第一講：幾何證明選講
1．在平面幾何中有：Rt△ABC的直角邊分別為a,b，斜邊上的高為h，則 .類(lèi)比這一結(jié)論，在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱錐P—ABC的高為h，則結(jié)論為_(kāi)_____________
解析： PA、PB、PC兩兩互相垂直, PA⊥平面PBC. 由已知有:PD= , 即
2．如圖，點(diǎn) 是圓 上的點(diǎn),且 ,則 對(duì)應(yīng)的劣弧長(zhǎng)為 ．
答案：
3．如圖，AB為 的直徑，C為 上一點(diǎn)，AP和過(guò)C的切線(xiàn)互相垂直，垂足為P，過(guò)B的切線(xiàn)交過(guò)C的切線(xiàn)于T，PB交 于Q，若 ，AB=4，則 .
答案：3
4．如圖4，點(diǎn) 是圓 上的點(diǎn)， 且 ， 則圓 的面積等于 ．
解析:解法一：連結(jié) 、 ，則 ，∵ ， ，∴ ，則 ；解法二： ，則
5．如圖3，點(diǎn)A、B、C是圓O上的點(diǎn)，且AB=4， ，則圓O的面積等于 . w.w.w..c.o.m
圖3
解析：連結(jié)AO,OB,因?yàn)?,所以 , 為等邊三角形,故圓O的半徑 ,圓O的面積 .
6．如圖, 是兩圓的交點(diǎn), 是小圓的直徑, 和 分別是 和 的延長(zhǎng)線(xiàn)與大圓的交點(diǎn),已知 ,且 ,則 =______ _____.
7．已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，連結(jié)DB、DE、OC。若AD＝2，AE＝1，則CD的長(zhǎng)為 3 。
8．如圖所示，AC和AB分別是圓O的切線(xiàn)，B、C 為切點(diǎn),且OC = 3，AB = 4，延長(zhǎng)OA到D點(diǎn)，則△ABD的面積是_____ ______．
9．如圖，已知 與 相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)PQ切 于P，與 交于N、Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB交PQ于M，若MN=2， PQ=12，則PM=__4__。
10．如圖， 平分 ， ， ，如果 ，則 的長(zhǎng)為 ．
11．如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，若CD=4，BD=8，用圓O的半徑等于 5 ．
12．如圖所示，EB、EC是⊙O的兩條切線(xiàn)，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E=46°，∠DCF=32°，則∠A的度數(shù)是______.
【解析】分別連結(jié)OB、OC、AC.∴OB⊥EB，OC⊥EF，
∵∠E=46°，∴∠BOC=134°，∴∠BAC=67°，∵∠DCF=32°，∴∠CAD=32°，∴∠BAD=67°+32°=99°.
答案：99°
13．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=4 cm,AC=3 cm,DE∥BC且DE把△ABC周長(zhǎng)分為相等的兩部分，則DE=_____.
【解析】∵∠BAC=90°,∴BC=5 cm.
設(shè)AD=x cm,AE=y cm,
則x+y=6 ①
②
14．四邊形ABCD為圓的內(nèi)接正方形，AD=4，弦AE平分BC交BC于M，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)____.
15.兩個(gè)相似三角形的面積分別為9 cm2和25 cm2,它們的周長(zhǎng)相差6 cm,則較大的三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____cm.
【解析】由題意知，相似三角形的相似比為：
∴較大三角形的周長(zhǎng)為15 cm.
答案：15
16．如圖，MN是半圓O的直徑，A在半圓上,AB⊥MN于B且MB=3BN，設(shè)∠AOB=α，則tanα=_______.
【解析】∵M(jìn)B=3BN,∴OB=BN,又∵AB⊥MN，∴AN=OA，∴AN=OA=ON，∴α=60°，∴tanα= .
答案：
17.如圖，在△ABC中，D為AC邊上的中點(diǎn)，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F，若BG∶GA=3∶1，BC=10，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)__.
【解析】∵AE∥BC,
∴△BGF∽△AGE.
∴BF∶AE=BG∶GA=3∶1.
∵D為AC中點(diǎn)，
∴AE=CF.
∴BC∶AE=2∶1.∵BC=10,∴AE=5.
答案：5
18．如圖，已知：△ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AD是⊙O的切線(xiàn)，若∠B=30°，AC=2，則OD的長(zhǎng)為_(kāi)______.
【解析】連結(jié)OA,則∠COA=2∠CBA=60°，且由OC=OA知△COA為正三角形，所以O(shè)A=2.又因?yàn)锳D是⊙O的切線(xiàn)，即OA⊥AD，所以O(shè)D=2OA=4.
答案：4
19．如圖，圓O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，CD= ，AB=3，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)____.
【解析】由切割線(xiàn)定理得：DB?DA=DC2，DB（DB+BA）=DC2，DB2+3DB-28=0，DB=4.
答案：4
20．如圖,AB是圓O的直徑，EF切圓O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，則AC長(zhǎng)為_(kāi)____.
21．如圖，P是圓O外的一點(diǎn)，PD為切線(xiàn)，D為切點(diǎn)，割線(xiàn)PEF經(jīng)過(guò)圓心O，PF=6，PD= ，則∠DFP=____.
【解析】連結(jié)OD、DE，則OD⊥PD，
∵PD2=PE?PF，
∴（ ）2=PE?6，
∴PE=2，∴EF=4，∴OE=OF=OD=2，
∴DE=2，Rt△DEF中，DE=2，EF=4，
∴∠DFE=30°.
答案：30°
22．如圖，已知AB∥CD∥EF， AB=a,CD=b(0
【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH∥EC，分別交BA、DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G、H，由EF∥AB∥CD及FH∥EC，知AG=CH=EF，F(xiàn)G=AE，F(xiàn)H=EC.從而FG∶FH=AE∶EC=m∶n.
由BG∥DH，知BG∶DH=FG∶FH=m∶n.
設(shè)EF=x,則得(x+a)∶（x+b)=m∶n.
23．已知：△ABC是⊙O的外切三角形，切點(diǎn)為D，E，F(xiàn).若BC=14 cm,AC=9 cm,AB=13 cm,則AF=_______ cm,BD=________ cm,CE=_____ cm.
【解析】如圖，
設(shè)AF=x cm,BD=y cm,CE=z cm,由圓的切線(xiàn)長(zhǎng)定理知，AE=x cm,BF=y cm,CD=z cm.
解得x=4,y=9,z=5.
即AF，BD，CE的長(zhǎng)分別為4 cm,9 cm,5 cm.
答案：4 9 5
24．如圖,AB是⊙O的直徑,CB切⊙O于點(diǎn)B,CD切⊙O于點(diǎn)D,交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,若ED= ,∠ADE=30°,則△BDC的外接圓的直徑為_(kāi)__.
【解析】連接OD,∠ODB=∠OBD=∠ADE=30°,
∴∠AOD=∠ODB+∠OBD=60°.
∴△AOD是正三角形,
又O、B、C、D四點(diǎn)共圓,
∴∠C=∠AOD=60°.
從而∠E=∠OAD-∠ADE=30°,
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