2012屆高考數(shù)學(xué)第二輪考點不等式問題的題型與方法專題復(fù)習(xí)教案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高三 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
第9-12課時課題:不等式問題的題型與方法
一.復(fù)習(xí)目標(biāo):
1.在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上,掌握其它的一些簡單不等式的解法.通過不等式解法的復(fù)習(xí),提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及計算能力;
2.掌握解不等式的基本思路,即將分式不等式、絕對值不等式等不等式,化歸為整式不等式(組),會用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式;
3.通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等),使學(xué)生較靈活的運用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題;
4.通過證明不等式的過程,培養(yǎng)自覺運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力;
5.能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法,解決有關(guān)不等式的問題.
6.通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用,深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通,從而提高分析問題解決問題的能力.在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中,提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識..
二.考試要求:
1.理解不等式的性質(zhì)及其證明。
2.掌握兩個(不擴(kuò)展到三個)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會簡單的應(yīng)用。
3.掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。
4.掌握簡單不等式的解法。
5.理解不等式a-b≤a+b≤a+b。。
三.過程:
(Ⅰ)基礎(chǔ)知識詳析
1.解不等式的核心問題是不等式的同解變形,不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù),方
程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān),要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來,互相轉(zhuǎn)化.在解不等式中,換元法和圖解法是常用的技巧之一.通過換元,可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式,通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合,則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系,對含有參數(shù)的不等式,運用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)明晰.
2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ),利用不等式的性質(zhì)及函
數(shù)的單調(diào)性,將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想,分類、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法.方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān),要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化和相互變用.
3.在不等式的求解中,換元法和圖解法是常用的技巧之一,通過換元,可將較復(fù)雜的不等式
化歸為較簡單的或基本不等式,通過構(gòu)造函數(shù),將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系,對含有參數(shù)的不等式,運用圖解法,可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰.通過復(fù)習(xí),感悟到不等式的核心問題是不等式的同解變形,能否正確的得到不等式的解集,不等式同解變形的理論起了重要的作用.
4.比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法,比較法的一般步驟是:作差(商)→變形
→判斷符號(值).
5.證明不等式的方法靈活多樣,內(nèi)容豐富、技巧性較強(qiáng),這對發(fā)展分析綜合能力、正逆思維
等,將會起到很好的促進(jìn)作用.在證明不等式前,要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系,選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.通過等式或不等式的運算,將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式,從而使原不等式得到證明;反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手,經(jīng)過一系列的運算而導(dǎo)出待證的不等式,前者是“執(zhí)果索因”,后者是“由因?qū)Ч,為溝通?lián)系的途徑,證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法,兩面夾擊,相輔相成,達(dá)到欲證的目的.
6.證明不等式的方法靈活多樣,但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的
基本方法.要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系,選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法,要熟悉各種證法中的推理思維,并掌握相應(yīng)的步驟,技巧和語言特點.
7.不等式這部分知識,滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中,有著十分廣泛的應(yīng)用.因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性,這對同學(xué)們將所學(xué)數(shù)學(xué)各部分知識融會貫通,起到了很好的促進(jìn)作用.在解決問題時,要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案,最終歸結(jié)為不等式的求解或證明.不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛,它始終貫串在整個中學(xué)數(shù)學(xué)之中.諸如集合問題,方程(組)的解的討論,函數(shù)單調(diào)性的研究,函數(shù)定義域的確定,三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題,無一不與不等式有著密切的聯(lián)系,許多問題,最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。
8.不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性.這類問題大致可以分為兩類:一類是建立不等式、解不等式;另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函數(shù)的最值時,要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個條件缺一不可,有時需要適當(dāng)拼湊,使之符合這三個條件.利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟:10審題,20建立不等式模型,30解數(shù)學(xué)問題,40作答。
9.注意事項:
⑴解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸,一般都轉(zhuǎn)化為最簡單的一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來求解,。
⑵解含參數(shù)不等式時,要特別注意數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想,分類討論思想的錄活運用。
⑶不等式證明方法有多種,既要注意到各種證法的適用范圍,又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上,選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調(diào)整放縮的度。
⑷根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點,執(zhí)果索因,往往是有效的思維方法。
(Ⅱ)范例分析

b)∈M,且對M中的其它元素(c,d),總有c≥a,則a=____.
分析:讀懂并能揭示問題中的數(shù)學(xué)實質(zhì),將是解決該問題的突破口.怎樣理解“對M中的其它元素(c,d),總有c≥a”?M中的元素又有什么特點?
解:依題可知,本題等價于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)?y-1+(y+3)



(2)當(dāng)1≤y≤3時,
所以當(dāng)y=1時,xmin=4.

說明:題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式,因此要認(rèn)清集合元素的本質(zhì)屬性,然后結(jié)合條件,揭示其數(shù)學(xué)實質(zhì).即求集合M中的元素滿足關(guān)系式

例2.解關(guān)于 的不等式:
分析:本例主要復(fù)習(xí)含絕對值不等式的解法,分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對參數(shù) 進(jìn)行討論,而是去絕對值時必須對末知數(shù)進(jìn)行討論,得到兩個不等式組,最后對兩個不等式組的解集求并集,得出原不等式的解集。
解:當(dāng)


例3. 己知三個不等式:① ② ③
(1)若同時滿足①、②的 值也滿足③,求m的取值范圍;
(2)若滿足的③ 值至少滿足①和②中的一個,求m的取值范圍。
分析:本例主要綜合復(fù)習(xí)整式、分式不等式和含絕對值不等的解法,以及數(shù)形結(jié)合思想,解本題的關(guān)鍵弄清同時滿足①、②的 值的滿足③的充要條件是:③對應(yīng)的方程的兩根分別在 和 內(nèi)。不等式和與之對應(yīng)的方程及函數(shù)圖象有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系,在解決問題的過程中,要適時地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系。
解:記①的解集為A,②的解集為B,③的解集為C。
解①得A=(-1,3);解②得B=
(1)因同時滿足①、②的 值也滿足③,A B C
設(shè) ,由 的圖象可知:方程的小根小于0,大根大于或等于3時,即可滿足
(2)因滿足③的 值至少滿足①和②中的一個, 因
此 小根大于或等于-1,大根小于或等于4,因而

說明:同時滿足①②的x值滿足③的充要條件是:③對應(yīng)的方程2x +mx-1=0的兩根分別在(-∞,0)和[3,+∞)內(nèi),因此有f(0)<0且f(3)≤0,否則不能對A∩B中的所有x值滿足條件.不等式和與之對應(yīng)的方程及圖象是有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系的,在解決問題的過程中,要適時地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系.

例4.已知對于自然數(shù)a,存在一個以a為首項系數(shù)的整系數(shù)二次三項式,它有兩個小于1的正根,求證:a≥5.
分析:回憶二次函數(shù)的幾種特殊形式.設(shè)f(x)=ax +bx+c(a≠0).①
頂點式.f(x)=a(x-x ) +f(x )(a≠0).這里(x ,f(x ))是二次函數(shù)的頂點,x =

))、(x ,f(x ))、(x ,f(x ))是二次函數(shù)圖象上的不同三點,則系數(shù)a,b,c可由

證明:設(shè)二次三項式為:f(x)=a(x-x )(x-x ),a∈N.
依題意知:0<x <1,0<x <1,且x ≠x .于是有
f(0)>0,f(1)>0.
又f(x)=ax -a(x +x )x+ax x 為整系數(shù)二次三項式,
所以f(0)=ax x 、f(1)=a?(1-x )(1-x )為正整數(shù).故f(0)≥1,f(1)≥1.
從而   f(0)?f(1)≥1.         ①
另一方面,

且由x ≠x 知等號不同時成立,所以

由①、②得,a >16.又a∈N,所以a≥5.
說明:二次函數(shù)是一類被廣泛應(yīng)用的函數(shù),用它構(gòu)造的不等式證明問題,往往比較靈活.根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)的表達(dá)形式,是解決這類問題的關(guān)鍵.
例5.設(shè)等差數(shù)列{a }的首項a1>0且Sm=Sn(m≠n).問:它的前多少項的和最大?
分析:要求前n項和的最大值,首先要分析此數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列.
解:設(shè)等差數(shù)列{a }的公差為d,由Sm=Sn得

ak≥0,且ak+1<0.

(k∈N).
說明:諸多數(shù)學(xué)問題可歸結(jié)為解某一不等式(組).正確列出不等式(組),并分析其解在具體問題的意義,是得到合理結(jié)論的關(guān)鍵.
例6.若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的范圍.
分析:要求f(-2)的取值范圍,只需找到含人f(-2)的不等式(組).由于y=f(x)是二次函數(shù),所以應(yīng)先將f(x)的表達(dá)形式寫出來.即可求得f(-2)的表達(dá)式,然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組),即可求解.
解:因為y=f(x)的圖象經(jīng)過原點,所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx.于是

解法一(利用基本不等式的性質(zhì))
不等式組(Ⅰ)變形得

(Ⅰ)所以f(-2)的取值范圍是[6,10].
解法二(數(shù)形結(jié)合)

建立直角坐標(biāo)系aob,作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域,如圖6中的陰影部分.因為f(-2)=4a-2b,所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系.如圖6,當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2,1),B(3,1)時,分別取得f(-2)的最小值6,最大值10.即f(-2)的取值范圍是:6≤f(-2)≤10.
解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而
1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,                 ①
所以    3≤3f(-1)≤6.                 ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10,即6≤f(-2)≤10.
說明:(1)在解不等式時,要求作同解變形.要避免出現(xiàn)以下一種錯解:

2b,8≤4a≤12,-3≤-2b≤-1,所以 5≤f(-2)≤11.
(2)對這類問題的求解關(guān)鍵一步是,找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征,揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì),利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法,從不同角度去解決同一問題.若長期這樣思考問題,數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會迅速提高.

例7.(2002 江蘇)己知 ,
(1)
(2) ,證明:對任意 , 的充要條件是 ;
(3) 討論:對任意 , 的充要條件。
證明:(1)依題意,對任意 ,都有

(2)充分性:


必要性:對任意

(3)

而當(dāng)
例8.若a>0,b>0,a3+b3=2.求證a+b≤2,ab≤1.
分析:由條件a3+b3=2及待證的結(jié)論a+b≤2的結(jié)構(gòu)入手,聯(lián)想它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,不妨用作差比較法或均值不等式或構(gòu)造方程等等方法,架起溝通二者的“橋梁”.
證法一  (作差比較法)
因為a>0,b>0,a3+b3=2,所以
(a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0,
即       (a+b)3≤23.

證法二  (平均值不等式—綜合法)
因為a>0,b>0,a3+b3=2,所以
所以a+b≤2,ab≤1.
說明:充分發(fā)揮“1”的作用,使其證明路徑顯得格外簡捷、漂亮.
證法三  (構(gòu)造方程)
設(shè)a,b為方程x2-mx+n=0的兩根.則

因為a>0,b>0,所以m>0,n>0且Δ=m2-4n≥0.①
因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n],所以

所以a+b≤2.
由2≥m得4≥m2,又m2≥4n,所以4≥4n,即n≤1.所以 ab≤1.
說明:認(rèn)真觀察不等式的結(jié)構(gòu),從中發(fā)現(xiàn)與已學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系,就能較順利地找到解決問題的切入點.
證法四  (恰當(dāng)?shù)呐錅?
因為a>0,b>0,a3+b3=2,所以
2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b),
于是有6≥3ab(a+b),從而
8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3,
所以a+b≤2.(以下略)

即a+b≤2.(以下略)
證法六  (反證法)
假設(shè)a+b>2,則
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab).
因為a3+b3=2,所以2>2(4-3ab),因此ab>1.        ①
另一方面,2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)?ab>2ab,
所以ab<1.                 ②
于是①與②矛盾,故a+b≤2.(以下略)
說明:此題用了六種不同的方法證明,這幾種證法都是證明不等式的常用方法.

例9.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x,y=-x,均不相

分析:因為x∈R,故f(x)的最小值若存在,則最小值由頂點確定,故設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0).
證明:由題意知,a≠0.設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0),則
又二次方程ax2+bx+c=±x無實根,故
Δ1=(b+1)2-4ac<0,
Δ2=(b-1)2-4ac<0.
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac<0,即2b2+2-8ac<0,即
b2-4ac<-1,所以b2-4ac>1.

說明:從上述幾個例子可以看出,在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題時,如果針對題設(shè)條件,合理采取二次函數(shù)的不同形式,那么我們就找到了一種有效的證明途徑.

例10.(2002理)某城市2001年末汽車保有量為30萬輛,預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%,并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護(hù)城市環(huán)境,要求該城市汽車保有量不超過60萬輛,那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛?
解:設(shè)2001年末的汽車保有量為 ,以后每年末的汽車保有量依次為 ,每年新增汽車 萬輛。
由題意得


例11.已知奇函數(shù)
知函數(shù)

分析:這是一道比較綜合的問題,考查很多函數(shù)知識,通過恰當(dāng)換元,使問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。


要使
10 當(dāng)

30當(dāng)
綜上:

例12.如圖,某隧道設(shè)計為雙向四車道,車道總寬22米,要求通行車輛限高4.5米,隧道全長2.5千米,隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀。
(1)若最大拱高h(yuǎn)為6米,則隧道設(shè)計的拱寬 是多少?
(2)若最大拱高h(yuǎn)不小于6米,則應(yīng)如何設(shè)計拱高h(yuǎn)和拱寬 ,才能使半個橢圓形隧道的土方工程最。
(半個橢圓的面積公式為s= 柱體體積為:底面積乘以高, , 本題結(jié)果均精確到0.1米)
分析:本題為2003年上海高考題,考查運用幾何、不等式等解決應(yīng)用題的能力及運算能力。
解:1)建立如圖所示直角坐標(biāo)系,則P(11,4.5)
橢圓方程為:
將b=h=6與點P坐標(biāo)代入橢圓方程得
故隧道拱寬約為33.3米
2)由橢圓方程

故當(dāng)拱高約為6.4米,拱寬約為31.1米時,土方工程量最小.

例13.已知n∈N,n>1.求證
分析:雖然待證不等式是關(guān)于自然數(shù)的命題,但不一定選用數(shù)學(xué)歸納法,觀其“形”,它具有較好規(guī)律,因此不妨采用構(gòu)造數(shù)列的方法進(jìn)行解.

說明:因為數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以因問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),利用函數(shù)的思想解決.

例14.已知函數(shù)
分析:本例主要復(fù)習(xí)函數(shù)、不等式的基礎(chǔ)知識,絕對值不等式及函數(shù)不等式的證明技巧;舅悸废葘⒑瘮(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式,利用絕對值不等式的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)。證明(1)再利用二項展開式及基本不等式的證明(2)。
證明:(1)
當(dāng)且僅當(dāng) 時,上式取等號。

(2) 時,結(jié)論顯然成立
當(dāng) 時,

例15.(2001年全國理)己知
(1)
(2)
證明:(1)
同理

(2)由二項式定理有

因此

(Ⅲ)、強(qiáng)化訓(xùn)練
1.已知非負(fù)實數(shù) , 滿足 且 ,則 的最大值是( )
A. B. C. D.
2.已知命題p:函數(shù) 的值域為R,命題q:函數(shù)
是減函數(shù)。若p或q為真命題,p且q為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A.a(chǎn)≤1B.a(chǎn)<2C.13. 解關(guān)于 的不等式 >0
4.求a,b的值,使得關(guān)于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分別是:
(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3){2};(4)[-1,+∞).
5. 解關(guān)于 的不等式
6.(2002北京文)數(shù)列 由下列條件確定:
(1)證明:對于 ,
(2)證明:對于 .
7.設(shè)P=(log2x) +(t-2)log2x-t+1,若t在區(qū)間[-2,2]上變動時,P恒為正值,試求x的變化范圍.
8.已知數(shù)列 中,
b1=1,點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上。
Ⅰ)求數(shù)列
Ⅱ)設(shè) 的前n項和為Bn, 試比較 。
Ⅲ)設(shè)Tn=
(Ⅳ)、參考答案
1.解:畫出圖象,由線性規(guī)劃知識可得,選D
2.解:命題p為真時,即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù),故二次函數(shù) 的判別式 ,從而 ;命題q為真時, 。
若p或q為真命題,p且q為假命題,故p和q中只有一個是真命題,一個是假命題。
若p為真,q為假時,無解;若p為假,q為真時,結(jié)果為13.分析:本題主要復(fù)習(xí)分式不等式的解法、分類討論的思想及利用序軸標(biāo)根法解不等式的基本步驟。本題的關(guān)鍵是對分母分解因式,將原不等式等價轉(zhuǎn)化為
和比較 與 及3的大小,定出分類方法。
解:原不等式化為:
(1)當(dāng) 時,由圖1知不等式的解集為
(2)當(dāng)
(3)當(dāng)
4.分析:方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān),要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化和相互交通.
解(1)  由題意可知,a>0且-1,2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根,所以

(3)由題意知,2是方程ax2+bx+a2-1=0的根,所以
4a+2b+a2-1=0.                       ①
又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集,所以

(4)由題意知,a=0.b<0,且-1是方程bx+a2-1=0的根,即-b+a2-1=0,所以
a=0,b=-1.
說明:二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間存在著密切的聯(lián)系.在解決具體的數(shù)學(xué)問題時,要注意三者之間相互聯(lián)系相互滲透,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換。
5.分析:在不等式的求解中,換元法和圖解法是常用的技巧,通過換元,可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式,通過構(gòu)造函數(shù),數(shù)形結(jié)合,則可將不等式的解化歸為直觀,形象的圖象關(guān)系,對含參數(shù)的不等式,運用圖解法,還可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰。
解:設(shè) ,原不等式化為 ,在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)圖象
故(1)當(dāng)
(2)
(3)當(dāng) 時,原不等式的解集為φ
綜上所述,當(dāng) 時,解集為 );當(dāng) 時,解集為
時,解集為φ。

6.證明:(1)

(2)當(dāng) 時,
=
7.分析:要求x的變化范圍,顯然要依題設(shè)條件尋找含x的不等式(組),這就需要認(rèn)真思考條件中“t在區(qū)間[-2,2]上變動時,P恒為正值.”的含義.你是怎樣理解的?如果繼續(xù)思考有困難、請換一個角度去思考.在所給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中,右式含兩個字母x、t,t是在給定區(qū)間內(nèi)變化的,而求的是x的取值范圍,能想到什么?
解:設(shè)P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1.因為 P=f(t)在top直角坐標(biāo)系內(nèi)是一直線,所以t在區(qū)間[-2,2]上變動時,P恒為正值的充要條件

解得log2x>3或log2x<-1.

說明:改變看問題的角度,構(gòu)造關(guān)于t的一次函數(shù),靈活運用函數(shù)的思想,使難解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.
8.分析:本題主要復(fù)習(xí)數(shù)列通項、求和及不等式的有關(guān)知識。
略解:Ⅰ)
Ⅱ)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2

Ⅲ)Tn= ①

①-②得

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