題型九　函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題
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1.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在點x0處取得極小值5，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(1,0)，(2,0)，如圖所示，求：
(1)x0的值；
(2)a，b，c的值；
(3)f(x)的極大值．
2．已知函數(shù)f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)討論關(guān)于x的方程f(x)－m＝0 (m∈R)的解的個數(shù)．
答 案
1．解　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
(1)觀察圖象，我們可發(fā)現(xiàn)當x∈(－∞，1)時，f′(x)>0，此時f(x)為增函數(shù)；
當x∈(1,2)時，f′(x)<0，此時f(x)為減函數(shù)；
當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，此時f(x)為增函數(shù)，
因此在x＝2處函數(shù)取得極小值．
結(jié)合已知，可得x0＝2.
(2)由(1)知f(2)＝5，即8a＋4b＋2c＝5.
再結(jié)合f′(x)的圖象可知，方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的兩根分別為1,2，
那么1＋2＝－2b3a，1×2＝c3a　即2b＝－9a，c＝6a.
聯(lián)立8a＋4b＋2c＝5，得a＝52，b＝－454，c＝15.
(3)由(1)知f(x)在x＝1處函數(shù)取得極大值，
∴f(x)極大值＝f(1)＝a＋b＋c＝52－454＋15＝254.
2．解　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
令f′(x)＝0，得x＝1e，
當x∈(0，＋∞)時，f′(x)，f(x)的變化情況如下：
x0，1e
1e
1e，＋∞

f′(x)－0＋
f(x) ?
極小值?

所以，f(x)在(0，＋∞)上的最小值是f1e＝－1e.
(2)當x∈0，1e時，f(x)單調(diào)遞減且f(x)的取值范圍是－1e，0；
當x∈1e，＋∞時，f(x)單調(diào)遞增且f(x)的取值范圍是－1e，＋∞，
下面討論f(x)－m＝0的解，
當m<－1e時，原方程無解；
當m＝－1e或m≥0，原方程有唯一解；
當－1e<m<0時，原方程有兩解．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.yy-art.cn/gaosan/41422.html

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