三組公式不要求記憶)。
5.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決 一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。
6.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1:三角變換及求值
考情聚焦:1.利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角變換、求值是高考必考內(nèi)容。
2.該類問(wèn)題出題背景選擇面廣,解答題中易出現(xiàn)與新知識(shí)的交匯題。
3.該類題目在選擇、填空、解答題中都有可能出現(xiàn),屬中、低檔題。
考向鏈接: 1.在涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用時(shí),常用到如下變形
(1) ;
(2)角的變換 ;
(3) 。
2.利用兩角和與差的三角函數(shù)公式可解決求值求角問(wèn)題,常見(jiàn)有以下三種類型:
(1)“給角求值”,即在不查表的前提下,通過(guò)三角恒等變換求三角函數(shù)式的值;
(2)“給值求值”,即給出一些三角函數(shù)值,求與之有關(guān)的其他三角函數(shù)式的值;
(3)“給值求角”,即給出三角函數(shù)值,求符合條件的角。
例1:已知向量 ,且
(Ⅰ)求tan A的值;
(Ⅱ)求函數(shù) R)的值域
解析:(Ⅰ)由題意得m?n=sinA- 2cosA=0,
因?yàn)閏osA≠0,所以tanA=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知tanA=2得
因?yàn)閤 R,所以 .當(dāng) 時(shí),f(x)有最大值 ,
當(dāng)sinx= -1時(shí),f(x)有最小值-3
所以所求函數(shù)f(x)的值域是
要點(diǎn)考向2:正、余弦定理的應(yīng)用
考情聚焦:1 .利用正、余弦定理解決涉及三角形的問(wèn)題,在近3年新課標(biāo)高考中都有出現(xiàn),預(yù)計(jì)將會(huì)成為今后高考的一個(gè)熱點(diǎn)。
2.該類問(wèn)題多數(shù)是以三角形或其他平面圖形為背景,考查正、余弦定理及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明。
3.多以解答題的形式出現(xiàn),有時(shí)也在選擇、填空題中出現(xiàn)。
考向鏈接:1.在三角形中考查三角函數(shù)式變換,是近幾年高考的熱點(diǎn),它是在新的載體上進(jìn)行的三角變換,因此要時(shí)刻注意它重要性:一是作為三角形問(wèn)題,它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì),及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化,有利于發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路;其二,它畢竟是三角形變換,只是角的范圍受到了限制,因此常見(jiàn)的三角變換方法和原則都是適用的,注意“三統(tǒng)一”,即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”,是使問(wèn)題獲得解決的突破口。
2.在解三角形時(shí),三角形內(nèi)角的正弦值一定為正,但該角不一定是銳角,也可能為鈍角(或直角),這往往造成有兩解,應(yīng)注意分類討論,但三角形內(nèi)角的余弦為正,該角一定為銳角,且有惟一解,因此,在解三角形中,若有求角問(wèn)題,應(yīng)盡量避免求正弦值。
例2:(2010?遼寧高考理科?T17)在△ABC中,a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊,且
(Ⅰ)求A的大;
(Ⅱ)求 的最大值.
【命題立意】考查了正弦定理,余弦定理,考查了三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)的最值。
【思路點(diǎn)撥】(I)根據(jù)正統(tǒng) 定理將已知條件中角的正弦化成邊,得到邊的關(guān)系,再由余弦定理求角
(II)由(I)知角C=60°-B代入sinB+sinC中,看作關(guān)于角B的函數(shù),進(jìn)而求出最值
【規(guī)范解答】(Ⅰ)由已 知,根據(jù)正弦定理得
即
由余弦定理得
故 ,A=120°
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
故當(dāng)B=30°時(shí),sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理,實(shí)現(xiàn)角的正 弦化為邊時(shí)只能是用a替換sinA,用b替換sinB,用c替換sinC。sinA,sinB,sinC的次數(shù)要相等,各項(xiàng)要同時(shí)替換,反之,用角的正弦替換邊時(shí)也要這樣,不能只替換一部分。
(2)以三角形為背景的題目,要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用。象本例中B+C=60°
要點(diǎn)考向3:三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
考情聚焦:1.有關(guān)解三角形及實(shí)際應(yīng)用在高考中有時(shí)出現(xiàn)。
2.該類問(wèn)題以實(shí)際問(wèn)題為背景,其建模后為解三角形問(wèn)題,與三角函數(shù)及三角變換等知識(shí)交匯。
3.多以解答題的形式出現(xiàn),題目不會(huì)太難。
例3:(2010?江蘇高考?T17)某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位:m),如示意圖,垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE= ,∠ADE= 。
(1)該小組已測(cè)得一組 、 的值,算出了tan =1.24,tan =1.20,請(qǐng)據(jù)此算出H的值;
(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后,認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位:m),使 與 之差較 大,可以提高測(cè)量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m,試問(wèn)d為多少時(shí), - 最大?
【命題立意】本題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及 不等式的 應(yīng)用。
【思路點(diǎn)撥】(1)分別利用 表示AB、AD、BD,然后利用AD—AB=DB求解;
(2)利用基本不等式求解.
【規(guī)范解答】(1) ,同理: , 。
AD—AB=DB,故得 ,解得: 。
因此,算出的電視塔的高度H是124m。
(2)由題設(shè)知 ,得 ,
,(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),取等號(hào))
故當(dāng) 時(shí), 最大。
因?yàn)?,則 ,由 的單調(diào)性可知:當(dāng) 時(shí), - 最大。
故所求的 是 m。
【高考真題探究】
1.(2010?福建高考文科?T2)計(jì)算 的結(jié)果等于( )
A. B. C. D.
【命題立意】本題考查利用余弦的倍角公式的逆用,即降冪公式,并進(jìn)行三角的化簡(jiǎn)求值。
【思路點(diǎn)撥】 直接套用倍角公式的逆用公式,即降冪公式即可。
【規(guī)范解答】選B, 。
【方法技巧】對(duì)于三角公式的學(xué)習(xí),要注意靈活掌握其變形公式,才能進(jìn)行靈活的恒等變換。如倍角公式: , 的逆用公式為“降冪公式”,即為 , ,在三角函數(shù)的恒等變形中,降冪公式的起著重要的作用。
2.(2010 海南寧夏高考 理科T16)在 中,D為邊BC上一點(diǎn),BD= DC, =120°,AD=2,若 的面積為 ,則 = .
【命題立意】本題主要考查了余弦定理及其推論的綜合應(yīng)用.
【思路點(diǎn)撥】利用三角形中的余弦定理極其推論。列出邊與角滿足的關(guān)系式求解.
【規(guī)范解答】設(shè) ,則 ,由 的面積為 可知
,可得 ,由余弦定理可知
,所以
,所以
由 ,及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟練三角形中隱含的角的關(guān)系,利用余弦定理或正弦定理找邊與角的關(guān)系,列出等式求解.
3.(2010?天津高考理科?T7)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若 , ,則A= ( )
(A) (B) (C) (D)
【命題立意】考查三角形的有關(guān)性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正、余弦定理將邊角互化。
【規(guī)范解答】選A,根據(jù)正弦定理及 得:
,
。
【 方法技巧】根據(jù)所給 邊角關(guān)系,選擇使用正弦定理或余弦定理,將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角。
4.(2010?北京高考理科?T10)在△ABC中,若b = 1,c = , ,則a = 。
【命題立意】本題考查解三角形中的余弦定理。
【思路點(diǎn)撥】對(duì) 利用余弦定理,通過(guò)解方程可解出 。
【規(guī)范解答】由余弦定理得, ,即 ,解得 或 (舍)。
【答案】1
【方法技巧】已知兩邊及一角求另一邊時(shí),用余弦定理比較好。
5.(2010?天津高考理科?T17)已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù) 的最小正周期及在區(qū)間 上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若 ,求 的值。
【命題立意】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦公式、函數(shù) 的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí),考查基本運(yùn)算能力。
【思路點(diǎn)撥】化成一個(gè)角的三角函數(shù)的形式;變角 ,
【規(guī)范解答】(1)由 ,得
所以函數(shù) 的最小正周期為
因?yàn)?在區(qū)間 上為增函數(shù),在區(qū)間 上為減函數(shù),又
,所以函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為2,最小值為-1
(Ⅱ)由(1)可知 又因?yàn)?,所以
由 ,得 從而
所以
6.(2010?陜西高考理科?T17)如圖,A,B是海面上位于東西方向相距
海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60°
的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南 偏西60°且與B點(diǎn)相距 海里的C點(diǎn)的 救援船立即即前往營(yíng)救,其航行速度為30海里/小時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間?
【命題立意】本題考查了三角恒等變換、已知三角函數(shù)值求角以及正、余弦定理,考查了解決三角形問(wèn)題的能力,屬于中檔題。
【思路點(diǎn)撥】解三角形
【規(guī)范解答】
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(本大題共6個(gè)小題,每小題6分,總分36分)
1.(2010屆?山東省實(shí)驗(yàn)高三一診(文))已知點(diǎn) 在第四象限, 則角 的終邊在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若 ,則 的值為( )
A. B. C. D.
3.函數(shù) 的最小正周期T= ( )
(A)2π(B)π(C) (D)
4.若函數(shù)y=f(x)同時(shí)具有下列三個(gè)性質(zhì):(1)最小正周期為π,(2)圖象關(guān)于直線 對(duì)稱;(3)在區(qū)間 上是增函數(shù),則y=f(x)的解析式可以是( )
A. B.
C. D.
5.(2010屆?廣東高三六校聯(lián)考(理))如圖,Rt△ABC中,AC⊥BC,D在邊AC上,已知BC=2,CD=1,∠ABD=45°,則AD=( )
A.2B.5C.4D.1
二、填空題(本大題共3個(gè)小題,每小題6分,總分18分)
7.在 中,角 , , 所對(duì)的邊分別是 , , ,若 ,且 ,則 的面積等于_____
8.若定義在區(qū)間 上的函數(shù) 對(duì) 上的任意 個(gè)值 , ,…, ,總滿足 ≤ ,則稱 為 上的凸函數(shù).已知函數(shù) 在區(qū)間 上是“凸函數(shù)”,則在△ 中, 的最大值是____.
9.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足cosA(sinB+cosB)+cosC=0,則A=_______.
三、解答題(10、11題每小題15分,12題16分,總分46分)
10.(本小題滿分12分)已知 .
(1)求 ;
(2)求 的值.
11.已知函數(shù) 的最小正周期為 .
(1)求 在區(qū)間 上的最大值和最小值;
(2)求函數(shù) 圖象上與坐標(biāo)原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo).
12.在銳角△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊,且
(Ⅰ)確定角C的大小
(Ⅱ)若c= ,且△ABC的面積為 ,求a+b的值。
參考答案
1.C
2.C
3.B
4.C
5.B
6.【解析】選A.依題意,畫(huà)出圖形.
△CAO是等腰三角形,
∴∠DCO=∠COA=π-2θ.
在Rt△COD中,
CD=CO?cos∠DCO
=c os(π-2θ)=-cos2θ,
過(guò)O作OH⊥AC于H點(diǎn),則
CA=2AH=2OAcosθ=2cosθ.
∴f(θ)=AC+CD=2cosθ-cos2θ.
7.
8.
9.【解析】∵cosA(sinB+cosB)+cosC=0,
∴cosAsinB+cosAcosB+cos[π-(A+B)]=0,
∴cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0,
cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0,
即cosAsinB+sinAsinB=0.
又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,
又 A是三角形的內(nèi)角,∴A= .
答案:
10.解析:(1) ,
(2) 原式=
= .
11.解析: (1)
當(dāng) 時(shí),
當(dāng) 時(shí), 取得最大值為 ,最小值為
(2)令 ,得
當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), , 滿足要求的對(duì)稱中心為
12.解析:(1)由 及正弦定理得,
…………………………………… 3分
是銳角三角形, …………………………………… 6分
(2)解法1: 由面積公式得
…………………… 9分
由余弦定理得
由②變形得 …………………………………… 12分
解法2:前同解法1,聯(lián)立①、②得
…………………………………… 9分
消去b并整理得 解得
所以 故 …………………………………… 12分
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