第十四章 推理與證明
高考導(dǎo)航
考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解合情推理的含義.
2.能利用歸納與類比等進(jìn)行簡單的推理.
3.體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.
4.了解演繹推理的重要性.
5.掌握演繹推理的基本模式：“三段論”.
6.能運(yùn)用演繹推理進(jìn)行簡單的推理.
7.了解演繹推理、合情推理的聯(lián)系與區(qū)別.
8.了解直接證明的兩種基本方法：分析法與綜合法.
9.了解分析法與綜合法的思維過程、特點(diǎn).
10.了解反證法是間接證明的一種基本方法及反證法的思維過程、特點(diǎn).
11.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.
12.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題. 本章重點(diǎn)：1.利用歸納與類比進(jìn)行推理；2.利用“三段論”進(jìn)行推理與證明；3.運(yùn)用直接證明(分析法、綜合法)與間接證明(反證法)的方法證明一些簡單的命題；4.數(shù) 學(xué)歸納法的基本思想與證明步驟；運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n(n∈N*)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.
本章難點(diǎn)：1.利用歸納與類比的推理來發(fā)現(xiàn)結(jié)論并形成猜想命題；2.根據(jù)綜合法、分析法及反證法的思維過程與特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)淖C明方法證明命題；3.理解數(shù)學(xué)歸納法的思維實(shí)質(zhì)，特別是在第二個步驟要根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行推理與證明. “推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.本章要求考生通過對已有知識的回顧與總結(jié)，進(jìn)一步體會直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等數(shù)學(xué)思維過程以及合情推理、演繹推理之間的聯(lián)系與差異，體會數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法.
本章是新課程考綱中新增的內(nèi)容，考查的范圍寬，內(nèi)容多，涉及數(shù)學(xué)知識的方方面面，與舊考綱相比，增加了合情推理等知識點(diǎn)，這為創(chuàng)新性試題的命制提供了空間.
知識網(wǎng)絡(luò)
14.1 合情推理與演繹推理
典例精析
題型一 運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論
【例1】 通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32；
sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32；
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32；
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝32.
【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32.
左邊＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin2α＋(sin αcos 60°＋cos αsin 60°)2＝32(sin2α＋cos2α)＝32＝右邊.
【點(diǎn)撥】先猜后證是一種常見題型；歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”(周期性).
【變式訓(xùn)練1】設(shè)直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則有a＋b＜c＋h成立，某同學(xué)通過類比得到如下四個結(jié)論：
①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.
其中正確結(jié)論的序號是 �。�
進(jìn)一步類比得到的一般結(jié)論是 .
【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈N*).
題型二 運(yùn)用類比推理拓展新知識
【例2】 請用類比推理完成下表：
平面空間
三角形兩邊之和大于第三邊三棱錐任意三個面的面積之和大于第四個面的面積
三角形的面積等于任意一邊的長度與這邊上的高的乘積的一半三棱錐的體積等于任意一個底面的面積與該底面上的高的乘積的三分之一
三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長的乘積的一半
【解析】 本題由已知的前兩組類比可得到如下信息：
①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對象；②三角形各邊的邊長與三棱錐各面的面積是類比對象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對象；⑤三 角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對象.
由以上分析可知：
故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一.
本題結(jié)論可以用等體積法，將三棱錐分割成四個小的三棱錐去證明，此處從略.
【點(diǎn)撥】類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比列表如下：
平面空間
點(diǎn)線
線面
圓球
三角形三棱錐
角二面角
面積體積
周長表面積
……
【變式訓(xùn)練2】面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離 為hi(i＝1,2,3,4)，(1)若a11＝a22＝a33＝a44＝k，則 ＝ �。�(2)類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K，則 ＝ .
【解析】2Sk；3VK.
題型三 運(yùn)用“三段論”進(jìn)行演繹推理
【例3】已知函數(shù)f(x)＝ln ax－x－ax(a≠0).
(1)求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；
(2)求證：對于任意正整數(shù)n，均有1＋12＋13＋…＋1n≥ln enn！.
【解析】(1)由題意f′(x)＝x－ax2.
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
此時函數(shù)在(0，a)上是減函數(shù)，在(a，＋∞)上是增函數(shù)，
fmin(x)＝f(a)＝ln a2，無最大值.
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)，
此時函數(shù)在(－∞，a)上是減函數(shù)，在(a,0)上是增函數(shù)，
fmin(x)＝f(a)＝ln a2，無最大值.
(2)取a＝1，由(1)知，f(x)＝ln x－x－1x≥f(1)＝0，
故1x≥1－ln x＝ln ex，
取x＝1,2,3，…，n，則1＋12＋ 13＋…＋1n≥ln e＋ln e2＋…＋ln en＝ln enn！.
【點(diǎn)撥】演繹推理是推理證明的主要途徑，而“三段論”是演繹推理的一種重要的推理形式，在高考中以證明題出現(xiàn)的頻率較大.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝eg(x)，g(x)＝kx－1x＋1(e是自然對數(shù)的底數(shù))，
(1)若對任意的x＞0，都有f(x)＜x＋1，求滿足條件的最大整數(shù)k的 值；
(2)求證：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞2n－3(n∈N*).
【解析】(1)由條件得到f(1)＜2? ＜2?k＜2ln 2＋1＜3，猜測最大整數(shù)k＝2，
現(xiàn)在證明 ＜x＋1對任意x＞0恒成立：
＜x＋1等價于2－3x＋1＜ln(x＋1)?ln(x＋1)＋3x＋1＞2，
設(shè)h(x)＝ln(x＋1)＋3x＋1，則h′(x)＝1x＋1－3(x＋1)2＝x－2(x＋1)2.
故x∈(0,2)時，h′(x)＜0，當(dāng)x∈(2，＋∞)時，h′(x)＞0.
所以對任意的x＞0都有h(x)≥h(2)＝ln 3＋1＞2，即 ＜x＋1對任意x＞0恒成立，
所以整數(shù)k的最大值為2.
(2)由(1)得到不等式2－3x＋1＜ln(x＋1)，
所以ln[1＋k(k＋1)]＞2－3k(k＋1)＋1＞2－3k(k＋1)，
ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞(2－31×2)＋(2－32×3)＋…＋[2－3n(n＋1)]＝2n－3[11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)]＝2n－3＋3n＋1＞2n－3，
所以原不等式成立.
總結(jié)提高
合情推理與演繹推理是兩種基本的思維推理方式.盡管合情推理(歸納、類比)得到的結(jié)論未必正確，但歸納推理與類比推理具有猜想和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探索和提供證明的新思路的重要作用，特別在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以由熟悉的、已知的知識領(lǐng)域運(yùn)用歸納、類比思維獲取發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的靈感去探索陌生的、未知的知識領(lǐng)域.演繹推理是數(shù)學(xué)邏輯思維的主要形式，擔(dān)負(fù)著判斷命題真假的重要使命.如果說合情推理是以感性思維為主，只需有感而發(fā)；那么演繹推理則是以理性思維為主，要求言必有據(jù).在近幾年高考中一道合情推理的 試題往往會成為一套高考試題的特色與亮點(diǎn)，以彰顯數(shù)學(xué)思維的魅力.其中數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式的歸納、等差數(shù)列與等比數(shù)列、平面與空間、圓錐曲線與圓、楊輝三角等的類比的考查頻率較大.而演繹推理的考查則可以滲透到每一道試題中.
14.2 直接證明與間接證明
典例精析
題型一 運(yùn)用綜合法證明
【例1】設(shè)a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：1a＋1b＋1ab≥8.
【證明】因?yàn)閍＋b＝1，
所以1a＋1b＋1ab＝a＋ba＋a＋bb＋a＋bab＝1＋ba＋1＋ab＋a＋bab≥2＋ ＋a＋b(a＋b2)2＝2＋2＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝12時等號成立.
【點(diǎn)撥】在用綜合法證明命題時，必須首先找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能想到從哪里起步，我們一般的處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質(zhì)，逐層推進(jìn)，從已知逐漸引出結(jié)論.
【變式訓(xùn)練1】設(shè)a，b，c＞0，求證：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.
【證明】因?yàn)閍，b，c＞0，根據(jù)基本不等式，
有a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.
三式相加：a2b＋b2c＋c2a＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c).
即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.
題型二 運(yùn)用分析法證明
【例2】設(shè)a、b、c為任意三角形三邊長，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca.求證：I2＜4S.
【證明】由I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S，
故要證I2＜4S，只需證a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即a2＋b2＋c2＜2S.
欲證上式，只需證a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，
即證(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0，
只需證三括號中的式子均為負(fù)值即可，
即證a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb，
即a＜b＋c，b＜a＋c，c＜a＋b，
顯然成立，因?yàn)槿切稳我庖贿呅∮谄渌麅蛇呏?
故I2＜4S.
【點(diǎn)撥】(1)應(yīng)用分析法易于找到思路的起始點(diǎn)，可探求解題途徑.
(2)應(yīng)用分析法證明問題時要注意：嚴(yán)格按分析法的語言表達(dá)；下一步是上一步的充分條件.
【變式訓(xùn)練2】已知a＞0，求證：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.
【證明】要證a2＋1a2－2≥a＋1a－2，
只要證a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.
因?yàn)閍＞0，故只要證(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，
即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，
從而只要證2a2＋1a2≥2(a＋1a)，
只要證4(a2＋1a2)≥2(a2 ＋2＋1a2)，即a2＋1a2≥2，
而該不等式顯然成立，故原不等式成立.
題型三 運(yùn)用反證法證明
【例3】 若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋y＞2.求證：1＋xy＜2或1＋yx＜2中至少有一個成立.
【證明】假設(shè)1＋xy＜2和1＋yx＜2都不成立.則1＋xy≥2，1＋yx≥2同時成立.
因?yàn)閤＞0且y＞0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
兩式相加得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，這與已知條件x＋y＞2相矛盾.
因此1＋xy＜2與1＋yx＜2中至少有一個成立.
【點(diǎn)撥 】一般以下題型用反證法：①當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡單、更具體、更明確；②否定命題，唯一性命題，存在性命題，“至多”“至少”型命題；③有的肯定形式命題，由于已知或結(jié)論涉及到無限個元素，用直接證明形式比較困難因而往往采用反證法.
【變式訓(xùn)練3】已知下列三個方程：x2＋4ax－4a＋3＝0；x2＋(a－1)x＋a2＝0；x2＋2ax－2a＝0，若至少有一個方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】假設(shè)三個方程均無實(shí)根，則有
由(4a)2－4(－4a＋3)＜0，得4a2＋4a－3＜0，即－32＜a＜12；
由(a－1)2－4a2＜0，得(a＋1)(3a－1)＞0，即a＜－1或a＞13；
由(2a)2－4(－2a)＜0，得a(a＋2)＜0，即－2＜a＜0.
以上三部分取交集得M＝{a－32＜a＜－1}，則三個方程至少有一個方程有實(shí)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍為?RM，即{aa≤－32或a≥－1}.
總結(jié)提高
分析法與綜合法各有其優(yōu)缺點(diǎn)：分析法是執(zhí)果索因，比較容易尋求解題思路，但敘述繁瑣；綜合法敘述簡潔，但常常思路阻塞.因此在實(shí)際解題時，需將兩者結(jié)合起來運(yùn)用，先用分析法尋求解題思路，再用綜合法簡潔地?cái)⑹鼋忸}過程.從邏輯思維的角度看，原命題“p?q”與逆否命題“ q? p”是等價的，而反證法是相當(dāng)于由“ q”推出“ p”成立，從而證明了原命題正確.因此在運(yùn)用反證法的證明過程中要特別注意條件“ q”的推理作用.綜合法與分析法在新課標(biāo)中第一次成為獨(dú)立的顯性的課題，預(yù)測可能有顯性的相關(guān)考試命題.反證法證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾或與定義、公理、公式事實(shí)矛盾等.
14.3 數(shù)學(xué)歸納法
典例精析
題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式
【例1】是否存在常數(shù)a、b、c，使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對于一切n∈N*都成立？若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由.
【解析】 假設(shè)存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對于一切n∈N*都成立.
當(dāng)n＝1時，a(b＋c)＝1；
當(dāng)n＝2時，2a(4b＋c)＝6；
當(dāng)n＝3時，3a(9b＋c)＝19.
解方程組 解得
證明如下：
當(dāng)n＝1時，顯然成立；
假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋ (k－1)2 ＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)；
則當(dāng)n＝k＋1時，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
＝13k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝13k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝13(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝13(k＋1)[2(k＋1)2＋1].
因此存在a＝13，b＝2，c＝1，使等式對一切n∈N*都成立.
【點(diǎn)撥】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的恒等式時要弄清等式兩邊的項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律：由n＝k到n＝k＋1時等式左右各如何增減，發(fā)生了怎樣的變化.
【變式訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n∈N*時，11×3＋13×5＋…＋1(2n－1)(2n＋1)＝n2n＋1.
【證明】(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝11×3＝13，右邊＝12×1＋1＝13，
左邊＝右邊，所以等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，
則當(dāng)n＝k＋1時，
11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k2k＋1＋1(2k＋1)(2k＋3)
＝k(2k＋3)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝2k2＋3k＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k＋12k＋3＝k＋12(k＋1)＋1，
所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立.
由(1)(2)可知，對一切n∈N*等式都成立.
題型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題
【例2】 已知f(n)＝(2n＋7)?3n＋9，是否存在自然數(shù)m使得任意的n∈N*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.
【解析】 由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，猜想：f(n)能被36整除，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)當(dāng)n＝1時，結(jié)論顯然成立；
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時結(jié)論成立，即f(k)＝(2k＋7)?3k＋9能被36整除.
則當(dāng)n＝k＋1時，f(k＋1)＝(2k＋9)?3k＋1＋9＝3[(2k＋7)?3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由假設(shè)知3[(2k＋7)?3k＋9]能被36 整除，又3k－1－1是 偶數(shù)，
故18(3k－1－1)也能被36 整除.即n＝k＋1時結(jié)論也成立.
故由(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n都有f(n)能被36整除.
由f(1)＝36知36是整除f(n)的最大值.
【點(diǎn)撥】 與正整數(shù)n有關(guān)的整除性問題也可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明. 在證明n＝k＋1結(jié)論也成立時，要注意“湊形”，即湊出歸納假設(shè)的形式，以便于充分利用歸納假設(shè)的條件.
【變式訓(xùn)練2】求證：當(dāng)n為正整數(shù)時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
【證明】方法一：①當(dāng)n＝1時，f(1)＝34－8－9＝64，命題顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時結(jié)論成立，即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.
由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9?8k＋9?9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，
所以n＝k＋1時命題也成立.
根據(jù)①②可知，對任意的n∈N*，命題都成立.
方法二：①當(dāng)n＝1時，f(1)＝34－8－9＝64，命題顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.由歸納假設(shè)，設(shè)32k＋2－8k－9＝64m(m為大于1的自然數(shù))，將32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k ＋1)中得
f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，所以n＝k＋1時命題也成立.
根據(jù)①②可知，對任意的n∈N*，命題都成立.
題型三 數(shù)學(xué)歸納法在函數(shù)、數(shù)列、不等式證明中的運(yùn)用
【例3】(2009山東)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上.
(1)求r的值；
(2)當(dāng)b＝2時，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，求證：對任意的n∈N*，不等式b1＋1b1?
b2＋1b2?…?bn＋1bn＞n＋1成立.
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上，
所以Sn＝bn＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)).
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝b＋r；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－bn－1－r＝(b－1)bn－1.
又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列，故r＝－1且公比為b.
(2)當(dāng)b＝2時，an＝2n－1，
所以bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n(n∈N*)，
所以bn＋1bn＝2n＋12n，
于是要證明的不等式為32?54?…?2n＋12n＞n＋1對任意的n∈N*成立.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
當(dāng)n＝1時，32＞2顯然成立.
假設(shè)當(dāng)n＝k時不等式成立，即32?54?…?2k＋12k＞k＋1.
則當(dāng)n＝k＋1時，32?54?…?2k＋12k?2k＋32k＋2＞k＋1?2k＋32k＋2＝k＋1?(2k＋32k＋2)2＝(2k＋3)24(k＋1)
＝[2(k＋1)＋1]24(k＋1)＝4(k＋1)2＋4(k＋1)＋14(k＋1)＝(k＋1)＋1＋14(k＋1)＞(k＋1)＋1，
即當(dāng)n＝k＋1時不等式成立，所以原不等式對任意n∈N*成立.
【點(diǎn)撥】 運(yùn)用歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，需進(jìn)行證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時必須要利用歸納假設(shè)的條件，并且靈活運(yùn)用放縮法、基本不等式等數(shù)學(xué)方法.
【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－1＋ax(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，且函數(shù)g(x)＝f(x)＋b在(0，＋∞)上有零點(diǎn)，求b的最大值；
(2)若f(x)在(1,2)上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)在(1)的條件下，數(shù)列{an}中a1＝1，an＋1＝f(an)－f′(an)，求an＋1－an的最小值.
【解析】(1)f′(x)＝ex－1－ax2，又函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，
所以f′(1)＝0，即a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
g′(x)＝ex－1－1x2，當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，當(dāng)x＝1時，g′(x)＝0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù).
所以g(x)在x＝1時取得極小值g(1)＝2＋b，依題意g(1)≤0，所以b≤－2，
所以b的最大值為－2.
(2)f′(x)＝ex－1－ax2，
當(dāng)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增時，ex－1－ax2≥0在[1,2]上恒成立，所以a≤x2ex－1，
令h(x)＝x2 ，則h′(x)＝ex－1(x2＋2x)＞0在[1,2]上恒成立，即h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，
所以h(x)在[1,2]上的最小值為h(1)＝1，所以a≤1；
當(dāng)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減時，同理a≥x2ex－1，
h(x)＝x2ex－1在[1,2]上的最大值為h(2)＝4e，所以a≥4e.
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤1或a≥4e.
(3)由(1)得a＝1，所以f(x)－f′(x)＝1x＋1x2，因此an＋1＝1an＋1a2n，a1＝1，所以a2＝2，可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n＝1時，a3＝34，a4＝289，結(jié)論成立；
②設(shè)n＝k，k∈N*時結(jié)論成立，即0＜a2k＋1＜1，a2k＋2＞2，
則n＝k＋1時，a2k＋3＝1a2k＋2＋1a22k＋2＜12＋12＝1，
所以0＜a2k＋3＜1，a2k＋4＝1a2k＋3＋1a22k＋3＞1＋1＝2.
所以n＝k＋1時結(jié)論也成立，
根據(jù)①②可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2恒成立，
所以an＋1－an≥a2－a1＝2－1＝1，即an＋1－an的最小值為1.
總結(jié) 提高
數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的常用方法，它是在歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行的演繹推理，其大前提是皮亞諾公理(即歸納公理)：
設(shè)M是正整數(shù)集合的子集，且具有如下性質(zhì)：
①1∈M；
②若k∈M，則k＋1∈M，那么必有M＝N*成立.
數(shù)學(xué)歸納法證明的兩個步驟體現(xiàn)了遞推的數(shù)學(xué)思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，通過對兩個命題的證明替代了無限多次的驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了有限與無限的辯證統(tǒng)一.
從近幾年的高考試題來看，比較注重于對數(shù)學(xué)歸納法的思想本質(zhì)的考查，如“歸納、猜想、證明”是一種常見的命題形式.而涉及的知識內(nèi)容也是很廣泛的，可覆蓋代數(shù)命題、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何命題、整除性命題等.其難點(diǎn)往往在第二步，關(guān)鍵是“湊形”以便運(yùn)用歸納假設(shè)的條件.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/73476.html
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