第1課時(shí) 向量的概念與幾何運(yùn)算
1．向量的有關(guān)概念的：⑴ 既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫單位向量．
⑵ 叫平行向量，也叫共線向量．規(guī)定零向量與任一向量 ．
⑶ 且 的向量叫相等向量．
2．向量的加法與減法
⑴ 求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算，叫向量的加法．向量加法按 法則或 法則進(jìn)行．加法滿足 律和 律．
⑵ 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫向量的減法．作法是將兩向量的 重合，連結(jié)兩向量的 ，方向指向 ．
3．實(shí)數(shù)與向量的積
⑴ 實(shí)數(shù) 與向量 的積是一個(gè)向量，記作 ．它的長度與方向規(guī)定如下：
① ＝ ．
② 當(dāng) ＞0時(shí)， 的方向與 的方向 ； 當(dāng) ＜0時(shí)， 的方向與 的方向 ；當(dāng) ＝0時(shí)， ．
⑵ (μ )＝ ．( ＋μ) ＝ ． ( ＋ )＝ ．
⑶ 共線定理：向量 與非零向量 共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得 ．
4．⑴ 平面向量基本定理：如果 、 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、 ，使得 ．
⑵ 設(shè) 、 是一組基底， ＝ ， ＝ ，則 與 共線的充要條件是 ．
例1．已知△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．設(shè) ， ，求 ．
變式訓(xùn)練1.如右圖所示，D是△ABC邊AB上的中點(diǎn)，則向量 等于（ ）
A．－ ＋ B．－ － C． － D． ＋
例2. 已知向量 ， ， ，其中 、 不共線，求實(shí)數(shù) 、 ，使 ．
例3. 已知ABCD是一個(gè)梯形，AB、CD是梯形的兩底邊，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點(diǎn)，若 ， ，試用 、 表示 和 ．
課時(shí)作業(yè)
1.如圖所示，OADB是以向量 ＝ ， ＝ 為鄰邊的平行四邊形，又 ＝ ， ＝ ，試用 、 表示 ， ， ．
2：已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于O點(diǎn)，點(diǎn)P為平面上任意一點(diǎn)，求證：
課時(shí)小結(jié)
1．認(rèn)識(shí)向量的幾何特性．對(duì)于向量問題一定要結(jié)合圖形進(jìn)行研究．向量方法可以解決幾何中的證明．
2．注意 與O的區(qū)別．零向量與任一向量平行．
3．注意平行向量與平行線段的區(qū)別．用向量方法證明AB∥CD，需證 ∥ ，且AB與CD不共線．要證A、B、C三點(diǎn)共線，則證 ∥ 即可．
4．向量加法的三角形法則可以推廣為多個(gè)向量求和的多邊形法則，特點(diǎn)：首尾相接首尾連；向量減法的三角形法則特點(diǎn)：首首相接連終點(diǎn)．
第2課時(shí) 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
1．平面向量的坐標(biāo)表示
分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量 、 作為基底，對(duì)于一個(gè)向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得 ＝x ＋y ．我們把(x，y)叫做向量 的直角坐標(biāo)，記作 ．并且 ＝ ．
2．向量的坐標(biāo)表示與起點(diǎn)為 的向量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．
3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，λ∈R，則： ＋ ＝ － ＝ λ ＝
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ＝ ．
4．兩個(gè)向量 ＝(x1、y1)和 ＝(x2、y2)共線的充要條件是 ．
例1.已知點(diǎn)A（2，3），B（－1，5），且 ＝ ，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
例2. 已知向量 ＝(cos ，sin )， ＝(cos ，sin )， － ＝ ，求cos(α－β)的值．
變式訓(xùn)練2.已知 －2 ＝(－3，1)，2 ＋ ＝(－1，2)，求 ＋ ．
例3. 已知向量 ＝(1, 2)， ＝(x, 1)， ＝ ＋2 ， ＝2 － ，且 ∥ ，
求x．
課后練習(xí)1.若 ， ，則 =
2.（2010陜西卷）已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2 ），若（a+b ）∥c，則m= 。
課時(shí)小結(jié)
1．認(rèn)識(shí)向量的代數(shù)特性．向量的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化．
2．向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種表示方法，所以我們應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)去選擇向量的表示方法，由于坐標(biāo)運(yùn)算方便，可操作性強(qiáng)，因此應(yīng)優(yōu)先選用向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
第3課時(shí) 平面向量的數(shù)量積
1．兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量 和 ，過O點(diǎn)作 ＝ ， ＝ ，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°) 叫做向量 與 的 ．當(dāng)θ＝0°時(shí)， 與 ；當(dāng)θ＝180°時(shí)， 與 ；如果 與 的夾角是90°，我們說 與 垂直，記作 ．
2．兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量 與 ，它們的夾角為θ，則數(shù)量 叫做 與 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作 ? ，即 ? ＝ ．規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0．若 ＝(x1, y1)， ＝(x2, y2)，則 ? ＝ ．
3．向量的數(shù)量積的幾何意義： cosθ叫做向量 在 方向上的投影 (θ是向量 與 的夾角)．
? 的幾何意義是，數(shù)量 ? 等于 ．
4．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè) 、 都是非零向量， 是單位向量，θ是 與 的夾角．
⑴ ? ＝ ? ＝ ⑵ ⊥
⑶ 當(dāng) 與 同向時(shí)， ? ＝ ；當(dāng) 與 反向時(shí)， ? ＝ ．
⑷ cosθ＝ ．⑸ ? ≤
5．向量數(shù)量積的運(yùn)算律：
⑴ ? ＝ ； ⑵ (λ )? ＝ ＝ ?(λ ) ⑶ ( ＋ )? ＝
例1. 已知 ＝4， ＝5，且 與 的夾角為60°，求：(2 ＋3 )?(3 －2 )．
變式訓(xùn)練1.已知 ＝3， ＝4， ＋ ＝5，求2 －3 的值．
例2. 已知向量 ＝(sin ，1)， ＝(1，cos )，－ ．(1) 若a⊥b，求 ；(2) 求 ＋ 的最大值
例3. 已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足( － )?( ＋ －2 )＝0，判斷△ABC是哪類三角形．
變式訓(xùn)練3：若 ，則△ABC的形狀是 .
課時(shí)作業(yè)
1.（2009遼寧卷理）平面向量a與b的夾角為 ， ， 則 ( ) A. B. C. 4 D.2
2.（2010安徽卷理3文3）設(shè)向量 ， ，則下列結(jié)論中正確的是
A、 B、 C、 與 垂直D、 ∥
3.（2009全國卷Ⅰ文）設(shè)非零向量 、 、 滿足 ，則 ( )
A．150° B.120° C.60° D.30°
課時(shí)小結(jié)
1．運(yùn)用向量的數(shù)量積可以解決有關(guān)長度、角度等問題．因此充分挖掘題目所包含的幾何意義，往往能得出巧妙的解法．
2．注意 ? 與ab的區(qū)別． ? ＝0≠＞ ＝ ，或 ＝ ．
3．應(yīng)根據(jù)定義找兩個(gè)向量的夾角。對(duì)于不共起點(diǎn)的兩個(gè)向量，通過平移，使起點(diǎn)重合．
第4課時(shí) 線段的定比分點(diǎn)和平移
1． 設(shè)P1P2是直線L上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是L上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ使 ＝λ ，λ叫做 ．
2．設(shè)P1（x1、y1），P2（x2、y2），點(diǎn)P（x、y）分 的比是λ時(shí)，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式為： ，中點(diǎn)坐標(biāo)公式： 。
3． 平移公式：將點(diǎn)P（x、y）按向量 ＝（h、k）平移得到點(diǎn)P'（x'，y'），則 ．
例1.已知點(diǎn)A(－1, －4)，B(5, 2)，線段AB上的三等分點(diǎn)依次為P1、P2，求P1、P2的坐標(biāo)及A、B分 所成的比.
變式訓(xùn)練1.設(shè)AB＝5，點(diǎn)p在直線AB上，且PA＝1，則p分 所成的比為 ．
例2. 將函數(shù)y＝2sin（2x＋ ）＋3的圖象C進(jìn)行平移后得到圖象C'，使C上面的一點(diǎn)P（ ，2）移至點(diǎn)P'（ ，1），求圖像C'對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．
變式訓(xùn)練2：若直線2x－y＋c＝0按向量 ＝(1, －1)平移后與圓x2＋y2＝5相切，則c的值為 （ ）
A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8
例3. 設(shè) ＝(sinx－1, cosx－1)， ，f (x)＝ ，且函數(shù)y＝f (x)的圖象是由y＝sinx的圖象按向量 平移而得，求 .
變式訓(xùn)練3：將y＝sin2x的圖象向右按 作最小的平移，使得平移后的圖象在[kπ＋ , kπ＋π] (k∈Z)上遞減，則 ＝ ．
課時(shí)作業(yè)：
1.(2009湖北卷理)函數(shù) 的圖象 按向量 平移到 , 的函數(shù)解析式為 當(dāng) 為奇函數(shù)時(shí)，向量 可以等于( )
2.（2009安徽卷文）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，或 = + ，其中 ， R ，則 + = _________.
在運(yùn)用線段定比分點(diǎn)公式時(shí)，首先要確定有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)和分點(diǎn)，再結(jié)合圖形確定分比 ．2．平移公式反映了平移前的點(diǎn)P(x、y)和平移后的點(diǎn)P'(x'、y')，及向量 ＝(h，k)三者之間的關(guān)系．它的本質(zhì)是 ＝ ．平移公式與圖象變換法則，既有區(qū)別又有聯(lián)系，應(yīng)防止混淆．
第5課時(shí) 解三角形
一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．正弦定理：
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：
⑴ 已知兩角和一邊，求其他兩邊和一角；
⑵ 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，從而進(jìn)一步求出其他的邊和角．
2．余弦定理：
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題．
⑴ 已知三邊，求三角；⑵ 已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)角．
3．三角形的面積公式：
二、典型例題
例1. 在△ABC中，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，求角A、C及邊c．
例2. 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．
變式訓(xùn)練1：在△ABC中，sinA= ，判斷這個(gè)三角形的形狀.
例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．
變式訓(xùn)練2：已知△ABC中，2 （sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圓半徑為 .（1）求∠C；（2）求△ABC面積的最大值.
例4.（2010浙江 卷文18）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)S為△ABC的面積，滿足 。（Ⅰ）求角C的大�。唬á颍┣� 的最大值。
變式訓(xùn)練3：在在△ABC中， 所對(duì)的邊分別為 ，，且
（1）求 的值； （2）若 ，求 的最大值；
三、課后練習(xí)：
(1) 的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且 ，則 （ ）A． B． C． D．
（2）在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是 （ ）
A. B.
C. D.
（3）在△ABC中，已知 ， ，則 的值為（ ）
A B C 或 D
（4）若鈍角三角形三邊長為 、 、 ，則 的取值范圍是 ．
（5）在△ABC中， = ．
四、課時(shí)小結(jié)
1．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求其他的邊和角，這種題型可能無解、一解、兩解等，要特別注意．
2．三角形中含邊角的恒等變形問題，通常是運(yùn)用正弦定理或余弦定理，要么將其變?yōu)楹叺拇鷶?shù)式做下去，要么將其變?yōu)楹堑娜鞘阶鱿氯�，請合理選擇．
3．對(duì)于與測量和與幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，可以考慮轉(zhuǎn)化為解三角形的問題
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/73658.html
相關(guān)閱讀：第十二章立體幾何(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)