專題六：概率與統(tǒng)計、推理與證明、算法初步、復(fù)數(shù)
第四講 推理與證明
【最新考綱透析】
1．合情推理與演繹推理
（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；
（2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進(jìn)行一些簡單推理；
（3）了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。
2．直接證明與間接證明
（1）了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點；
（2）了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點。
3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。
【核心要點突破】
要點考向1：合情推理
考情聚焦：1．合情推理能夠考查學(xué)生的觀察、分析、比較、聯(lián)想的能力，在高考中越來越受到重視；
2．呈現(xiàn)方式金榜經(jīng)，屬中檔題。
考向鏈接：1．歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論；
2．類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質(zhì)，則另一個對象也具有類似的性質(zhì)。在進(jìn)行類比時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對象的性質(zhì)。
例1：（2010?福建高考文科?Ｔ１６）觀察下列等式：
① cos2a=2 -1;
② cos4a=8 - 8 + 1;
③ cos6a=32 - 48 + 18 - 1;
④ cos8a=128 - 256 + 160 - 32 + 1;
⑤ cos10a= m - 1280 + 1120 + n + p - 1.
可以推測，m ? n + p = .
【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對系數(shù)進(jìn)行猜測求解．
【思路點撥】根據(jù)歸納推理可得．
【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項的系數(shù)和為1， ， ，又 ， ， ．
【答案】962．
要點考向2：演繹推理
考情聚焦：1．近幾年高考，證明題逐漸升溫，而其證明主要是通過演繹推理來進(jìn)行的；
2．主要以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中、高檔題。
考向鏈接：演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過程主要是通過演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確，一定要注意推理過程的正確性與完備性。
例2：（2010?浙江高考理科?Ｔ14）設(shè) ，
將 的最小值記為 ，則
其中 =__________________ .
【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關(guān)知識，熟練掌握相關(guān)的推理規(guī)則是關(guān)鍵．
【思路點撥】觀察 的奇數(shù)項與偶數(shù)項的特點．
【規(guī)范解答】觀察 表達(dá)式的特點可以看出 ，……， 當(dāng) 為偶數(shù)時， ； ， ，……， 當(dāng) 為奇數(shù)時， ．
【答案】 ．
要點考向3：直接證明與間接證明
考情聚焦：1．直接證明與間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩種思維方式，考查了學(xué)生的邏輯思維能力，近幾年高考對此部分的考查有所加強。
2．以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題目。
例3：（2010?北京高考文科?Ｔ20）
已知集合 對于 ， ，定義A與B的差為
A與B之間的距離為
（Ⅰ）當(dāng)n=5時，設(shè) ，求 ， ；
（Ⅱ）證明： ，且 ;
(Ⅲ) 證明： 三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)
【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運用新知識的能力。本題情景是全新的，對學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求。要求教師真正的重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”、“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)．
【思路點撥】（I）（Ⅱ）直接按定義證明即可；(Ⅲ) “至少”問題可采用反證法證明．
【規(guī)范解答】（Ⅰ） ＝（1,0,1,0,1）
＝3
(Ⅱ)設(shè)
因為 ，所以
從而
由題意知
當(dāng) 時，
當(dāng) 時，
所以
(Ⅲ)證明：設(shè)
記 由（Ⅱ）可知
所以 中1的個數(shù)為k, 中1的個數(shù)為
設(shè) 是使 成立的 的個數(shù)。則
由此可知， 三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，
即 三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．
注：（1）有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個結(jié)論不成立的例子即可；
（2）綜合法和分析法是直接證明常用的兩個方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候，分析法和綜合法交替使用。
要點考向4：數(shù)學(xué)歸納法
考情聚焦：1．新課標(biāo)區(qū)對數(shù)學(xué)歸納法的考查在去年有加強的趨勢，望能引起足夠的重視；
2．以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題。
例4：等比數(shù)列{ }的前n項和為 ， 已知對任意的 ，點 ，均在函數(shù) 且 均為常數(shù))的圖像上.
（1）求r的值;
（11）當(dāng)b=2時，記
證明：對任意的 ，不等式 成立
【解析】因為對任意的 ,點 ，均在函數(shù) 且 均為常數(shù)的圖像上.所以得 ,當(dāng) 時, ,當(dāng) 時, ,又因為{ }為等比數(shù)列,所以 ,公比為 ,
（2）當(dāng)b=2時， ,
則 ,所以 .
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 成立.
當(dāng) 時,左邊= ,右邊= ,因為 ,所以不等式成立.
假設(shè)當(dāng) 時不等式成立,即 成立.則當(dāng) 時,左邊=
所以當(dāng) 時,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.
注：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式，命題關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)，由n=k到n=k+1時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項。
（2）在本例證明過程中，①考慮“n取第一個值的命題形式”時，需認(rèn)真對待，一般情況是把第一個值供稿通項，判斷命題的真假，②在由n=k到n=k+1的遞推過程中，必須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法。
（3）在用數(shù)學(xué)歸納法證明的第2個步驟中，突出了兩個湊字，一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確n=k+1時證明的目標(biāo)，充分考慮由n=k到n=k+1時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。
【高考真題探究】
1．（2010?山東高考文科?Ｔ１０）觀察 ， ， ，由歸納推理可得：若定義在 上的函數(shù) 滿足 ，記 為 的導(dǎo)函數(shù)，則 =（ ）
（A） (B) (C) (D)
【命題立意】本題考查歸納推理的有關(guān)知識，考查了考生的觀察問題，分析問題解決問題的能力.
【思路點撥】觀察所給的結(jié)論，通過歸納類比聯(lián)想，得出結(jié)論.
【規(guī)范解答】選D．通過觀察所給的結(jié)論可知，若 是偶函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù) 是奇函數(shù)，故選D．
2．（2010?陜西高考理科?Ｔ１２）觀察下列等式： ,……，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為 ____________.
【命題立意】本題考查歸納推理，屬送分題．
【思路點撥】找出等式兩邊底數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下：
即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)。故第五個等式為：
【答案】
3．（2010?北京高考理科?Ｔ20）已知集合
對于 ， ，定義A與B的差為 A與B之間的距離為 ；
（Ⅰ）證明： ，且 ;
（Ⅱ）證明： 三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)
(Ⅲ) 設(shè)P ，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為 (P).
證明： （P）≤ .
【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運用新知識的能力，考查了反證法、不等式證明等知識．本題情景是全新的，對學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求．要求教師真正的重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”、“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)．
【思路點撥】（I）直接按定義證明即可；（Ⅱ）“至少”問題可采用反證法證明；(Ⅲ)把 表示出來，再利用均值不等式證明．
【規(guī)范解答】（I）設(shè) ， ，
因為 ， ，所以 ,
從而
又
由題意知 ， ， .
當(dāng) 時， ;
當(dāng) 時，
所以
(II)設(shè) ， ，
， ， .
記 ，由（I）可知
，
所以 中1的個數(shù)為 ， 中1的
個數(shù)為 ．
設(shè) 是使 成立的 的個數(shù)，則
由此可知， 三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，
即 , , 三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．
（III） ,其中 表示 中所有兩個元素間距離的總和，
設(shè) 中所有元素的第 個位置的數(shù)字中共有 個1， 個0
則 ＝
由于
所以
從而
【方法技巧】（1）證明“至少有一個……”的時，一般采用反證法；
（2）證明不等式時要多觀察形式，適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為基本不等式．
4．（2010?江蘇高考?Ｔ23）已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。
求證：cosA是有理數(shù)；
（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。
【命題立意】本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。
【思路點撥】（1）利用余弦定理表示cosA，由三邊 是有理數(shù)，求得結(jié)論；（2）可利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【規(guī)范解答】方法一：（1）設(shè)三邊長分別為 ， ，∵ 是有理數(shù)，
是有理數(shù)，分母 為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，
∴ 必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。
（2）①當(dāng) 時，顯然cosA是有理數(shù)；
當(dāng) 時，∵ ，因為cosA是有理數(shù)， ∴ 也是有理數(shù)；
②假設(shè)當(dāng) 時，結(jié)論成立，即coskA、 均是有理數(shù)。
當(dāng) 時， ，
，
，
解得：
∵cosA， ， 均是有理數(shù)，∴ 是有理數(shù)，
∴ 是有理數(shù)。
即當(dāng) 時，結(jié)論成立。
綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。
方法二：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知
是有理數(shù)。
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和 都是有理數(shù)。
①當(dāng) 時，由（1）知 是有理數(shù)，從而有 也是有理數(shù)。
②假設(shè)當(dāng) 時， 和 都是有理數(shù)。
當(dāng) 時，由 ，
，
及①和歸納假設(shè)，知 和 都是有理數(shù)。
即當(dāng) 時，結(jié)論成立。
綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。
5．（2009江蘇高考）設(shè) ≥ ＞0,求證： ≥ .
【解析】本小題主要考查比較法證明不等式的常見方法，考查代數(shù)式的變形能力。滿分10分。
證明：
因為 ≥ ＞0,所以 ≥0， ＞0，
從而 ≥0，
即 ≥ .
6．（2008安徽高考）設(shè)數(shù)列 滿足 為實數(shù)
（Ⅰ）證明： 對任意 成立的充分必要條件是 ；
（Ⅱ）設(shè) ，證明： ;
（Ⅲ）設(shè) ，證明：
【解析】（Ⅰ）必要性：∵ ，又∵ ，∴ ，即 .
充分性：設(shè) ，對任意 用數(shù)學(xué)歸納法證明 .
當(dāng) 時， .
假設(shè)當(dāng) 時， ，則 ，且 ， .
由數(shù)學(xué)歸納法知， 對任意 成立.
(Ⅱ) 設(shè) ，當(dāng) 時， ，結(jié)論成立；
當(dāng) 時，∵ ，∴ .
∵ ，由（Ⅰ）知 ，∴ 且 ，
∴ ，
∴ .
(Ⅲ)設(shè) ,當(dāng) 時， ，結(jié)論成立；
當(dāng) 時，由(Ⅱ)知 ，
∴ .
∴
.
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1．已知 是 的充分不必要條件，則 是 的（ ）
（Ａ） 充分不必要條件 （Ｂ） 必要不充分條件
（Ｃ） 充要條件 （Ｄ） 既不充分也不必要條件
2．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則 , , 三個數(shù)（ ）
A、都大于2 B、至少有一個大于2
C、至少有一個不大于2 D、至少有一個不小于2
3．在△ 中， 所對的邊分別為 ，且 ，則△ 一定是（ ）
（Ａ） 等腰三角形 （Ｂ） 直角三角形 （Ｃ）等邊三角形 （Ｄ） 等腰直角三角形
4． 5.已知函數(shù) 的定義域為 ，若對于任意的 ，都有 ，則稱 為 上的凹函數(shù).由此可得下列函數(shù)中的凹函數(shù)為 （ ）
（Ａ） （B） （C） （D）
5.給定正整數(shù)n(n≥2)按下圖方式構(gòu)成三角形數(shù)表；第一行依次寫上數(shù)1，2，3，…，n，在下面一行的每相鄰兩個數(shù)的正中間上方寫上這兩個數(shù)之和，得到上面一行的數(shù)（比下一行少一個數(shù)），依次類推，最后一行（第n行）只有一個數(shù).例如n=6時數(shù)表如圖所示，則當(dāng)n=2 007時最后一行的數(shù)是（ ）
(A)251×22 007
(B)2 007×22 006
(C)251×22 008
(D)2 007×22 005
6.如圖，坐標(biāo)紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫、縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項（即橫坐標(biāo)為奇數(shù)項，縱坐標(biāo)為偶數(shù)項），按如此規(guī)律下去,則a2 009+a2 010+a2 011等于( )
(A)1 003(B)1 005
(C)1 006(D)2 011
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．對于等差數(shù)列 有如下命題：“若 是等差數(shù)列， ， 是互不相等的正整數(shù)，則有 ”。類比此命題，給出等比數(shù)列 相應(yīng)的一個正確命題是：“___________________________________________________”。
8．如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1是 三角形，△A2B2C2是 三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）
9．(2010漢沽模擬)在直角三角形 中，兩直角邊分別為 ，設(shè) 為斜邊上的高，則 ，由此類比：三棱錐 的三個側(cè)棱 兩兩垂直，且長分別為 ，設(shè)棱錐底面 上的高為 ，則 .
三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）
10.觀察下表：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
……
問：（1）此表第n行的最后一個數(shù)是多少？
（2）此表第n行的各個數(shù)之和是多少？
（3）2010是第幾行的第幾個數(shù)?
（4）是否存在n∈N*，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由.
11．已知數(shù)列 ： ， ， ， （ 是正整數(shù)），與數(shù)列 ： ， ， ， ， （ 是正整數(shù)）．
記 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求證：當(dāng) 是正整數(shù)時， ；
（3）已知 ，且存在正整數(shù) ，使得在 ， ， ， 中有4項為100．求 的值，并指出哪4項為100．
12．已知數(shù)列 ， ， ， ．記 ． ．
求證：當(dāng) 時，
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） 。
參考答案
一、選擇題
1．【解析】選Ａ.反證法的原理：“原命題”與“逆否命題”同真假，即：若 則 .
2．【解析】選D.
3．【解析】選A. ， ， ，又因為 ， ；
4．【解析】選C.可以根據(jù)圖像直觀觀察；對于（C）證明如下：欲證 ，即證 ，即證 ，即證 ，顯然，這個不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得證；
5．【解析】選C.由題意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故n行時，最后一行數(shù)為(n+1)?2n-2，
所以當(dāng)n=2 007時，最后一行數(shù)為2 008×22 005=251×22 008.
二、填空題
6．【解析】選B.觀察點坐標(biāo)的規(guī)律可知，偶數(shù)項的值等于其序號的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,
又2 009=4×503-3,2 011=4×503-1,
∴a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005,
∴a2 009+a2 010+a2 011=1 005.
7．【解析】這是一個從等差數(shù)列到等比數(shù)列的平行類比，等差數(shù)列中 類比到等比數(shù)列經(jīng)常
是 ，類比方法的關(guān)鍵在于善于發(fā)現(xiàn)不同對象之間的“相似”，“相似”是類比的基礎(chǔ)。 .
答案：若 是等比數(shù)列， ， 是互不相等的正整數(shù)，則有 。
8．答案：銳角 鈍角
9．答案：
三、解答題
10．【解析】（1）∵第n+1行的第1個數(shù)是2n，
∴第n行的最后一個數(shù)是2n-1.
（2）2n-1+（2n-1+1）+(2n-1+2)+…+（2n-1）
=3?22n-3-2n-2.
（3）∵210=1 024,211=2 048,1 024＜2 010＜2 048，
∴2 010在第11行，該行第1個數(shù)是210=1 024，由2 010-1024+1=987，知2 010是第11行的第987個數(shù).
（4）設(shè)第n行的所有數(shù)之和為an，第n行起連續(xù)10行的所有數(shù)之和為Sn.
則an=3?22n-3-2n-2,an+1=3?22n-1-2n-1，
an+2=3?22n+1-2n，…，an+9=3?22n+15-2n+7,
∴Sn=3(22n-3+22n-1+…+22n+15)-(2n-2+2n-1+…+2n+7)
=22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，
n=5時，S5=227-128-213+8=227-213-120.
∴存在n=5使得第5行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227-213-120.
11．【解析】（1）
∵
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)
當(dāng)n=1時， 等式成立
假設(shè)n=k時等式成立，即
那么當(dāng) 時，
等式也成立.
根據(jù)①和②可以斷定：當(dāng)
（3）
…
∵ 4m+1是奇數(shù)， 均為負(fù)數(shù)，
∴ 這些項均不可能取到100.
此時， 為100.
12．【解析】（Ⅰ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng) 時，因為 是方程 的正根，所以 ．
②假設(shè)當(dāng) 時， ，
因為 ，
所以 ．即當(dāng) 時， 也成立．
根據(jù)①和②，可知 對任何 都成立．
（Ⅱ）證明：由 ， （ ），得 ．
因為 ，所以 ．由 及 得 ， 所以 ．
（Ⅲ）證明：由 ，得
所以 ，
于是 ，
故當(dāng) 時， ，又因為 ， 所以 ．
【備課資源】
1.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案:
則第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是________.
【解析】觀察三個圖形知：白色地面磚有4n+2塊.
答案：4n+2
2.如圖甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，則AB2=BD?BC，該結(jié)論稱為射影定理.如圖乙，在三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O為垂足，且O在△BCD內(nèi)，類比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD這三者之間滿足的關(guān)系式是__________.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/82340.html
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